注意事項:
1. 答題前，考生先將自己的姓名、班級、考場/座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.
2. 答選擇題時， 必須使用 2B 鉛筆填涂; 答非選擇題時， 必須使用 0.5 毫米的黑色簽字筆書寫; 必須在題號對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫無效；保持答卷清潔、完整.
3. 考試結(jié)束后，將答題卡交回(試題卷學(xué)生留存，以備評講).
一、單選題:本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.
1. 設(shè)集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先計算一元二次不等式得出集合A，再應(yīng)用對數(shù)函數(shù)的定義域得出集合B，最后應(yīng)用交集定義計算即可.
【詳解】因集合，
則.
故選：B.
2. 已知向量，，，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根據(jù)平面向量的坐標(biāo)化運算和垂直的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.
【詳解】∵向量，，，∴，
∵，∴，即得，解得，
故選：C．
3. 已知是關(guān)于的方程的一個根，，，則（ ）
A. B. 16C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】將代入方程，結(jié)合相等復(fù)數(shù)的概念求得，即可求解.
【詳解】將代入方程，
得，解得，，
所以.
故選：B
4. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用兩角差的余弦公式展開，即可求出，再由二倍角公式計算可得.
【詳解】因為，
則，即，
所以.
故選：B.
5. 已知圓，直線，則直線與圓相交弦長的最小值為（ ）
A. 4B. 2C. 6D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題可得直線過定點，則定點到圓心距離等于圓心到直線距離時可得最小值.
【詳解】圓
，則直線過定點，
因定點在圓內(nèi)，
定點到圓心的距離為，所以直線與圓相交弦長的最小值為.
故選：A.
6. 某學(xué)校擬派2名語文老師、3名數(shù)學(xué)老師和3名體育老師共8人組成兩個支教分隊，平均分到甲、乙兩個村進(jìn)行義務(wù)支教，其中每個分隊都必須有語文老師、數(shù)學(xué)老師和體育老師，則不同的分配方案有（ ）
A. 72種B. 36種C. 24種D. 18種
【答案】B
【解析】
【分析】先分配語文老師，再把數(shù)學(xué)體育老師按1，2和2，1分配，或2，1和1，2分配即可求解；
【詳解】兩名語文老師由種分配方程；
數(shù)學(xué)老師按1，2分，則體育老師按2，1分，
或數(shù)學(xué)老師按2，1分，則體育老師按1，2分，共有,
所以不同的分配方案有，
故選：B
7. 如圖，在三角形中，已知邊上的兩條中線相交于點，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】方法1，將作為與的夾角，利用向量知識結(jié)合題目數(shù)據(jù)可得答案；
方法2，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示完成運算；
方法3，利用余弦定理計算可得答案.
【詳解】法一：分別是的中點，.
與夾角等于，
，
則；
法二：以為軸，過點作與垂直的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則
，
則
；
法三：在中，由余弦定理，
又因為P為的重心，則，
在中再由余弦定理，
在中由余弦定理，
在中，由余弦定理，則
.
故選：D
8. 已知函數(shù)．若數(shù)列的前項和為，且滿足，，則的最大值為（ ）
A. 23B. 12C. 20D.
【答案】D
【解析】
【分析】先得到及遞推公式，要想最大，則分兩種情況，為負(fù)數(shù)且最小或為正數(shù)且最大，進(jìn)而求出最大值.
【詳解】由題意可知：，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
兩式相減可得：，整理得：，
所以，或，
當(dāng)是公差為的等差數(shù)列，且時，最小，可能最大，
此時，解得，此時；
當(dāng)且是公差為的等差數(shù)列時，最大，可能最大，
此時，解得，此時；
綜上所述：的最大值為.
故選：D.
二、多選擇題:本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分. 全部選對的得 6 分， 部分選對的得部分分， 有選錯的得 0 分.
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 一組數(shù)5，7，9，11，3，13，15的第60百分位數(shù)是11
B. 若隨機變量，滿足，，則
C. 一組數(shù)據(jù)的線性回歸方程為，若，則
D. 某學(xué)校要從12名候選人（其中7名男生，5名女生）中，隨機選取5名候選人組成學(xué)生會，記選取的男生人數(shù)為，則服從超幾何分布
【答案】ACD
【解析】
【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，根據(jù)百分位數(shù)的定義計算可判定A;根據(jù)方差的線性性質(zhì)計算可判定B；根據(jù)回歸方程必經(jīng)過樣本均值點，計算可判定C；根據(jù)超幾何分布的概念判定D.
【詳解】數(shù)據(jù)組為5，7，9，11，3，13，15，排序后為3，5，7，9，11，13，15.
計算第60百分位數(shù)：
根據(jù)人教版教材方法，位置計算為 ，向上取整到第5個位置，對應(yīng)數(shù)值11,因此選項A正確;
選項分析：
隨機變量，已知，根據(jù)方差性質(zhì)：
方差線性變換公式為 ，選項中錯誤;
選項分析：
線性回歸方程 必經(jīng)過樣本均值點,當(dāng) 時，代入方程得 ，選項正確;
選項分析：
從12名候選人（7男5女）中不放回地抽取5人，男生人數(shù)X服從超幾何分布H(12, 7, 5)，選項D正確.
故選：ACD.
10. 已知均為正數(shù)，且，則下列選項正確的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用基本不等式逐項判斷可得答案.
【詳解】對于A，，于是，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故A正確；
對于B，由得，得，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故B正確；
對于C，由得，即，
由于，所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立，故C正確；
對于D，，
當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立，故D錯誤
故選：ABC.
11. 在直三棱柱中，，，點，分別是，的中點，則下列說法正確的是（ ）
A. 異面直線與所成的角為45°
B.
C. 若點是的中點，則平面截直三棱柱所得截面的周長為
D. 點是底面三角形內(nèi)一動點（含邊界），若二面角的余弦值為，則動點的軌跡長度為
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用交線法找出截面，利用平行關(guān)系找出異面直線與所成的角，即可判斷A,利用直線和平面垂直的性質(zhì)定理證明平面，即可判斷B, 延長，交和的延長線于點，，連接交于點，連接，，則四邊形為平面截直三棱柱所得的截面,可判斷C, 過作的垂線，連接，過作的平行線交于點，則，所以截面為直三棱柱的截面，即可判斷D；
【詳解】選項A，過點作的平行線，則為異面直線與所成的角，
因為平面，且，所以平面，所以，
所以，因為異面直線所成角，
所以，故異面直線與所成的角為60°，故選項A不正確；
選項B，由已知得為等腰直角三角形，是的中點，則，
為直三棱柱，平面，平面，
，
，平面，，平面，，
設(shè)與交于點，其中，，
，，，
，，
，平面，，平面，故，選項B正確；
選項C，延長，交和的延長線于點，，連接交于點，連接，，則四邊形為平面截直三棱柱所得的截面，
由已知得，
由，則，即，
由，則，即，
由余弦定理可知，解得，
其周長為，故選項C正確；
選項D，若上存在一點使二面角的余弦值為，連接和，
因為平面，，，
二面角的平面角為，即，
設(shè)，則，，
在中，由余弦定理得
，
在中，由余弦定理得，
，解得，
過作的垂線，連接，過作的平行線交于點，則，
所以截面為直三棱柱的截面，
所以符合題意的的軌跡長度為線段的長，所以，故選項D正確.
故選：BCD
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第4小問的解決關(guān)鍵是利用二面角的定義求得，從而推得，進(jìn)而得到的軌跡長度為的長，從而得解.
三、填空題: 本題共 3 小題， 每小題 5 分， 共 15 分.
12. 在的展開式中，的系數(shù)為80，則實數(shù)的值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】求得二項展開式的通項，結(jié)合題意，列出方程，即可求解.
【詳解】由二項式的展開式的通項為，其中，
因為展開式中的系數(shù)為，
令，可得，解得.
故答案為：.
13. 已知定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時，，函數(shù)，則與的圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和為________________.
【答案】5
【解析】
【分析】由題可得有對稱軸為軸，對稱中心，然后在同一坐標(biāo)系中畫出與圖象，即可得答案.
【詳解】函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為.
定義在上的偶函數(shù)滿足，
則函數(shù)有對稱軸為軸，對稱中心；又當(dāng)時，，
在同一坐標(biāo)系在內(nèi)作出與的圖象，
當(dāng)，，
令，
則，且，
所以存在，使得當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，，即，
結(jié)合圖象可得，與的圖象有5個交點，
又均是與的圖象的對稱中心，
則兩函數(shù)所有交點的橫坐標(biāo)之和為5.
故答案為：5
14. 項數(shù)為的數(shù)列滿足，當(dāng)且僅當(dāng)時（其中，規(guī)定：），稱為“好數(shù)列”．在項數(shù)為6且的所有中，隨機選取一個數(shù)列，該數(shù)列是“好數(shù)列”的概率為__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)分布乘法求出所有的個數(shù)，由0出現(xiàn)的次數(shù)討論數(shù)列是“好數(shù)列”的個數(shù)，利用概率公式計算即可.
【詳解】由題意，因為項數(shù)為6且，
所以每一項都有兩種選擇，根據(jù)分布乘法計數(shù)原理，
可構(gòu)成的數(shù)列個數(shù)為個，
由題意，若為“好數(shù)列”，則意味著若，其前一項與后一項相等，
①則若中沒有0，則數(shù)列為，不符合題意，
②若中有1個0，不論0在那個位置，都會出現(xiàn)3個1相鄰，不符合題意，
③若中有2個0，則，，符合“好數(shù)列”定義；
④若中有3個及以上0，若0相鄰，根據(jù)定義，數(shù)列只能為，
若0不相鄰，只能1和0間隔出現(xiàn)，會出現(xiàn)兩個0中間出現(xiàn)1，不符合題意，
綜上，符合題意的“好數(shù)列”只有4個，
所以數(shù)列是“好數(shù)列”的概率為.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是理解“好數(shù)列”的定義，根據(jù)題意能列出符合條件的數(shù)列.
四、解答題:本題共 5 小題，共 77 分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程、演算步驟.
15. 為了了解高中學(xué)生語文與數(shù)學(xué)成績之間的聯(lián)系，從某學(xué)校獲取了名學(xué)生的成績樣本，并將他們的數(shù)學(xué)和語文成績整理如表：
單位：人
（1）依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)聯(lián)？
（2）以頻率估計概率、從全市高中所有數(shù)學(xué)不優(yōu)秀的學(xué)生中隨機抽取5人，設(shè)其中恰有位學(xué)生的語文成績優(yōu)秀，求隨機變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望．
附：
【答案】（1）依據(jù)的獨立性檢驗，可認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)聯(lián)；
（2）分布列見解析，.
【解析】
【分析】（1）提出零假設(shè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與語文無關(guān)，計算，比較其與臨界值的大小，由此確定結(jié)論；
（2）確定的可能取值，結(jié)合二項分布定義判斷，根據(jù)二項分布概率公式求取各值的概率，由此可得其分布列，再由二項分布期望公式求期望.
【小問1詳解】
零假設(shè)為：學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與語文無關(guān)，
由題，
所以依據(jù)的獨立性檢驗，推斷零假設(shè)不成立，即認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于.
【小問2詳解】
由題意可知數(shù)學(xué)不優(yōu)秀的學(xué)生中語文成績優(yōu)秀的概率為，
隨機變量的取值有，由已知，
則，，
，，
，，
所以隨機變量的分布列為
所以隨機變量的數(shù)學(xué)期望.
16. 在中，角、、所對的邊分別為、、，已知，．
（1）求；
（2）若的面積為，是上的點，且，求的長．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知得出，利用余弦定理結(jié)合可得出，再利用余弦定理可求得的值；
（2）利用三角形的面積公式結(jié)合（1）中的結(jié)論可求出、、的值，求出的值，利用正弦定理可求出的長.
【小問1詳解】
因為，所以，，即，
因為，則，即，故，
由余弦定理可得.
【小問2詳解】
因為，則，
因為，可得，
因，，故，，，
是上的點，且，則，，
所以，，
在中，由正弦定理可得，
故.
17. 如圖，在多面體中，四邊形與均為直角梯形，平面平面，，，，，，且.
（1）已知點為上一點，且，證明：平面；
（2）若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求點到平面的距離.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連接交于點，取中點為，易證四邊形為平行四邊形，從而為中點，為中位線，，由平行關(guān)系的傳遞性得到且，從而四邊形為平行四邊形，得到，再利用線面平行的判定定理證明；
（2）以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，，分別求得平面的一個法向量為，平面的法向量為，根據(jù)平面與平面所成銳二面角的余弦值為，由求得a，再由點C到平面的距離求解.
【小問1詳解】
證明：如圖，
連接交于點，取中點為，連接，，，
在四邊形中，，，
故四邊形為平行四邊形.
故為中點，所以在中，為中位線，
則且，又且，
故且，即四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面，
平面，即平面.
【小問2詳解】
因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，
以點為坐標(biāo)原點，分別以，，為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，，，，
則，，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，取，
，，
設(shè)平面的法向量為，
，取
由平面與平面所成銳二面角的余弦值為，
可得，
解得或（舍去）
故，又，
所以點到平面的距離.
18. 在平面直角坐標(biāo)系中，點到定點的距離與點到直線：的距離之比為2，點的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）已知點，，為曲線的左、右頂點．若直線與曲線的右支分別交于點.
（ⅰ）求實數(shù)的取值范圍；
（ⅱ）求的最大值．
【答案】（1）
（2）（i）；(ⅱ)
【解析】
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意列出等式，化簡可得；
（2）（i）設(shè)直線方程為，聯(lián)立可得，同理可得，由，可得；
（ii）由及，可得，設(shè)，則，即得.
【小問1詳解】
設(shè)，由題意知，
化簡得方程為
【小問2詳解】
設(shè)直線方程為，則，
聯(lián)立，可得，故，
因在右支上，故，得即，解得，
設(shè)方程為，則，
聯(lián)立，得，故，
因在右支上，故得，即，解得，
綜上可知，.
（ii），，，
故，
令，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
故的最大值為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問根據(jù)幾何性質(zhì)可得，結(jié)合，，代入后利用函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可.
19. 定義：若函數(shù)圖象上恰好存在相異的兩點，滿足曲線在和處的切線重合，則稱，為曲線的“雙重切點”，直線為曲線的“雙重切線”．
（1）直線是否為曲線的“雙重切線”，請說明理由；
（2）已知函數(shù)求曲線的“雙重切線”的方程；
（3）已知函數(shù)，直線為曲線的“雙重切線”，記直線的斜率所有可能的取值為，，…，，若（），證明：．
【答案】（1）是，理由見解析；
（2）；
（3）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，利用直線的斜率與導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點，再分別求切線方程驗證即可.
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并設(shè)出切點，求出處的切線方程，再利用“雙重切線”的定義求出切線方程.
（3）利用“雙重切線”的定義，分別設(shè)出對應(yīng)的切點，分別利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到對應(yīng)切點之間的關(guān)系，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點存在性定理確定判的零點所在區(qū)間，然后借助不等式性質(zhì)推理即得.
【小問1詳解】
的定義域為，求導(dǎo)得，直線的斜率為2，
令，解得，不妨設(shè)切點，
則點處的切線方程為，即，
點處的切線方程為，即，
所以直線是曲線的“雙重切線”.
【小問2詳解】
函數(shù)，求導(dǎo)得，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
設(shè)切點，則存在，使得，
則在點處的切線方程為，在點處的切線方程為，
因此，消去可得，
令，求導(dǎo)得，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，函數(shù)的零點為，因此，
所以曲線的“雙重切線”的方程為.
【小問3詳解】
設(shè)對應(yīng)的切點為，對應(yīng)的切點為，
由，得，，
由誘導(dǎo)公式及余弦函數(shù)的周期性知，只需考慮，，其中，
由及余弦函數(shù)在上遞增知，，
則，
，
因此，又，，
則，同理，
令，求導(dǎo)得，
則在上單調(diào)遞增，顯然，且，
函數(shù)在上的值域為，即函數(shù)在上存在零點，則有，
由，同理可得，而，因此，
于是，即有，
所以，即.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題求解的關(guān)鍵點有兩個：一是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的斜率；二是設(shè)切點并利用和切線方程得到之間的等式，進(jìn)而消去一個未知數(shù)，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求得方程的零點.
數(shù)學(xué)成績
語文成績
不優(yōu)秀
優(yōu)秀
不優(yōu)秀
優(yōu)秀

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重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試題（Word版附解析）

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