單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1. 下表是?；@球隊某隊員若干場比賽的得分數據．
則該隊員得分的40百分位數是
A．5 B．6 C．7 D．8
2. 復數滿足,則復數的實部與虛部之和為( )
A. B.
C. D.
3. 若是等邊三角形ABC所在平面外一點,且,,,分別是,,的中點,則下列結論中不正確的是( )
A. 平面B. 平面
C. 平面平面D. 平面平面
4. 若,,則的最小值是( )
A. B.
C. D.
5. 某電視臺的夏日水上闖關節(jié)目中的前四關的過關率分別為,,,,只有通過前一關才能進入下一關,其中,第三關有兩次闖關機會,且通過每關相互獨立.一選手參加該節(jié)目,則該選手能進入第四關的概率為
A. B.
C. D.
6.設的內角,,的對邊分別為,,,若,,,則的面積為( )
A. B.
C. D.
7. 在中,為邊上的中點,為邊上的點,且;點為與的交點,則下列說法正確的是( )
A. B.
C. D.
8.在《九章算術》中,將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”.如圖,四棱錐為陽馬,側棱底面,,為棱的中點,則直線與平面所成角的正弦值為( )
A. B. C. D.
二. 多項選擇題（本題共4小題，每題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的.全部答對得5分，部分答對得3分，答錯不得分。）
9. 某學校為了調查高二年級學生周末閱讀時間情況,隨機選取了名學生,繪制了如圖所示頻率分布直方圖,則( )
A. 眾數的估計值為 B. 中位數的估計值為
C. 平均數的估計值為 D. 樣本中有名同學閱讀時間不低于分鐘
10. 已知復數，C，下列結論正確的有
A． B．若，則，中至少有一個為0
C． D．若，則
11. 拋擲一枚骰子1次,記“向上的點數是4,5,6”為事件A,“向上的點數是1,2”為事件B,“向上的點數是1,2,3”為事件C,“向上的點數是1,2,3,4”為事件D,則下列關于事件A，B，C，D判斷正確的有（ ）
A. A與B是互斥事件但不是對立事件 B. A與C是互斥事件也是對立事件
C. A與D是互斥事件 D. C與D不是對立事件也不是互斥事件
12. 在棱長為的正方體中,點是棱的中點,點是底面上的動點,且,則下列說法正確的有( )
A. 與所成角的最大值為 B. 四面體的體積不變
C. 的面積有最小值 D. 平面截正方體所得截面面積不變
三.填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）
13. 已知向量＝(﹣1，2)，＝(x，﹣6)，且，，若A，B，C三點共線，則實數x的值為 ．
14. 年初,湖北成為全國新冠疫情最嚴重的省份,面臨醫(yī)務人員不足,醫(yī)療物資緊缺等諸多困難,全國人民心系湖北,志愿者紛紛馳援.若某醫(yī)療團隊從名男醫(yī)生和名女醫(yī)生志愿者中,隨機選取名醫(yī)生赴湖北支援,則至少有名女醫(yī)生被選中的概率為__________.
15. 在△ABC中，AB＝，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，延長BC到D，使得CD＝5，則AD的長為 ．
16. 已知半徑為的球面上有、、、四點,滿足,,,則球心到平面的距離為__________,三棱錐體積的最大值為__________.（本小題第一空2分，第二空3分）
四. 解答題（本題共6道小題,共70分。解答應寫出文字說明和演算步驟）
17.（本題10分）已知向量,,________,若,,且,求.
在①,②,③,這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,然后解答補充完整的題目.
18.（本題12分）將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，事件A：“兩數之和為8”，事件B：“兩數之和是3的倍數”，事件C：“兩個數均為偶數”．
（I）寫出該試驗的基本事件，并求事件A發(fā)生的概率；
（II）求事件B發(fā)生的概率；
（III）事件A與事件C至少有一個發(fā)生的概率．
19. （本題12分） 如圖,在四棱錐中,,,,,點,分別為棱,的中點,且.
求證:(1)平面平面; (2)平面平面.
20. （本題12分）已知點,,為坐標原點,向量,計算: (1)求向量的單位向量; (2)求,;
(3); (4)求點到直線的距離.
21.（本題12分）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．
（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；
（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率．
（本題12分） 如圖所示,某鎮(zhèn)有一塊空地,其中,,。當地鎮(zhèn)政府規(guī)劃將這塊空地改造成一個旅游景點,擬在中間挖一個人工湖,其中都在邊上,且,挖出的泥土堆放在地帶上形成假山,剩下的地帶開設兒童游樂場. 為安全起見,需在的周圍安裝防護網.
當時,求防護網的總長度;
(2)若要求挖人工湖用地的面積是堆假山用地的面積的倍,試確定的大小;
(3)為節(jié)省投入資金，人工湖的面積要盡可能小，問如何設計施工方案，可使的面積最??？最小面積是多少？
數學試題答案
一、單選題
1.【答案】C
2. 【答案】D
3. 【答案】D
【解析】∵是等邊三角形所在平面外一點,且,,,分別是,,的中點,∴, ∵平面,平面,∴平面,故A正確; ∵,是中點,∴,, ∵,,平面,∴平面, ∵,∴平面,故B正確; ∵平面,平面,∴平面平面,故C正確; 設,連結,∵不是等邊三角形的重心,∴與平面不垂直,∴平面與平面不垂直,故D錯誤.故選:D.
4. 【答案】C
【解析】,,,,即的最小值為.
5. 【答案】D
【解析】第一種情況:該選手通過前三關,進入第四關,所以, 第二種情況:該選手通過前兩關,第三關沒有通過,再來一次通過,進入第四關, 所以. 所以該選手能進入第四關的概率為. 故選D.
6.【答案】B
【解析】由,可得,即, 所以,即, 又由,所以, 即,解得或(舍去), 所以, 又因為為三角形內角,故, 所以的面積為. 故選:B.
7. 【答案】B
【解析】設,.因為為邊上的中點,為邊上的點,且,所以. 又由于向量與向量不共線,則由平面向量基本定理知:,解得. 所以
8.【答案】A
【解析】因為平面,平面,故可得, 又,,平面, 故可得平面.連接. 故即為直線與平面所成角.不妨設, 故在直角三角形中,,, 故可得.則. 則直線與平面所成角的正弦值為.
二、多選題
9. 【答案】A,C,D
【解析】由頻率分布直方圖知的頻率最大,因此眾數估計值為,A正確; 由于的頻率為,中位數是,B錯誤; 平均值估計為,C正確; 不低于分鐘的人數為,D正確. 故選:ACD.
10.【答案】A,B,C
11. 【答案】ABD
12. 【答案】B,C,D
【解析】由題意以為坐標原點,,,所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系,如圖所示:則,,,,,,則,設,則,,由,可得,即,對于選項A,由,可得,為定值, 所以選項A錯誤;對于選項B,四面體的體積,為定值,即體積不變,所以選項B正確;對于選項C,因為,且,所以,因為,所以,所以選項C正確;對于選項D,其截面為五邊形,為定值,所以選項D正確,所以答案選BCD.
三、填空題（每小題5分，共4小題20分）
13. 【答案】3
14.【答案】
15. 【答案】7
16. 【答案】,
解答題（共70分，寫出必要的步驟和文字說明）
17.【解析】選擇方案①, 因為,所以,所以,所以, 因為,, 所以,所以, 因為,,所以, 而,所以, 因為,,所以, 因此有 選擇方案②, 因為,所以,所以, 因為,, 所以,所以, 因為,,所以, 而,所以, 因為,,所以, 因此有 選擇方案③, 因為,,, 所以,即, 因為,,所以, 而,所以, 因為,,所以, 因此有.
18.答案及解析：
（I）所有可能的基本事件為：
共種.
其中“兩數之和為”的有共種，故.
（II）由（I）得“兩數之和是的倍數”的有共種，故概率為.
（III）由（I） “兩個數均為偶數”的有種，“兩數之和為”的有共種，重復的有 三種，故事件與事件至少有一個發(fā)生的有種，概率為.
19. 【解析】(1)因為是的中點,所以, 又因為,所以四邊形是平行四邊形, 所以,因為平面,平面, 所以平面. 又因為是的中點,所以,所以平面, 又,所以平面平面. (2)因為,,,滿足, 所以.因為,所以. 在中,,是的中點,所以, 所以,, 由,可得, 所以,又,所以平面. 因為平面,所以平面平面.
20. 【解析】由已知得:(1),則(2),,,(3). (4)在上的投影為,,點到直線的距離.
21.【詳解】解：（1）由前三年六月份各天的最高氣溫數據，
得到最高氣溫位于區(qū)間[20，25）和最高氣溫低于20的天數為2+16+36＝54，
根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關．
如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶，
如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶，
如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶，
∴六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率p．
（2）當溫度大于等于25℃時，需求量為500，
Y＝450×2＝900元，
當溫度在[20，25）℃時，需求量為300，
Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，
當溫度低于20℃時，需求量為200，
Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，
當溫度大于等于20時，Y＞0，
由前三年六月份各天的最高氣溫數據，得當溫度大于等于20℃的天數有：
90﹣（2+16）＝72，
∴估計Y大于零的概率P．
22.【答案】(1)防護網的總長度為（2）(3)
【解析】(1)∵在中,,∴, 在中,,由余弦定理,得, ∴,即,∴,∴為正三角形,所以的周長為9,即防護網的總長度為.
設,∵, ∴,即, 在中,由,得, 從而,即, 由,得,∴,即.
設，由（2）知，
又在中，由，得
， ∴， ∴當且僅當，即時，的面積取最小值為.每場比賽得分
3
6
7
10
11
13
30
頻數
2
1
2
3
1
1
1
最高氣溫
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天數
2
16
36
25
7
4

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