1. 已知，則為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出的值，再把變形為，再利用差角的余弦公式展開化簡即得的值.
【詳解】∵，
∴90°＜＜180°，
∴，
∴
，
故選：D.
【點睛】三角恒等變形要注意“三看（看角看名看式）”和“三變（變角變名變式）”，本題主要利用了看角變角，，把未知的角向已知的角轉化，從而完成解題目標.
2. 如圖所示，正方形的邊長為2cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是（ ）
A. 16cmB. cm
C. 8cmD. cm
【答案】A
【解析】
【分析】由直觀圖確定原圖形中平行四邊形中線段的長度與關系，然后計算可得．
【詳解】由斜二測畫法，原圖形是平行四邊形，，
又，，，
所以，
周長為．
故選：A．
3. 在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，則△ABC的外接圓面積為
A. B. πC. 2πD. 4π
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圓面積S＝πR2＝π.
【詳解】在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.設△ABC的外接圓半徑為R，則由正弦定理可得2R＝，解得R＝1，
故△ABC的外接圓面積S＝πR2＝π.
故選B.
【點睛】本題主要考查正弦定理及余弦定理的應用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有關的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù). 解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說 ,當條件中同時出現(xiàn) 及 、 時，往往用余弦定理，而題設中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結合和、差、倍角的正余弦公式進行解答.
4. 在△中，若，則△的形狀是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰或直角三角形
C. 等腰三角形D. 等邊三角形
【答案】B
【解析】
【分析】利用切化弦及正弦定理邊角轉化，可得，即，從而可得出或.
【詳解】由，可得，
由正弦定理，可得，
因為，所以，
則，故或，
即或，所以△是等腰或直角三角形.
故選：B.
【點睛】本題考查正弦定理的應用，考查三角函數(shù)恒等變換，考查學生的推理能力，屬于基礎題.
5. 已知，向量在向量上的投影為，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量的幾何意義，列出方程求出與夾角的余弦值，即可得出夾角大小.
【詳解】記向量與向量的夾角為，
在上的投影為.
在上的投影為，
，
，
.
故選：B.
6. 已知，為單位向量，，記是與方向相同的單位向量，則在方向上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量投影的定義求解.
【詳解】由題設可得，即，則，
設與的夾角為，則.
又，故,
因為是與方向相同的單位向量，所以在方向上的投影向量為.
故選: C
7. 甲船在島的正南方處，且甲船以的速度向正北方向航行，同時乙船自島出發(fā)以的速度向北偏東的方向行駛，當甲、乙兩船相距最近時它們航行的時間是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依題意畫出圖形，假設經(jīng)過x小時兩船相距最近，利用余弦定理可得
，當時，最小，即最小，兩船相距最近，最后將小時換算成分鐘即可得解.
【詳解】假設經(jīng)過x小時兩船相距最近，甲乙分別行至C，D如圖所示：
可知，，，

，
當小時，即時，距離最小.
故選：A．
【點睛】本題考查利用余弦定理定理解決實際問題，考查邏輯思維能力和運算求解能力，屬于?？碱}.
8. 若函數(shù)在上有零點，則實數(shù)的取值范圍（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意結合函數(shù)零點的概念可得方程在上有解，令，通過換元法求得y在上的值域即可得解.
【詳解】因為函數(shù)在上有零點，
所以方程在上有解，
設，
，，，
，
，
當時，y取得最大值，當時，y取得最小值，
故可得，.
故選：A.
【點睛】本題考查了函數(shù)與方程的綜合應用，考查了三角函數(shù)的性質及三角恒等變換的應用，考查了邏輯思維能力和運算求解能力，屬于中檔題.
9. 如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E、F且EF=，則下列結論中錯誤的是（ ）
A. AC⊥BEB. EF平面ABCD
C. 三棱錐A-BEF的體積為定值D. 異面直線AE,BF所成的角為定值
【答案】D
【解析】
【分析】A．通過線面的垂直關系可證真假；B．根據(jù)線面平行可證真假；C．根據(jù)三棱錐的體積計算的公式可證真假；D．根據(jù)列舉特殊情況可證真假.
【詳解】A．因為，所以平面，
又因為平面，所以，故正確；
B．因為，所以，且平面，平面，
所以平面，故正確；
C．因為為定值，到平面的距離為，
所以為定值，故正確；
D．當，，取為，如下圖所示：
因為，所以異面直線所成角為，
且，
當，，取為，如下圖所示：
因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，
所以異面直線所成角為，且，
由此可知：異面直線所成角不是定值，故錯誤.
故選：D.
【點睛】本題考查立體幾何中的綜合應用，涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計算，難度較難.注意求解異面直線所成角時，將直線平移至同一平面內(nèi).
10. 函數(shù)圖像上一點向右平移個單位，得到的點也在圖像上，線段與函數(shù)的圖像有5個交點，且滿足，，若，與有兩個交點，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根據(jù)已知條件分析出，可得，再由可得對稱軸為，利用可以求出符合題意的一個的值，進而得出的解析式，再由數(shù)形結合的方法求的取值范圍即可.
【詳解】
如圖假設，線段與函數(shù)的圖像有5個交點，則，
所以由分析可得，所以，
可得，
因為所以，即，
所以是的對稱軸，
所以，即，
，
所以，可令得，
所以，
當時，令，則，
作圖象如圖所示：
當即時，當即時，，
由圖知若，與有兩個交點，則的取值范圍為，
故選：A
【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是取特殊點便于分體問題，利用已知條件結合三角函數(shù)圖象的特點，以及三角函數(shù)的性質求出的解析式，再利用數(shù)形結合的思想求解的取值范圍.
11. 已知向量的夾角為，，向量，且，則向量夾角的余弦值的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依題意可得，，
令，則，
通過換元可得，所以，當時，可得的 最小值.
【詳解】依題意可得，，則，
，
，則，
所以，，
令，則，
令，由得，
則，所以，故
所以，當時，有最小值.
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點是：令，通過換元得到.
二、多選題
12. 若向量，，下列結論正確的是（ ）
A. 若同向，則
B. 與垂直的單位向量一定是
C. 若在上的投影向量為（是與向量同向的單位向量），則
D. 若與所成角為銳角，則n的取值范圍是
【答案】AC
【解析】
【分析】A．先根據(jù)共線確定出的可取值，然后根據(jù)同向確定出的值；
B．分析的相反向量與的位置關系并進行判斷；
C．根據(jù)求解出的值；
D．根據(jù)且不同向即可求解出的取值范圍.
【詳解】A．設，所以，所以，即，所以滿足，故正確；
B．因為，所以也是與垂直的單位向量，故錯誤；
C．因為在上的投影向量為，所以，所以，所以，故正確；
D．因為與所成角為銳角，所以且不同向，
所以，所以，故錯誤；
故選：AC.
【點睛】思路點睛：已知向量的夾角為銳角或者鈍角，求解參數(shù)范圍的步驟：
（1）根據(jù)兩個向量的夾角為銳角或鈍角，得到或，求解出的范圍；
（2）特殊分析：當兩個向量共線時，計算出參數(shù)的取值；
（3）排除兩個向量共線時參數(shù)的取值，確定出參數(shù)的取值范圍.
13. 對于函數(shù)，下列結論正確的是（ ）
A. 把函數(shù)f(x)的圖象上的各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，則是函數(shù)y=g(x)的一個周期
B. 對，若，則
C. 對成立
D. 當且僅當時，f(x)取得最大值
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則化簡即可判斷A；令， ，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷B；代入直接利用誘導公式化簡即可；首先求出的最大值，從而得到的取值；
【詳解】解：因為，令，所以，所以，
對于A：將圖象上的各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，則，所以
，所以是函數(shù)y=g(x)的一個周期，故A正確；
對于B：因為，所以，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，對稱軸為，開口向上，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故B錯誤；
對于C：
，故C正確；
因為，，當時取得最大值，令，則，所以，解得，即當時，函數(shù)取得最大值，故D錯誤；
故選：AC
【點睛】本題考查三角函數(shù)的綜合應用，解答的關鍵是換元令，將函數(shù)轉化為二次函數(shù)；
14. 已知中，，，為邊上的高，且，沿將折起至的位置，使得，則（ ）
A. 平面平面
B. 三棱錐的體積為8
C.
D. 三棱錐外接球的表面積為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)及翻折前后幾何元素的位置關系得到，，從而可得平面平面，A選項正確；
先根據(jù)已知求出，再求得，然后利用三角形的面積計算公式、錐體的體積計算公式及等體積法求得結果，即可判斷B選項；
在中利用余弦定理求得的值，即可判斷C選項；
利用幾何直觀及三棱錐外接球的球心與側面的位置關系，結合已知得到部分幾何元素的數(shù)量關系，從而求得三棱錐外接球的半徑，最后根據(jù)球的表面積的計算公式求得結果，即可判斷D選項．
【詳解】對于A：因為為邊上的高，所以，沿將折起至的位置后，，，所以平面，所以平面平面，所以A選項正確；
對于B：因為，，，所以，又，所以，，所以B選項不正確；
對于C：在中，，，，由余弦定理可得，所以，所以C選項正確；
對于D：如圖，記為三棱錐外接球的球心，為外接圓的圓心，連接，則平面，取的中點，的中點，連接，得，又平面，所以平面PDC，故，連接，，易知平面，平面，故，且，則四邊形為矩形，連接，，則為外接圓的半徑，由正弦定理可得，所以，又，故外接球半徑，所以三棱錐外接球的表面積為，所以D選項正確．
故選：ACD．
【點睛】方法點睛：三棱錐外接球的球心的一般作法：
分別找到兩個側面三角形的外心，再分別過外心作相應平面的垂線，兩垂線的交點即三棱錐外接球的球心，通常是找到兩個特殊三角形，因為這樣易找到外心或易求得外接圓的半徑．
二、填空題
15. 已知向量與滿足，，與的夾角為，，則______．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量垂直的表示列方程，解方程求得的值，進而求得.
【詳解】依題意，，，與的夾角為，，
所以，
解得.
所以
故答案為：
【點睛】本小題主要考查向量垂直的表示，考查向量模的求法，屬于中檔題.
16. 在銳角中，，，則的取值范圍為____________.
【答案】
【解析】
【詳解】解：在銳角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，∴π 2 ＜3 A＜π，且 0＜2A＜π 2 ，故 π 6 ＜A＜π 4 ，故 ＜csA＜ ． 由正弦定理可得 1： sinA =" b" ：sin2A ，∴b=2csA，∴＜b＜ ．
17. 關于函數(shù)，有下列命題：
①偶函數(shù)；
②方程的解集為；
③的圖象關于點對稱；
④在內(nèi)的增區(qū)間為和；
⑤的振幅為4，頻率為，初相為．
其中真命題的序號為______．
【答案】③⑤
【解析】
【分析】①利用三角函數(shù)的奇偶性判斷真假；②解三角方程來判斷真假；③利用代入法判斷真假；④利用單調(diào)性的知識判斷真假；⑤根據(jù)的有關概念判斷真假.
【詳解】①，依題意，令，則，所以①錯誤.
②，由得.當，即時，，但，所以②錯誤.
③，，所以的圖象關于點對稱，即③正確.
④，由于，
，
所以不是的增區(qū)間，所以④錯誤.
⑤，的振幅為，周期，頻率為，初相為，所以⑤正確.
故答案為：③⑤
【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性、和三角函數(shù)的概念，屬于中檔題.
18. 關于，有如下四個結論：
①是奇函數(shù).
②圖像關于軸對稱.
③是的一條對稱軸.
④有最大值和最小值.
其中說法正確的序號是________．
【答案】①③
【解析】
【分析】
借助于的性質，對照四個選項，一一驗證.
【詳解】的定義域
對于①：定義域關于原點對稱，，即是奇函數(shù)，故①正確；
是奇函數(shù)，圖像關于原點對稱，故②錯誤；
對于③：
而，
所以，故③正確；
對于④：令，則，
無最小值，無最大值，故④錯誤.
故答案為：①③
【點睛】這是另一種形式的多項選擇，多項選擇題是2020年高考新題型，需要要對選項一一驗證．
19. 南宋數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出“三斜求積術”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上：以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實：一為從隅，開平方得積可用公式（其中、、、為三角形的三邊和面積）表示.在中，、、分別為角、、所對的邊，若，且，則面積的最大值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】由條件結合余弦定理可得出，然后利用二次函數(shù)的基本性質結合公式可求得面積的最大值.
【詳解】，則，
可得，
所以，.
當且僅當時，等號成立.
因此，面積的最大值為.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：求三角形面積的最值一種常見的類型，主要方法有兩類：
（1）找到邊與邊之間的關系，利用基本不等式或二次函數(shù)的基本性質來求解；
（2）利用正弦定理，轉化為關于某個角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.
三、解答題
20. 已知角的頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊在射線上．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義求得，由此求得的值.
（2）先求得的值，利用誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系式化簡所求表達式，由此求得所求表達式的值.
【詳解】（1）因為角的終邊在射線上，所以可設終邊上一點，
則根據(jù)三角函數(shù)的定義有，，
，所以．
（2）由及，
解得：；
所以
【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的定義，考查兩角和的正切公式，考查誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系式，屬于中檔題.
21. 的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.
（1）求角C；（2）若，，求的周長.
【答案】（1）（2）
【解析】
【詳解】試題分析：（1）根據(jù)正弦定理把化成，利用和角公式可得從而求得角；（2）根據(jù)三角形的面積和角的值求得，由余弦定理求得邊得到的周長.
試題解析：（1）由已知可得
（2）
又
，
的周長為
考點：正余弦定理解三角形.
22. 設．
（1）求使不等式成立的的取值集合；
（2）先將圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變；再向右平移個單位；最后向下平移個單位得到函數(shù)的圖象．若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用降冪公式和輔助角公式可得，因此等價于，利用正弦函數(shù)的性質可求不等式的解集.
（2）根據(jù)圖象變換可得，從而原不等式可化為在，換元后利用二次函數(shù)的性質可求的取值范圍.
【詳解】解：.
（1）即：
，
所以原不等式的解集為：.
（2）將圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變,得；再向右平移個單位，得；最后向下平移個單位得到函數(shù)，
∴.
設，由可得：，
則原不等式等價于：在上恒成立；
設，，則在遞增，在遞減，所以，
所以．
【點睛】形如的函數(shù)，可以利用降冪公式和輔助角公式將其化為的形式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質求與相關的不等式或方程的求解問題．另外，含的二次式的恒成立問題，常通過換元轉化為一元二次不等式在相應范圍上的恒成立問題.
23. 已知的面積為S，三邊分別為，且．
（1）求；
（2）求，求周長的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由數(shù)量積的定義及面積公式的表示化簡即可得解；
（2）由余弦定理得，從而可得最值.
【詳解】（1）由得，
，所以，
由，解得；
（2）由余弦定理可得：，
得，解得，當且僅當時等號成立，
所以當時，周長的最大值為，
24. 如圖，在正三棱柱中，分別為的中點.
（1）求證：平面；
（2）求三棱錐的體積.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)，從而可得，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；
（2）根據(jù)棱錐的體積公式計算即可.
【小問1詳解】
證明：分別為的中點，，
又，
又平面平面，
平面；
【小問2詳解】
解：由題知，底面為等邊三角形，
分別為的中點，，
，
又，
三棱錐的體積.
25. 如圖，在梯形中，，．
（1）若，，，試用、表示；
（2）若，是梯形所在平面內(nèi)一點，求的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）計算出的長，利用平面向量的減法法則可得出結果；
（2）取的中點，連接，以點為原點，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標系，設點，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算結合二次函數(shù)的基本性質可求得的最小值.
【詳解】（1）如下圖所示，過點作交于點，設，
，且，所以，四邊形是邊長為的菱形，
所以，且，
，即，整理可得，，解得，
所以，，因此，；
（2）取的中點，連接，
，為的中點，則，所以，且，
又因為，則四邊形為菱形，則，
所以，為等邊三角形，
取的中點，連接，以點為原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則、、，
設點，，，，
則，
所以，
，
所以，當且時，最小值.
【點睛】方法點睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：
（1）利用定義：
（2）利用向量的坐標運算；
（3）利用數(shù)量積的幾何意義．
具體應用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應用．
26. 已知，函數(shù)．
（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；
（2）若，求的值；
（3）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，求正數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）由題意先表示出的表達式，然后運用輔助角公式化簡，求出在區(qū)間上的最值
（2）由題意得，結合求解出答案
（3）表示出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，結合題意討論得到的取值范圍.
【詳解】（1） ，
因為，所以，所以，
所以．
（2）因為，所以，所以，
因為，所以，
所以，
所以
．
（3），令， 得，
因為函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以存在，使得
所以有 即
因為，所以又因為， 所以， 所以
從而有，所以，
所以
【點睛】方法點睛：本題主要考查了三角函數(shù)的綜合運用，利用輔助角公式化簡求出最值，并結合三角函數(shù)圖像的單調(diào)性求的取值范圍，解決此類問題常采用整體代換思想．
27. 已知向量.
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間.
（2）若方程上有解，求實數(shù)m的取值范圍.
（3）設，已知區(qū)間[a，b]（a，b∈R且a＜b）滿足：y＝g（x）在[a，b]上至少含有100個零點，在所有滿足上述條件的[a，b]中求b﹣a的最小值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)數(shù)量積運算和倍角公式、輔助角公式，求出.令，求出的取值范圍，即得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由（1）知.當時，求得.令，則方程在上有解，即方程在上有解，即求實數(shù)的取值范圍；
（3）求出函數(shù)的解析式，令，得零點的值，可得零點間隔依次為和.若最小，則均為零點，結合函數(shù)在上至少含有100個零點，求得的最小值.
【詳解】（1），
.
令，得，
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）由（1）知
，即.
令，則.
方程在上有解，即方程在上有解.
又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，即.
實數(shù)的取值范圍為.
（3）.
令，得或，
或.
函數(shù)的零點間隔依次為和.
若最小，則均為零點.
函數(shù)上至少含有100個零點，
.
【點睛】本題考查三角恒等變換、三角函數(shù)的性質、函數(shù)與方程及函數(shù)的零點，屬于難題.

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