一、單選題：（共8個小題，每小題5分，共40分.）
1. 已知i為虛數單位，若復數對應的點在復平面的虛軸上，則實數（ ）
A. B. C. 6D.
2. “”是“方程表示的曲線為橢圓”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
3. 記為等比數列的前項和，若，，則（ ）
A. 48B. 81C. 93D. 243
4. 已知拋物線焦點為F，準線為l，過點F且傾斜角為的直線交拋物線于點M（M在第一象限），，垂足為N，直線NF交x軸于點D，則（ ）
A. 2B. C. 4D.
5. 過直線上一點P作⊙M：兩條切線，切點分別為A，B，若使得的點P有兩個，則實數m的取值范圍為（ ）
A. B.
C. 或D. 或
6. 在形狀、大小完全相同4個小球上分別寫上4位學生的名字，放入袋子中，現在4位學生從袋子中依次抽取球，每次不放回隨機取出一個，則恰有1位學生摸到寫有自己名字的小球的概率為（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函數，若實數滿足，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
8. 如圖，在直三棱柱中，分別為線段的中點，，平面平面，則四面體的外接球的體積為（ ）
A. B. C. D.
二、多選題：（共3個小題，每小題6分，共18分.）
9. 函數的大致圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函數，則下列四個命題正確的是（ ）
A. 函數在上是增函數
B. 函數的圖象關于中心對稱
C. 不存在斜率小于且與數的圖象相切的直線
D. 函數的導函數不存在極小值
11. 著名的德國數學家狄利克雷在19世紀提出了這樣一個“奇怪的”函數：定義在上的函數.后來數學家研究發(fā)現該函數在其定義域上處處不連續(xù)、處處不可導．根據該函數，以下是真命題的有（ ）
A.
B. 的圖象關于軸對稱
C. 的圖象關于軸對稱
D. 存在一個正三角形，其頂點均在的圖象上
三、填空題：（共3個小題，每小題5分，共15分.）
12. 等差數列中是函數的極值點，則______.
13. 若，是雙曲線：的兩個焦點，，為上關于坐標原點對稱的兩點，且，設四邊形的面積為，四邊形的外接圓的面積為，則______．
14. 已知正項數列的前n項和滿足（n為正整數），則_________；記，若函數的值域為，則實數k的取值范圍是__________．
四、解答題：（5題，共計77分．）
15. 公差不為0的等差數列{an}中，前n項和記為Sn．若a1＝1，且S1，2S2，4S4成等比數列，
（1）求{an}的通項公式；
（2）求數列的前項n項和Tn．
16. 如圖，在三棱柱中，，，D，E分別是CB，CA的中點，.
（1）若平面平面，求點到平面ABC的距離；
（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.
17. 如圖所示，一只螞蟻從正方體的頂點出發(fā)沿棱爬行，記螞蟻從一個頂點到另一個頂點為一次爬行，每次爬行的方向是隨機的，螞蟻沿正方體上、下底面上的棱爬行的概率為，沿正方體的側棱爬行的概率為．
（1）若螞蟻爬行次，求螞蟻在下底面頂點的概率；
（2）若螞蟻爬行5次，記它在頂點出現的次數為，求的分布列與數學期望．
18. 如圖，一張圓形紙片的圓心為點E，F是圓內的一個定點，P是圓E上任意一點，把紙片折疊使得點F與P重合，折痕與直線PE相交于點Q，當點P在圓上運動時，得到點Q的軌跡，記為曲線C．建立適當坐標系，點，紙片圓方程為，點在C上．
（1）求C的方程；
（2）若點坐標為，過F且不與x軸重合直線交C于A，B兩點，設直線，與C的另一個交點分別為M，N，記直線的傾斜角分別為，，當取得最大值時，求直線AB的方程．
19. 已知函數有兩個零點．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）求證：；
（3）求證：．
2024-2025學年江西省宜春市豐城市高二上學期期末考試數學
檢測試題
一、單選題：（共8個小題，每小題5分，共40分.）
1. 已知i為虛數單位，若復數對應的點在復平面的虛軸上，則實數（ ）
A. B. C. 6D.
【正確答案】D
【分析】利用復數的除法運算整理一般式，可得答案.
【詳解】由，
結合題意，則，解得
故選：D.
2. “”是“方程表示的曲線為橢圓”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】B
【分析】首先求方程表示橢圓的的取值范圍，再根據集合的包含關系，即可判斷選項.
詳解】若方程表示橢圓，則
，解得：，且，
所以“”是“方程表示的曲線為橢圓”的必要不充分條件.
故選：B
3. 記為等比數列的前項和，若，，則（ ）
A. 48B. 81C. 93D. 243
【正確答案】C
【分析】根據等比數列的前項和先確定公比，再計算得，從而計算得的值，即可得的值.
【詳解】設等比數列的公比為，因為，，
若，則，得，則，故，
則，所以，
所以，所以.
故選：C.
4. 已知拋物線的焦點為F，準線為l，過點F且傾斜角為的直線交拋物線于點M（M在第一象限），，垂足為N，直線NF交x軸于點D，則（ ）
A. 2B. C. 4D.
【正確答案】A
【分析】由已知條件證得是等邊三角形，在中，利用三角函數求．
【詳解】由已知可得，，．
如圖所示，過點F作，垂足為A．
由題得，所以．
根據拋物線的定義可知，
所以是等邊三角形．
因為，所以．
在中，．
故選：A．
5. 過直線上一點P作⊙M：的兩條切線，切點分別為A，B，若使得的點P有兩個，則實數m的取值范圍為（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【正確答案】B
【分析】易得，根據題意可得圓心到直線的距離，進而可得出答案.
【詳解】⊙M：的圓心，半徑，
由，得，
由題意可得圓心到直線的距離，
即，解得.
故選：B.
6. 在形狀、大小完全相同的4個小球上分別寫上4位學生的名字，放入袋子中，現在4位學生從袋子中依次抽取球，每次不放回隨機取出一個，則恰有1位學生摸到寫有自己名字的小球的概率為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】利用計數方法結合古典概型求解.
【詳解】4位學生從袋子中依次抽取球，每次不放回隨機取出一個的方法總數為種，
恰有1位學生摸到寫有自己名字的小球，可以先從4人中選出1人摸到寫有自己名字的小球，另外三人摸到的都不是寫有自己名字的小球共種，
所以恰有1位學生摸到寫有自己名字的小球的概率為.
故選：B
7. 已知函數，若實數滿足，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】首先對進行變形，構造函數，，推得其對稱中心為，且上在單調遞增，再結合對稱性和單調性將轉化為,再利用基本不等式求解的最大值.
【詳解】由，
記，，
則，，
且單調遞增，單調遞增，
則與都關于中心對稱且為上的增函數,
所以，
故關于中心對稱且為上增函數，
則由，得，可得，
記，
則，
可得，當且僅當，即取等號，
故的最大值為.
故選：C．
關鍵點睛：本題解決的關鍵是求得的對稱中心，從而得到，的關系，進而利用基本不等式求解最值.
8. 如圖，在直三棱柱中，分別為線段的中點，，平面平面，則四面體的外接球的體積為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】取的中點，連接，由等腰三角形的性質與面面垂直的性質定理證平面，由線面垂直的性質及判定定理證平面，進而推出，利用勾股定理及勾股定理的逆定理等證，從而確定四面體的外接球的球心與半徑，利用球的體積公式求解即可．
【詳解】如圖，取的中點，連接，
因為，所以．
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以．
依題意平面平面，
所以，又平面，
所以平面．
又平面，
所以，所以，
所以．
連接，則，
所以．
又，
所以，
所以．
因為與共斜邊，
所以四面體的外接球的球心為的中點，
且外接球半徑，
所以該球的體積．
故選：A
確定簡單幾何體外接球的球心有如下結論：（1）正方體或長方體的外接球的球心為其體對角線的中點；（2）正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點；（3）直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點；（4）正棱錐的外接球的球心在其高線上；（5）若三棱錐的其中兩個面是共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是外接球的球心．
二、多選題：（共3個小題，每小題6分，共18分.）
9. 函數的大致圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】BCD
【分析】對的取值進行分類討論，利用導數對函數的單調性進行分析即可判斷函數的大致圖象.
【詳解】當時，是偶函數，當時，為減函數，此時對應圖象可能是C；
當時，，令得，為非奇非偶函數，且，
令其對應方程的，設其對應方程的兩根分別為，，，
所以，，，，，，
即函數在和上單調遞減，在上單調遞增，由單調性判斷此時對應圖象可能是B；
當時，為非奇非偶函數，在處無定義，
取時且單增，
時且單增，時單增，
此時對應圖象可能是D；
對于A，由于圖象無間斷點，故，但此時在上不可能恒正，
故選：BCD.
10. 已知函數，則下列四個命題正確的是（ ）
A. 函數在上是增函數
B. 函數的圖象關于中心對稱
C. 不存在斜率小于且與數的圖象相切的直線
D. 函數的導函數不存在極小值
【正確答案】ABC
【分析】先確定函數的定義域，再求導函數，有導函數的符號判斷函數的單調性，判斷A的真假；判斷是否成立，從而判斷B的真假；對函數的導函數進行分析，求導函數的值域，可判斷CD的真假.
【詳解】因為，所以函數的定義域為.
因為：，，所以時，恒成立，所以在為增函數，故A正確；
因為：，，故，即得圖象關于點對稱，故B正確；
因為：，，
當時，為的最小值，
所以的切線的斜率一定大于或等于，不存在斜率小于的切線，故C正確；
有最小值，故D錯誤.
故選：ABC
關鍵點睛：
（1）證明函數圖象關于點對稱，需要證明或恒成立即可；
（2）證明函數的圖象關于直線對稱，需要證明或恒成立即可.
11. 著名的德國數學家狄利克雷在19世紀提出了這樣一個“奇怪的”函數：定義在上的函數.后來數學家研究發(fā)現該函數在其定義域上處處不連續(xù)、處處不可導．根據該函數，以下是真命題的有（ ）
A.
B. 的圖象關于軸對稱
C. 的圖象關于軸對稱
D. 存在一個正三角形，其頂點均在的圖象上
【正確答案】BCD
【分析】特殊值代入驗證A，D；利用偶函數定義判斷B，C.
【詳解】對于A，當，時，，，，故A錯誤；
對于B，因為的定義域為，關于原點對稱，
若是無理數，則是無理數，所以，；
若是有理數，則是有理數，所以，；
所以，
故是偶函數，圖象關于軸對稱，B正確；
對于C，由B可知，，所以，
故偶函數，圖象關于軸對稱，C正確；
對于D，設， ，，
則，所以是等邊三角形，
又因為，，，所以的頂點均在的圖象上，D正確.
故選：BCD
三、填空題：（共3個小題，每小題5分，共15分.）
12. 等差數列中的是函數的極值點，則______.
【正確答案】##
【分析】先由題意求出，再利用等差中項求出，最后利用對數的運算法則即可求解.
【詳解】函數的定義域為，
，
因為是函數的極值點，
所以是方程的兩根，
所以，
因為是等差數列，
所以，
所以.
故答案為.
13. 若，是雙曲線：的兩個焦點，，為上關于坐標原點對稱的兩點，且，設四邊形的面積為，四邊形的外接圓的面積為，則______．
【正確答案】
【分析】根據給定條件，探求四邊形的形狀，結合雙曲線的定義及勾股定理求出，再求出作答.
【詳解】依題意，點與，與都關于原點O對稱，且，因此四邊形是矩形，如圖，
由雙曲線：得：，，
于是，
顯然四邊形的外接圓半徑為，因此，
所以.
故
14. 已知正項數列的前n項和滿足（n為正整數），則_________；記，若函數的值域為，則實數k的取值范圍是__________．
【正確答案】 ①. ②.
【分析】因式分解即可求出，再利用求出數列的通項公式，由裂項相消求和法計算可得.設函數，將函數寫出分段函數，根據函數的值域為R和極限的思想可得當時、當時，解不等式即可求解.
【詳解】因為，所以，
又因為是正項數列，所以，即，
當得，當得，
經檢驗符合上式，所以.
所以.
設函數，
當時，
；
同理可得，當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
即，其中，
由函數的值域為R知，當時，，
所以，即，解得；
當時，，
所以，即，解得，
綜上，實數k的取值范圍為.
故；.
關鍵點點睛：本題的關鍵點是將函數轉化為分段函數，利用函數的值域確定關于k的不等式即可求解，其中涉及到極限思想以及數列的求通項公式和求和知識點，平時練習都要熟練應用.
四、解答題：（5題，共計77分．）
15. 公差不為0的等差數列{an}中，前n項和記為Sn．若a1＝1，且S1，2S2，4S4成等比數列，
（1）求{an}的通項公式；
（2）求數列的前項n項和Tn．
【正確答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由條件可知，代入等差數列的前項和公式，整理為關于的方程求解通項公式；（2）由（1）可知，利用裂項相消法求和.
【詳解】解：（1）由已知可得：，
即：，
解得（舍）或
所以，
（2）由（1）可得，
所以；
所以
.
本題考查等差數列和等比數列的點到綜合，以及裂項相消法求和，屬于基礎題型，本題的難點是第二問，注意能使用裂項相消法的類型.
16. 如圖，在三棱柱中，，，D，E分別是CB，CA的中點，.
（1）若平面平面，求點到平面ABC的距離；
（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.
【正確答案】（1）
（2）.
【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用點點距離公式可得點，進而根據面面垂直得法向量垂直，即可根據向量的坐標運算求解，根據線面垂直即可求解距離，
（2）根據法向量的夾角即可求解.
【小問1詳解】
以C為坐標原點，CA，CB所在的直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
設，因為，，，
所以，則，，，.
設平面的一個法向量，則，即
令，則，，所以，
設平面的一個法向量，則，即令，則，，所以.
因為平面平面，所以，
所以，即，所以，
所以，所以點在z軸上，即平面ABC，
因為平面ABC，所以，
又，，所以，
故到平面ABC的距離為.
【小問2詳解】
由（1）知，由，則，
因為，所以，
所以，，所以.
由（1）知平面的一個法向量，平面的一個法向量，
設平面與平面的夾角為，
則，
即平面與平面的夾角的余弦值為.
17. 如圖所示，一只螞蟻從正方體的頂點出發(fā)沿棱爬行，記螞蟻從一個頂點到另一個頂點為一次爬行，每次爬行的方向是隨機的，螞蟻沿正方體上、下底面上的棱爬行的概率為，沿正方體的側棱爬行的概率為．
（1）若螞蟻爬行次，求螞蟻在下底面頂點的概率；
（2）若螞蟻爬行5次，記它在頂點出現的次數為，求的分布列與數學期望．
【正確答案】（1）
（2）分布列見解析，
【分析】（1）記螞蟻爬行次在底面的概率為，則它前一步只有兩種情況：在下底面或在上底面，找到關系構造等比數列可得答案.
（2）結合題意易知，求出對應得概率,列出分布列，計算期望即可.
【小問1詳解】
記螞蟻爬行次在底面的概率為，則它前一步只有兩種情況：在下底面或在上底面，
結合題意易得，，
是等比數列，首項為，公比為，
【小問2詳解】
結合題意易得：，
當時，螞蟻第3次、第5次都在處，
當時，螞蟻第3次在處或第5次在處，
設螞蟻第3次在處概率為，
設螞蟻第5次在處的概率為，
設螞蟻不過點且第3次在的概率為，設螞蟻不過點且第3次在的概率為，
設螞蟻不過點且第3次在的概率為，由對稱性知，，
，又，
得，
，
，
的分布列為：
的數學期望.
18. 如圖，一張圓形紙片的圓心為點E，F是圓內的一個定點，P是圓E上任意一點，把紙片折疊使得點F與P重合，折痕與直線PE相交于點Q，當點P在圓上運動時，得到點Q的軌跡，記為曲線C．建立適當坐標系，點，紙片圓方程為，點在C上．
（1）求C的方程；
（2）若點坐標為，過F且不與x軸重合的直線交C于A，B兩點，設直線，與C的另一個交點分別為M，N，記直線的傾斜角分別為，，當取得最大值時，求直線AB的方程．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據橢圓的定義可判斷軌跡形狀，繼而確定的值，即得答案；
（2）討論是否為直角，不為直角時，設直線的方程為，設直線的方程為，聯立橢圓方程，結合根與系數的關系式，求出坐標的表達式，從而化簡得到的關系，利用兩角差的正切公式，求出的表達式，分類討論，結合基本不等式，求出符合題意的k的值，即可求得答案.
【小問1詳解】
由題意知，以中點為原點O，以所在直線為x軸，以的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，
F是圓內的一個定點，故圓的半徑，
則,
故點Q的軌跡為以為焦點的橢圓，設橢圓方程為，
則其焦距為，
又點在C上，則，
故C的方程為；
【小問2詳解】
當時，由橢圓對稱性得；
當時，設直線的方程為，
設，
則，
當時，設直線的方程為，則，
聯立，則，
由于直線過橢圓焦點，則必有，故
，
則，
同理當時，設直線的方程為，則,
則，
故
，
當時，，根據橢圓的對稱性，不妨設，
則，
，滿足，
同理當時，也滿足，
故,
當時，，
當時，
且，
當且僅當，即時取得等號，此時取得最大值，
綜上取得最大值時，，直線的方程為.
難點點睛：本題考查了橢圓方程的求解以及直線和橢圓位置關系中的最值問題，綜合性強，難度大，解答時要設直線方程，聯立橢圓方程，利用根與系數的關系式，求出相關點的坐標，結合兩角差的正切公式化簡求解，解答的難點在于計算過程比較復雜，計算量大，并且都是關于字母參數的運算，因此需要十分細心.
19. 已知函數有兩個零點．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）求證：；
（3）求證：．
【正確答案】（1）
（2）證明見解析 （3）證明見解析
【分析】（1）首先求函數的導數，并判斷函數的單調性和最值，求實數的取值范圍，再結合函數的單調性和零點存在性定理，說明零點的情況；
（2）構造新函數，并利用導數判斷函數的單調性，并結合，即可證明；
（3）設，并求導，可證明，即可證明，設
，設，并求導，證明.
【小問1詳解】
，
又因為函數單調遞增，且，
所以，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
當，即時，
，
，
所以在和上各有一個零點，
當時，的最小值為，且，
所以在內至多只有一個零點，
綜上，實數的取值范圍是；
【小問2詳解】
設，，
，
，
當時，，
，
所以，
所以在上單調遞增，
當時，，
即當時，，
又因為函數有兩個零點，
由（1）知，，，
所以，
【小問3詳解】
設，
，
，當時，
因為，
令，，
設，，
令，解得：，令，解得：，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以,
所以恒成立，顯然，
令，解得：，令，解得：，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
即，
設的零點為，，
易知，
所以，
設，
設，，
令，解得：，令，解得：，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，
所以恒成立，即，
設的零點為，，
易知，，
所以，
所以，
所以
方法點睛：利用導數證明不等式有如下方法，
方法一，等價轉化是證明不等式的常見方法，其中利用函數的對稱性，構造對稱差函數是解決極值點偏移問題的基本處理策略；
方法二，比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，構造函數利用函數的單調性證明的不等式即可，
方法三，利用不等式 的性質對原不等式作等價轉換后，利用導數證明相關的式子成立.
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