河北省定州市2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 已知復(fù)數(shù)z滿足為虛數(shù)單位，則z的虛部為A.  B.  C.  D. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，若直線AB與直線AC相互垂直，則實(shí)數(shù)A. 3 B.  C. 7 D. 在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則A.  B. 或 C.  D. 或河北定州中學(xué)數(shù)學(xué)建模社團(tuán)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)習(xí)加工制作糖果包裝盒.現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為的正六邊形硬紙片，如圖所示，裁掉陰影部分，然后按虛線處折成底面邊長(zhǎng)為的正六棱柱無(wú)蓋包裝盒，則此包裝盒的體積為
 A. 648 B. 324 C. 162 D. 108如圖所示，為了測(cè)量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C作為測(cè)量基點(diǎn)，從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角點(diǎn)的仰角，從點(diǎn)C測(cè)得已知山高，則山高單位為
A. 750 B.  C. 850 D. 如圖，表示水平放置的根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖，在軸上，與軸垂直，且，則的邊AB上的高為
A. 2 B. 4 C.  D. 8的外接圓的圓心為，則等于A.  B.  C.  D. 在中，是角的對(duì)邊，已知，則以下判斷錯(cuò)誤的是A. 的外接圓面積是
B. ；
C. 可能等于14；
D. 作A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則的最大值是在中，角所對(duì)的邊分別是，且，若滿足條件的唯一確定，則a的可能值為A. 3 B. 1 C.  D. 2如圖所示的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱上底面為底面?下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得到的組合體，現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)組合體，則截面圖形可能是

 A.  B.
C.  D. 下列命題中正確的是A. 若，則
B. 若復(fù)數(shù)滿足，則
C. 若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則
D. 若復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值為在中，D，E，F分別是邊中點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是A.
B.
C. 若，則是在的投影向量
D. 若點(diǎn)P是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最大值為已知復(fù)平面內(nèi)平行四邊形ABCD中，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為__________.已知，則與的夾角的余弦值為__________.正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍__________.已知三棱錐內(nèi)接于半徑為5的球，，則三棱錐體積的最大值為__________.已知關(guān)于x的方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根為若，求若，求p的值.






 定州市某廣場(chǎng)設(shè)置了一些多面體形或球形的石凳供市民休息.如圖的多面體石凳是由圖的正方體石塊截去八個(gè)相同的四面體得到，且該石凳的體積是求正方體石塊的棱長(zhǎng)；為爭(zhēng)創(chuàng)全國(guó)文明城市，現(xiàn)將表面臟污，棱角輕微磨損的多面形石凳圖打磨成一個(gè)球形的石凳，并用一種環(huán)保底漆全面粉刷.已知這種底漆一瓶的凈含量為235克，可粉刷左右，求此球形石凳最大時(shí)，一瓶環(huán)保底漆大約可以粉刷幾個(gè)球形石凳？精確到按算






 如圖所示，以向量為邊作平行四邊形AOBD，又用表示，求






 在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且求角B的值；若D為AC邊上一點(diǎn)，且__________，求的正弦值.從①；②條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中，并作答.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分






 據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，在B島正東方向300km的A處有一臺(tái)風(fēng)中心形成，并以的速度向北偏西的方向移動(dòng)，在臺(tái)風(fēng)中心270km以?xún)?nèi)的地區(qū)都將受到臺(tái)風(fēng)的影響.若臺(tái)風(fēng)中心的這種移動(dòng)趨勢(shì)不變，B島所在地是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？如果會(huì)，大約多長(zhǎng)時(shí)間后受到影響？持續(xù)時(shí)間有多長(zhǎng)？精確到參考數(shù)據(jù)






 的內(nèi)角對(duì)邊分別為，已知求角B；若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.







答案和解析 1.【答案】B
 【解析】【分析】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.
直接利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案． 【解答】解：，所以z的虛部為，故選  2.【答案】C
 【解析】【分析】本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示，是基礎(chǔ)題.
直線AB與直線AC相互垂直，即，結(jié)合坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【解答】解：，，
直線AB與直線AC相互垂直，即，
，
，
故答案選：  3.【答案】C
 【解析】【分析】 本題考查正余弦定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.
利用正弦定理以及余弦定理求解即可.【解答】解：由題意可得，
即，
則，，
故
故選  4.【答案】B
 【解析】【分析】本題考查幾何體的體積求解，屬于基礎(chǔ)題.
根據(jù)題意求解棱柱的高，即可求解.【解答】解：此包裝盒的高

故選B  5.【答案】A
 【解析】【分析】本題考查正弦定理在解三角形中的實(shí)際應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
根據(jù)，山高，求解出AC，利用正弦定理求解出AM，在中即可求解山高【解答】解：由題意得，山高，
可得
在中，，，
即，
又
由正弦定理，得，
可得
在中，，
可得
故選  6.【答案】D
 【解析】【分析】本題主要考查斜二測(cè)畫(huà)法，屬于基礎(chǔ)題.
根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的法則進(jìn)行還原即可.【解答】解：在軸上取一點(diǎn)，使，因?yàn)?/span>，所以，
按照斜二測(cè)畫(huà)法，還原后，的長(zhǎng)度變?yōu)?/span>8，
即為的邊AB上的高，
故選
   7.【答案】D
 【解析】【分析】本題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題.
取BC的中點(diǎn)D，連接OD、AD，則有，據(jù)此可將轉(zhuǎn)化為；接下來(lái)將和進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可得到答案.【解答】解：取BC的中點(diǎn)D，連接OD、AD，

，






故答案為  8.【答案】D
 【解析】【分析】本題是考查三角恒等變換與解三角形結(jié)合的綜合題，解題時(shí)應(yīng)熟練掌握運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)、誘導(dǎo)公式以及正余弦定理、面積公式等，屬于中檔題.
根據(jù)題目可知，利用正弦定理與三角恒等變換逐個(gè)分析即可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤.【解答】解：對(duì)于A，設(shè)的外接圓半徑為R，
根據(jù)正弦定理，可得，
所以的外接圓面積是，故A正確;
對(duì)于B，根據(jù)正弦定理，利用邊化角的方法，
結(jié)合，
可將原式化為
，故B正確；
對(duì)于C，
，
，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)A到直線BC的距離為d，
根據(jù)面積公式可得，
即，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，則，
故的最大值是，故D錯(cuò)誤.
故選：  9.【答案】ABD
 【解析】【分析】本題主要考查了三角形中解的個(gè)數(shù)的確定，屬于基礎(chǔ)題.
根據(jù)題意得到或，求解即可得到a的可能值.【解答】解：若滿足唯一確定，
則或，
故選  10.【答案】AD
 【解析】【分析】本題主要考查空間幾何體的截面問(wèn)題以及旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題.
結(jié)合幾何體特征，根據(jù)截面是否經(jīng)過(guò)圓柱上下底面的圓心即可判斷.【解答】解：一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐后，剩下的幾何體被一個(gè)豎直的平面所截后，圓柱的截面是矩形除去一條邊，
當(dāng)截面經(jīng)過(guò)圓柱上下底面的圓心時(shí)，圓錐的截面為三角形除去一條邊，A正確；
當(dāng)截面不經(jīng)過(guò)圓柱上下底面的圓心時(shí)，圓錐的截面為曲線的一部分，D正確．
故選  11.【答案】AD
 【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.
根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可判斷A；舉反例可判斷B；根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算可判斷C；由復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷【解答】解：選項(xiàng)，，，，
故，故A正確.
選項(xiàng)B，令滿足，故B錯(cuò)誤.
選項(xiàng)C，令，則，兩者不相等，故C錯(cuò)誤.
選項(xiàng)D，復(fù)數(shù)z滿足，即表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于以為圓心，為半徑的圓上，而表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離，點(diǎn)B位于圓A內(nèi)部.
故的最大值即為故D正確.
故選  12.【答案】BCD
 【解析】【分析】本題考查了向量的運(yùn)算、向量的投影、平面向量基本定理，涉及基本不等式求最值，屬于中檔題.
對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可得到答案.【解答】解：對(duì)于A，因?yàn)?/span>，故A不正確；
對(duì)于B，
，
故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?/span>，
所以AD是角A的平分線，
所以，
所以是在的投影向量，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?/span>A，P，D三點(diǎn)共線，
又因?yàn)?/span>，
所以，
所以，
當(dāng)取等號(hào)，
所以，故D正確，
故選  13.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
利用復(fù)數(shù)的幾何意義、向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及平行四邊形的性質(zhì)即可得出．【解答】解：依題點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，
得，，
可得
又對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，得，可得
設(shè)D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，x，
得，又，四邊形ABCD 為平行四邊形，
，
所以，，
解得，，
故D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為
故答案為  14.【答案】
 【解析】【分析】本題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.
根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算展開(kāi)等式，求得【解答】解：，，
，，，
，整理得：，
故答案為  15.【答案】
 【解析】【分析】本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，借助正方形的兩鄰邊建立直角坐標(biāo)系，將向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式的運(yùn)算，屬于中檔題.
以AB，AD為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，從而得，利用二次函數(shù)求值域即可得答案．【解答】解：以AB，AD 為x，y軸建立直角坐標(biāo)系則
，，，，
設(shè)，
，，

  ，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值；當(dāng)時(shí)函數(shù)有最小值
故答案為  16.【答案】
 【解析】【分析】本題考查三棱錐的體積的求法，考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力，是中檔題.
要使三棱錐的體積最大，則平面平面ABC，且P在底面ABC上的射影為AB中點(diǎn)O，利用已知條件求出三棱錐的高，再由棱錐體積公式求解即可．【解答】解：如圖，在三角形ABC中，由，，，
得，

要使三棱錐的體積最大，則平面平面ABC，且P在底面ABC上的射影為AB中點(diǎn)O，
連接PO并延長(zhǎng)，交三棱錐的外接球于D，則PD為球的直徑，
設(shè)，則，解得舍或
三棱錐的體積的最大值為
故答案為：  17.【答案】解：由題意得，，，
，或，已知關(guān)于x的方程的一根為，所以，所以，，解得
 【解析】本題考查復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求解一元二次方程的根，屬于中檔題.
將p的值代入，解方程即可；
將代入方程，利用復(fù)數(shù)相等可求得實(shí)數(shù)p的值.
 18.【答案】解：設(shè)正方體石塊的棱長(zhǎng)為a， 
則每個(gè)截去的四面體的體積為
由題意可得，解得
故正方體石塊的棱長(zhǎng)為
當(dāng)球形石凳的面與正方體的各個(gè)面都相切時(shí)球形石鬢的表面積最大.此時(shí)正方體的棱長(zhǎng)正好是球的直徑， 
球形石凳的表面積
，所以一瓶環(huán)保底漆大約可以粉刷3個(gè)球形石凳.
 【解析】本題考查四面體體積公式及幾何體的表面積計(jì)算，屬于中檔題.
根據(jù)四面體體積公式即可得，即可求出結(jié)果；
當(dāng)球形石凳的面與正方體的各個(gè)面都相切時(shí)球形石鬢的表面積最大.此時(shí)正方體的棱長(zhǎng)正好是球的直徑， 求得球形石凳的表面積，計(jì)算即可求出結(jié)果.
 19.【答案】解，
，
，則，
，



 【解析】本題考查了向量的加減法及數(shù)乘的幾何意義及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.
根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解即可；
求出，結(jié)合向量的模以及數(shù)量積即可求解.
 20.【答案】解：
由正弦定理邊角互化得， 
由于，，，
即，得，
或
又，
選①
在中，由余弦定理得
或舍
在中，由正弦定理得，所以
因?yàn)?/span>，所以，所以
選②在中，由余弦定理得，
或舍
在中，由余弦定理得
，，，
 【解析】本題考查正弦定理，余弦定理的綜合運(yùn)用與三角恒等變換，屬于中檔題.
用正弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用兩角和的正弦公式求出B；
若選①，由余弦定理求出 a，利用正弦定理求得答案；
若選②  ，由余弦定理求出a，再利用余弦定理求得答案．
 21.【答案】解：如圖，設(shè)B為臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)方向上的一點(diǎn)，臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)th到達(dá)B點(diǎn)，
由題意可得，在中，，，，由余弦定理得，若S島受到臺(tái)風(fēng)影響，則應(yīng)滿足條件，化簡(jiǎn)整理得，解得，所以從現(xiàn)在起，經(jīng)過(guò)后S島開(kāi)始受到影響，后影響結(jié)束，持續(xù)時(shí)間：即S島會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，從現(xiàn)在起經(jīng)過(guò)后開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的影響，且持續(xù)時(shí)間為
 【解析】本題考查了余弦定理的實(shí)際運(yùn)用，屬于中檔題.
設(shè)臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)t小時(shí)到達(dá)B點(diǎn)，根據(jù)題意求得，在中利用余弦定理得關(guān)于t的關(guān)系式，若S島受到臺(tái)風(fēng)影響，則應(yīng)滿足條件，化簡(jiǎn)整理可解得t的范圍，進(jìn)而得到答案.
 22.【答案】解：，即為，
可得，
，，
，，
由，可得；
若為銳角三角形，且，
由余弦定理可得，
由三角形ABC為銳角三角形，
可得，且，
解得，
可得面積
即面積的取值范圍是
 【解析】本題考查了正弦定理和余弦定理、三角形面積公式，屬于中檔題．
運(yùn)用誘導(dǎo)公式和二倍角公式，以及正弦定理，計(jì)算可得所求角；
運(yùn)用余弦定理可得b，由三角形ABC為銳角三角形，可得a且，求得a的范圍，由三角形的面積公式，可得所求范圍．
 

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