考生注意：1．本試卷分試題卷和答題卷，請將答案寫在答題卷上，只交答題卷。
2．時量150分鐘，滿分150分。
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．
1．設(shè)，則=
A．B．C．D．2
2．2021年湖南省新高考實行“3+1+2”模式，即語文、數(shù)學(xué)、外語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式．某同學(xué)已選了物理，記事件A=“他選擇政治和地理”，事件B=“他選擇化學(xué)和地理”，則事件A與事件B
A．是互斥事件，不是對立事件B．是對立事件
C．既不是對立事件，也不是互斥事件D．無法判斷
3．已知兩條不同直線，，兩個不同平面，，則下列命題正確的是
A．若，，，則B．若，，，則
C．若，，，則D．若，，，則
4．設(shè)，則“”是“”的
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．已知a＝lg2，b＝()﹣2，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是
A．b＜c＜aB．b＜a＜c
C．a(chǎn)＜c＜bD．a(chǎn)＜b＜c
6．如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平
面內(nèi)的兩個觀測點C，D，測得∠BCD=15°，∠CBD=30°，
，并在C處測得塔頂A的仰角為45°，則塔高
A．B．
C．D．
7．函數(shù)f(x)＝x+csx的零點所在的區(qū)間為
A．B．C．D．
8．已知四邊形中，，，，點在四邊形上運動，則的最小值是
A．B．C．D．
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分． 在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．
9．為了解學(xué)生的身體狀況，某校隨機抽取了100名學(xué)生測量體重，經(jīng)統(tǒng)計，這些學(xué)生的體重數(shù)據(jù)(單位：千克) 全部介于45至70之間，將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則
A．頻率分布直方圖中的值為0.04
B．這100名學(xué)生中體重不低于60千克的人數(shù)為20
C．這100名學(xué)生體重的眾數(shù)約為52.5
D．據(jù)此可以估計該校學(xué)生體重的75%分位數(shù)約為61.25
10．將函數(shù)f(x)＝sin(2x－φ) (0＜φ＜) 的圖象上所有的點向左平行移動個單位長度，得到偶函數(shù)h(x) 的圖象，則下列結(jié)論中正確的有
A．h(x)的圖象關(guān)于點(，0) 對稱 B．h(x)的圖象關(guān)于x＝對稱
C．h(x)在[，]上的值域為[，] D．h(x)在[]上單調(diào)遞減
11．下列說法正確的是
A．若函數(shù)在存在零點，則一定成立
B．“，”的否定是“，”
C．設(shè)M為平行四邊形ABCD的對角線的交點，O為平面內(nèi)任意一點，則
D．若，O為△ABC所在平面一點，S△BOC和S△ABC分別表示△BOC和△ABC的面積，則S△BOC∶S△ABC＝1∶3
12．如圖，在正方體中，點在線段上運動，則
A．直線平面
B．二面角的大小為
C．三棱錐的體積為定值
D．異面直線與所成角的取值范圍是
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．已知向量，，若，則_______．
14．關(guān)于x的方程x2+(2a-i)x-ai+1=0有實根，則實數(shù)a的值為__________．
15．為了了解某設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性，現(xiàn)隨機抽取了10件產(chǎn)品，其質(zhì)量(單位：克)
如下：495，500，503，508，498，500，493，500，503，500，質(zhì)量落在區(qū)間[-s，+s]
(表示質(zhì)量的平均值，s為標(biāo)準(zhǔn)差)內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為 ．
16．已知函數(shù)，若當(dāng)方程有四個不等實根、、、，
(＜＜＜) 時，不等式恒成立，則x1·x2= ，實數(shù)的最小值為___________．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．(10分) 已知，函數(shù)f (x)=·．
(1) 求f (x)的最小正周期和最大值；
(2) 求f (x)在上的單調(diào)區(qū)間．
18．(12分) 從①，②，③三個條件中任選一個補充在下面問題中，并解答：
已知△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，，，已知_________．
(1) 求角的大小；
(2) 若△ABC為銳角三角形，，求a的取值范圍．
19．(12分) 在直三棱柱中，，分別是，的中點．
(1) 求證：平面；
(2) 若，，．
①求二面角的正切值；
②求直線到平面的距離．
20．(12分) 為打造精品賽事，某市舉辦“江南驛道定向大賽”，該賽事體現(xiàn)了“體育+文化+旅游”全方位融合發(fā)展．本次大賽分少年組、成年
組、專業(yè)組三個小組，現(xiàn)由工作人員統(tǒng)計各個組別
的參賽人數(shù)以及選手們比賽時的速度，得到如下統(tǒng)
計表和頻率分布直方圖：
(1) 求a，b的值；
(2) 估計本次大賽所有選手的平均速度(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中間值作代表，最終計算結(jié)果精確到0.01)；
(3) 通過分層抽樣從成年組和專業(yè)組中抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人接受采訪，求接受采訪的2人都來自“成年組”的概率．
21．(12分) 十九大指出中國的電動汽車革命早已展開，通過以新能源汽車替代汽/柴油車，中國正在大力實施一項將重塑全球汽車行業(yè)的計劃，2022年某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備看，通過市場分析，全年需投入固定成本3000萬元，每生產(chǎn) (百輛) 需另投入成本(萬元) ，且．由市場調(diào)研知，每輛車售價5萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完．
(1) 求出2022年的利潤S(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量 (百輛)的函數(shù)關(guān)系式；(利潤=銷售額-成本)
(2) 當(dāng)2022年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤．
22．(12分) 已知函數(shù)為奇函數(shù)．
(1) 求實數(shù)的值；
(2) 若對任意的，有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(3) 設(shè)(，且) ，問是否存在實數(shù)，使函數(shù)在上的最大值為?若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．
數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分．部分選對的得2分．
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上．
13． 14．±1
15．7 16． 1 (第一空2分，第二空3分)
四、解答題：本大題共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．(1)f(x)= ，
因此的最小正周期為π，最大值為．
(2)當(dāng)時，，
從而當(dāng)，
即時，單調(diào)遞增，
當(dāng)，即時，單調(diào)遞減．
綜上可知，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．
18．選①②③(1) ；(2)
(1) 選①：∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，∴．
選②：∵，
由正弦定理得．
∵，∴，
∴，∴．
又∵，∴．
選③：∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，∴．
(2) 由正弦定理，
∴．
∴
．
∵△為銳角三角形，，
可得 ，解得：，
∴，∴
∴，∴．
∴的范圍是．
19． 證明：(Ⅰ) 取中點并連接，
因為是的中點，所以，
因為是的中點，所以，
所以，，所以四邊形為平行四邊形，
所以，
因為平面，平面，
所以平面．
(Ⅱ) (ⅰ) 連接，因為，，是的中點，
所以，所以，所以，
同理可得，所以，
因為，所以二面角的平面角為，
又，所以平面，
因為平面，所以，
因為直三棱柱，所以平面，又平面，
所以，又，
所以平面，因為平面，所以，
易得，在中可得，
所以二面角的正切值為
(ⅱ) 因為平面，
所以直線到平面的距離等于點到平面的距離，
設(shè)點到平面的距離為，
因為，所以，
即，解得，
所以直線到平面的距離為．
20．(1) ，；(2) 9.05千米/小時；(3) ．
(1) 由頻率分布直方圖可知
，
∴．
少年組人數(shù)為300人，頻率，總?cè)藬?shù)人，
∴．
∴，．
(2) 平均速度
，
∴估計本次大賽的平均速度為9．05千米/小時．
(3) 成年組和專業(yè)組的參賽人數(shù)分別為600人、300人．
設(shè)在成年組和專業(yè)組抽取的人數(shù)分布為x，y，
則．
∴，．
∴由分層抽樣在成年組中抽取4人，專業(yè)組中抽取2人．
設(shè)成年組中的4人分別用A，B，C，D表示；專業(yè)組中的2人分別為a，b表示．
從中抽取兩人接受采訪的所有結(jié)果為：
AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab共15種．
接受采訪的兩人均來自成年組的所有結(jié)果為：AB，AC，AD，BC，BD，CD共6種．
故接受采訪的兩人都來自成年組的概率為．
21．(1) (5分)
(2) 當(dāng)時，
(3分)
當(dāng)時，
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立
(3分)
時，
即2022年產(chǎn)量為100百輛時，企業(yè)所獲利潤最大，且最大利潤為1300萬元。(1分)
22．
(1) ∵函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，
∴，解得．
(2) ∵，∴在上單調(diào)遞增，且．
∵，則，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，
∴在上恒成立，設(shè)，
則，
∴實數(shù)的取值范圍為．
(3) 不存在，理由如下，設(shè)，，，
∴在上恒成立，
∴，則，∵，則．
對于二次函數(shù)，開口向上，對稱軸為，∴
∴對稱軸一直位于的左側(cè)，則二次函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，，
假設(shè)存在滿足條件的實數(shù)，則當(dāng)時，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法，
可知為減函數(shù)，
∴，則，∴，
∴(舍) ，同理可知，當(dāng)時，(舍) ，
綜上所述，不存在實數(shù)滿足條件成立．
組數(shù)
速度(千米/小時)
參賽人數(shù)(單位：人)
少年組
300
成年組
600
專業(yè)組
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
B
C
D
A
C
題號
9
10
11
12
答案
ACD
ABD
BD
A C

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