河北省滄衡八校聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題期中數(shù)學(xué)試題 下列幾何體中，面的個(gè)數(shù)最少的是A. 四面體 B. 四棱錐 C. 四棱柱 D. 四棱臺(tái)已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的虛部為A. 1 B.  C. i D. 已知m，n是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的是A. 若，，則 B. 若，，則
C. 若，，則 D. 若，，則在中，，，A為鈍角，則BC的取值范圍是A.  B.  C.  D. 如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為矩形，其中，則原平面圖形的周長(zhǎng)為
 A.  B. 8 C. 14 D. 《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽(yáng)馬.若陽(yáng)馬以如圖所示的正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，以正六棱柱的側(cè)棱為垂直于四棱錐底面的側(cè)棱，則陽(yáng)馬的個(gè)數(shù)為
 A. 16 B. 24 C. 12 D. 4已知是邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)M為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則AM長(zhǎng)度的最小值為A.  B.  C.  D. 如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方休中，E，F，G分別為，，，的中點(diǎn)，過(guò)E，F，G三點(diǎn)的平而截正方休所得的截面面積為
 A. 4 B.  C.  D. 下列情況中，適合用抽樣調(diào)查的是A. 調(diào)查某村去年新生嬰兒的數(shù)量
B. 調(diào)查某地區(qū)一年內(nèi)的空氣質(zhì)量狀況
C. 調(diào)查一條河流的水質(zhì)
D. 調(diào)查一個(gè)班級(jí)學(xué)生每天的睡眠時(shí)間右圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，下列關(guān)于原正方體的判斷正確的是
 A.  B. 平面EDG
C. 平面EDG D. 平面平面EBG在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，下列各組條件中使得恰有一個(gè)解的是A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，在正方體中，異面直線a和b分別在上底面和下底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，a與b的夾角為，且，當(dāng)與b所成角為時(shí)，則a與側(cè)面所成角的正切值可能為A. 2 B. 3 C.  D. 已知非零向量，滿足，則與的夾角為__________.寫(xiě)出一個(gè)虛數(shù)z，使的實(shí)部為3，則__________.我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”.類比趙爽弦圖，由3個(gè)全等的小三角形拼成如圖所示的等邊，若的邊長(zhǎng)為﹐且，則的面積為__________.已知一球體剛好和圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切，且圓臺(tái)上底面的半徑為2，下底面的半徑為1，則該球體的表面積為__________.2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，1921年中國(guó)共產(chǎn)黨的誕生掀開(kāi)了中國(guó)歷史的新篇章，百年來(lái)，黨帶領(lǐng)全國(guó)人民譜寫(xiě)了中華民族自強(qiáng)不息、頑強(qiáng)奮進(jìn)的壯麗史詩(shī).某校在全校開(kāi)展黨史學(xué)習(xí)教育活動(dòng)暨問(wèn)卷測(cè)試，已知該校高一年級(jí)有學(xué)生1200人，高二年級(jí)有學(xué)生960人，高三年級(jí)有學(xué)生840人.為了解全校學(xué)生問(wèn)卷測(cè)試成績(jī)的情況，按年級(jí)進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣得到容量為100的樣本.若在各層中按比例分配樣本，試問(wèn)在各年級(jí)中應(yīng)分別抽取多少人？如果高一、高二、高三年級(jí)問(wèn)卷測(cè)試成績(jī)的平均分分別為85分、80分、90分，求該校全體學(xué)生本次問(wèn)卷測(cè)試成績(jī)的平均分.






 已知復(fù)數(shù)，且求復(fù)數(shù)z及；若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求m的取值范圍.






 在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且求B；若，求






 如圖，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD，平面ABCD，，證明：平面平面求三棱錐的體積.






 如圖，在中，D是BC邊上一點(diǎn)，G是線段AD上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)G作直線與AB，AC分別交于點(diǎn)E，用向量，表示試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.






 如圖，在三棱錐中，平面平面BCD，，，證明：平面在側(cè)面ACD內(nèi)求作一點(diǎn)H，使得平面ACD，寫(xiě)出作法無(wú)需證明，并求線段AH的長(zhǎng).







答案和解析 1.【答案】A
 【解析】【分析】本題主要考查幾何體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．
直接根據(jù)幾何體的特征去判斷即可．【解答】解： 四面體有4個(gè)面，四棱錐有5個(gè)面，四棱柱和四棱臺(tái)有6個(gè)面．
故選  2.【答案】A
 【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)的除法，復(fù)數(shù)的基本概念，i的冪運(yùn)算的周期性，屬于基礎(chǔ)題.
先計(jì)算，再利用復(fù)數(shù)除法即可求得z，從而得到答案.【解答】解：因?yàn)?/span>，
所以

，
所以z的虛部為
故選  3.【答案】C
 【解析】【分析】本題考查線面平行的判定與性質(zhì)，線面垂直的判定與性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．
由線面平行的判定與性質(zhì)及線面垂直的判定與性質(zhì)逐一判定各選項(xiàng)即可．【解答】解：對(duì)于A，的判定定理為：若m垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由線面垂直的性質(zhì)可得，若，，則，故B錯(cuò)誤．
對(duì)于C，由線面垂直的性質(zhì)可得，若，，則，故C正確；
對(duì)于D，若，，則或m在平面內(nèi)，故D錯(cuò)誤；
故選  4.【答案】A
 【解析】【分析】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，考查“三角形兩邊之和大于第三邊”的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
由A為鈍角，得，從而得，解不等式，結(jié)合“三角形兩邊之和大于第三邊”的性質(zhì)，即可求得的范圍.【解答】解：  設(shè)三角形三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，
因?yàn)?/span>A為鈍角，所以，
，推得，
即，解得，
又，
故
故選  5.【答案】C
 【解析】【分析】本題考查了平面圖形與它的直觀圖應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．
由題意得到原平面圖形為鄰邊分別為6，1的平行四邊形，進(jìn)而求解即可．【解答】解：因?yàn)?/span>，，
所以，
在原圖中，，，
，
所以，
所以原平面圖形為鄰邊分別為6，1的平行四邊形，其周長(zhǎng)為
故選  6.【答案】B
 【解析】【分析】本題考查棱柱和棱錐的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.
由棱柱的結(jié)構(gòu)特征和陽(yáng)馬的結(jié)構(gòu)特征求出答案.【解答】解：根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，以正六棱柱下底面的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的內(nèi)接矩形共3個(gè)，而每個(gè)矩形可以形成4個(gè)不同的陽(yáng)馬，
所以陽(yáng)馬的個(gè)數(shù)是
同理，以上底面中的矩形為底面的情況下也有12個(gè)陽(yáng)馬，因此共有24個(gè)不同的陽(yáng)馬．
故選  7.【答案】B
 【解析】【分析】本題考查向量的數(shù)量積，向量的坐標(biāo)運(yùn)算和利用基本不等式求最值，屬于拔高題.
首先以BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OC，OA所在直線分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系xOy，進(jìn)而得到各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得，，進(jìn)而根據(jù)題干得到，設(shè)，，解得，，最后利用兩點(diǎn)間的距離公式和基本不等式求最值即可.【解答】解：如圖，以 BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OC，OA所在直線分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系xOy，即，，，
則，設(shè)，則，
即，，所以設(shè)，，
解得，，則
，
當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)等號(hào)成立，所以AM長(zhǎng)度的最小值為
故選  8.【答案】D
 【解析】【分析】本題考查空間幾何體中的截面問(wèn)題，屬于中檔題.
由題意可得截面為正六邊形EFGHIK，再根據(jù)正六邊形的棱長(zhǎng)為，由此求出答案.【解答】解：如圖所示：

可知過(guò)E，F，G三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面為正六邊形EFGHIK，
且該正六邊形的棱長(zhǎng)為，
所以該正六邊形的面積為
故選  9.【答案】BC
 【解析】【分析】此題考查對(duì)抽樣調(diào)查的認(rèn)識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.
根據(jù)調(diào)查對(duì)象較多時(shí)我們采取抽樣調(diào)查的方法，對(duì)象較少時(shí)可全部調(diào)查進(jìn)行分析即可.【解答】解：A，D適合用全面調(diào)查，因?yàn)檎{(diào)查對(duì)象較少；
B，C適合用抽樣調(diào)查，因?yàn)檎{(diào)查對(duì)象較多．
故選  10.【答案】ABD
 【解析】【分析】本題考查了空間直線與平面的位置關(guān)系，線面垂直的判定，面面平行的判斷的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了空間想象能力，是中檔題．
根據(jù)展開(kāi)圖作出正方體的直觀圖，再判斷各命題是否正確．【解答】解：由平面展開(kāi)圖得到該正方體的直觀圖如圖所示，

因?yàn)?/span>，，，AF，平面ADGF，
所以平面ADGF，
又平面ADGF，
所以，A正確；
由平面ABGH，平面ABGH，可得，
同理可得，
又ED，平面EDG，，
所以平面EDG，B正確；
由，平面EBG，平面EBG，
可得平面EBG，同理可得平面EBG，
又AH ，平面ACH ，，
所以平面平面EBG，D正確；
因?yàn)?/span>，平面ECG，平面ECG，
易證平面ECG，C錯(cuò)誤．
故選  11.【答案】BD
 【解析】【分析】本題考查了正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)正弦定理分別判斷即可．【解答】解： 對(duì)于A，，所以，
又，所以，這與矛盾，所以無(wú)解；
對(duì)于B，由正弦定理可得，即，
所以只有一解；
對(duì)于C，由正弦定理可得，
又，所以B有兩解，即有兩解；
對(duì)于D，由正弦定理可得，
又，所以B只有一解，即只有一解．
故選  12.【答案】CA
 【解析】【分析】本題考查空間中的直線與平面所成的角，考查考生的空間立體感和邏輯推理能力，屬于拔高題.
在正方體中，易得直線BD與所成角為，即可得或，然后將或分開(kāi)進(jìn)行求解即可得.【解答】解：在正方體中，易得直線BD與所成角為，
所以或，
當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作直線CE與BD交于點(diǎn)O，

使直線CE與BD夾角的正弦值為，則，
此時(shí)或，a與側(cè)面所成角為，
因?yàn)?/span>，
所以
當(dāng)時(shí)，
；
當(dāng)時(shí)，


當(dāng)時(shí)，同理．
故選  13.【答案】
 【解析】【分析】本題考查兩個(gè)向量垂直的條件、向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)題意可得，即，進(jìn)而即可求得結(jié)果.【解答】解：設(shè)與的夾角為，由，
可得，
所以，則
故答案為 .  14.【答案】答案不唯一，只要 z的實(shí)部與虛部的平方差為3，且實(shí)部、虛部均不為0即可
 【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.
設(shè)，則，只需滿足，且即可.【解答】解： 設(shè)，a，R，
則，
只需滿足，且即可．
可令，，
此時(shí)  15.【答案】
 【解析】【分析】本題考查余弦定理和三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)，設(shè)，利用余弦定理求得，再利用面積公式求解即可．【解答】解：因?yàn)?/span>，
所以
設(shè)，則，
在中，
由余弦定理可得，
解得，
所以
故答案為 .  16.【答案】
 【解析】【分析】本題考查了球的表面積以及圓臺(tái)的性質(zhì)，考查了學(xué)生的空間想象能力以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．
畫(huà)出圖示，利用圓臺(tái)的性質(zhì)求和已知條件出球的半徑，由此即可求解．【解答】解：如圖所示：

在截面梯形ABDC中，，，
因?yàn)?/span>
，
解得
又因?yàn)?/span>，
所以，
所以該球體的表面積為
故答案為  17.【答案】解：該校共有學(xué)生人，高一年級(jí)應(yīng)抽取人，高二年級(jí)應(yīng)抽取人，高三年級(jí)應(yīng)抽取人．全體學(xué)生問(wèn)卷測(cè)試成績(jī)的平均分為分．
 【解析】本題主要考查分層抽樣及求平均數(shù)的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.
根據(jù)抽樣比即可分別求解；
根據(jù)平均數(shù)公式代入計(jì)算，即可得解.
 18.【答案】解：因?yàn)?/span>，且，所以，
解得或舍去，所以復(fù)數(shù)即
，因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以解得
 【解析】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于中檔題．
把代入，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由實(shí)部為0且虛部不為0列式求解a值，則z可求，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求；
把代入，展開(kāi)后由實(shí)部大于0且虛部小于0列不等式組求解．
 19.【答案】解：由，
化簡(jiǎn)可得，再由正弦定理得，
所以，又因?yàn)?/span>，
所以因?yàn)?/span>，
所以，
從而，可得，
所以，又因?yàn)?/span>，
所以
 【解析】本題考查解三角形和三角恒等變換，屬于中檔題.
由正、余弦定理即可求解；
利用正弦定理和三角恒等變換公式得，進(jìn)而可求
 20.【答案】證明：因?yàn)?/span>平面ABCD，平面ABCD，所以，又因?yàn)?/span>平面ADE，平面ADE，所以平面在矩形ABCD中，，平面ADE，平面ADE，所以平面ADE，又，BC、平面
所以平面平面解：因?yàn)?/span>平面ABCD，平面ABCD，所以，
在矩形ABCD中，，又，FB、平面BCF，所以平面
因?yàn)?/span>，ED不在平面BCF內(nèi)，BF在平面BCF內(nèi)，所以平面BCF，所以點(diǎn)E到平面BCF的距離為CD，所以
 【解析】此題考查面面平行的判定，線面垂直的判定和棱錐的體積，屬于中檔題.
首先根據(jù)線面平行的判定得到平面ADE和平面ADE，進(jìn)而利用面面平行的判定定理得到平面平面
首先根據(jù)線面垂直的判定得到平面FBC，進(jìn)而得到點(diǎn)E到平面BCF的距離為CD，最后利用棱錐體積公式求解即可.
 21.【答案】解：，
，，
即
 設(shè)，，
則，因?yàn)?/span>
，所以，即，
故為定值．
 【解析】本題考查了向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算，平面向量的基本定理及其應(yīng)用，屬于中檔題.
由可得，由向量的線性運(yùn)算即可解題；
設(shè)，，由向量的線性運(yùn)算可得，由此即可解題.
 22.【答案】證明：因?yàn)?/span>，
所以，又因?yàn)槠矫?/span>平面BCD，平面平面，平面BCD，所以平面ABC，平面ABC，所以在中，，，所以，，可得，則又因?yàn)?/span>，AB，平面ABD，
所以平面解：作法：如圖，取CD的中點(diǎn)E，連接AE，過(guò)B作，垂足H即要求作的點(diǎn)．因?yàn)?/span>，，，BC，平面BCD，
所以平面BCD，
連接BE，則因?yàn)?/span>，，
所以，
則由等面積法可得，
故
 【解析】本題考查直線與平面垂直的判斷定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，空間中距離的求法，屬于中檔題．
證明，，即可證明平面
作法取CD的中點(diǎn)E，連接AE，過(guò)B作，垂足H即為要求作的點(diǎn)．
說(shuō)明平面BCD，連接BE，則，由等面積法，結(jié)合勾股定理求解即可．
 

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