重慶市松樹橋中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上
2．回答選擇照時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選除其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求．
1. 已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為（）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用直線的斜率和直線傾斜角的關(guān)系進行求解即可.
【詳解】由直線的傾斜角為，
則直線的斜率，
故選：C.
2. 已知空間向量，且，則（）
A. 10B. 6C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】運用空間向量平行的坐標結(jié)論計算.
【詳解】因為，所以,
即，則.
故選：C.
3. 設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，則（）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依題意可得，即可，即可判斷.
【詳解】因為是直線的方向向量，是平面的法向量，
所以，所以，
所以或.
故選：A
4. 已知，，三點不共線，是平面外任意一點，若由確定的一點與，，三點共面，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)點與，，三點共面，可得，從而可得答案.
【詳解】因為，，三點不共線，點與，，三點共面，
又，
所以，解得.
故選：A.
5. 已知三點共線，則（）
A. B. 6C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)三點共線列方程，從而求得的值.
【詳解】由題可得，即，解得．
故選：B
6. 如圖，在平行六面體中，點E，F(xiàn)分別為AB，的中點，則（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用空間向量的基底表示向量.
【詳解】在平行六面體中，點E，F(xiàn)分別為AB，的中點，
則.
故選：A
7. 已知，，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量模的計算公式即可得出．
【詳解】，
∴
，
當且僅當時取等號．
∴的最小值為．
故選：D.
8. 如圖所示，正方體的棱長為1，點分別為的中點，則下列說法正確的是（）
A. 直線與直線垂直B. 直線與平面平行
C. 三棱錐的體積為D. 直線BC與平面所成的角為
【答案】B
【解析】
【分析】A選項根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷；對于B，D利用空間向量判斷，對于C，利用體積公式求解即可.
【詳解】A選項：為正方體，所以，直線與直線不垂直，所以直線與直線不垂直，故A錯誤；
如圖建立空間直角坐標系，則，
對于B，設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，
因為，所以，所以，
因為在平面外，所以直線與平面平行，所以B正確，
對于C，，所以三棱錐的體積為，所以C錯誤，
對于D，，直線BC與平面所成角為，，所以D錯誤，
故選：B.
二、多項選擇題，本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分部分選對的得2分有選錯的得0分．
9. 如圖，直線，，的斜率分別為，，，傾斜角分別為，，，則下列選項正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用斜率與傾斜角的定義，結(jié)合圖象判斷即可得.
【詳解】由圖可得，，故A、D正確.
故選：AD.
10. 已知是空間的一組基底，則下列說法正確的是（）
A. B. 若，則
C. 在上的投影向量為D. 一定能構(gòu)成空間的一組基底
【答案】BCD
【解析】
【分析】A選項，與共線，與共線，根據(jù)基底概念得到不共線，故A錯誤；B選項，假設(shè)x，y，z不全為0，推出矛盾，故假設(shè)不成立，B正確；C選項，根據(jù)投影向量的公式得到C正確；D選項，設(shè)，得到方程組，無解，故不共面，一定能構(gòu)成基底.
【詳解】A選項，與共線，與共線，
為一組基底，故不共線，故不可能成立，故A不正確；
B選項，是空間的一組基底，故三個向量不共面且兩兩共面不共線，
假設(shè)x，y，z不全為0，不妨設(shè)，，此時有，故，矛盾；
不妨設(shè)，此時，故共線，矛盾；
若三者均不為0，即，此時共面，矛盾，
綜上，假設(shè)不成立，故，B正確．
C選項，在上的投影向量為，C正確．
D選項，設(shè)，則，
即，無解，
故不共面，一定能構(gòu)成空間的一組基底，D正確．
故選：BCD．
11. 如圖，邊長為1的正方形所在平面與正方形在平面互相垂直，動點分別在正方形對角線和上移動，且，則下列結(jié)論中正確的有（）
A. ，使
B. 線段存在最小值，最小值
C. 直線與平面所成的角恒為45°
D. ，都存在過且與平面平行的平面
【答案】AD
【解析】
【分析】利用向量的線性運算可得，結(jié)合向量的模的計算可判斷B的正誤，結(jié)合向量夾角的計算可判斷C的正誤，結(jié)合共面向量可判斷D的正誤.
【詳解】因為四邊形正方形，故，
而平面平面，平面平面，
平面，故平面，而平面，
故.
設(shè)，則，其中，
由題設(shè)可得，
，
對于A，當即時，，故A正確；
對于B，，
故，當且僅當即時等號成立，故，故B錯誤；
對于C，由B的分析可得，
而平面的法向量為且，
故，此值不是常數(shù)，
故直線與平面所成的角不恒為定值，故C錯誤；
對于D，由B的分析可得，故為共面向量，
而平面，故平面，故D正確；
故選：AD
三、填空題．本題共3小題．每小題5分，共15分
12. 點關(guān)于平面對稱點是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)關(guān)于什么對稱什么不變來得答案.
【詳解】點關(guān)于平面對稱點是
故答案為：
13. 已知空間直角坐標系中的三點、、，則點A到直線BC的距離為______．
【答案】##
【解析】
【分析】求出直線的方向向量，再利用點到直線距離公式計算即得.
【詳解】依題意，，
所以點A到直線BC的距離.
故答案：
14. 在正三棱錐中，是的中心，，則______________．
【答案】16
【解析】
【分析】選擇為空間向量的基底，表示向量，再計算數(shù)量積即可.
【詳解】如圖：
首先：，.
又.
所以.
故答案為：16
四、解答題本小題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟
15. 已知直線l經(jīng)過兩點，同當m取何值時；
（1）直線l與x軸平行？
（2）直線l斜率不存在；
（3）直線的傾斜角為銳角？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】根據(jù)直線斜率的定義以及公式，解得直線位置關(guān)系，可得答案.
【小問1詳解】
若直線l與x軸平行，則直線l的斜率，所以．
【小問2詳解】
若直線l與y軸平行，則直線l的斜率不存在，所以.
【小問3詳解】
由題意可知，直線l的斜率，即，解得．
16. 如圖，在平行六面體中，，.

（1）求體對角線的長度；
（2）求證：四邊形為正方形.
【答案】（1）；
（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用空間向量數(shù)量積的運算律求出.
（2）利用平行六面體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合已知及正方形的判斷推理即得.
【小問1詳解】
在平行六面體中，，
由，，
得，
所以.
【小問2詳解】
在平行六面體中，，則四邊形為平行四邊形，
由，，得是等邊三角形，即，則為菱形；
又，則，即，
所以四邊形為正方形.
17. 如圖，在多面體中，，，.側(cè)面為矩形，平面，平面ABC，

（1）求直線與平面所成角的正弦值
（2）求直線到平面的距離.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可；
（2）利用空間向量點到面距離公式進行求解即可
【小問1詳解】
因為側(cè)面為矩形，
所以，
因為平面，平面，
所以，于是建立如圖所示的空間直角坐標系，

，
，，，
設(shè)平面的法向量為，
，
直線與平面所成角的正弦值為；
【小問2詳解】
因為側(cè)面為矩形，
所以，而平面，平面，
所以平面，
因此直線到平面的距離就是點到平面的距離，設(shè)為，
即.
18. 如圖，在四棱錐中，，，，三棱錐的體積為.
（1）求點到平面的距離；
（2）若，平面平面，點在線段上，，求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等體積法求得點到平面的距離；
（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求得平面與平面夾角的余弦值.
【小問1詳解】
設(shè)點到平面距離為，
則，
由題可知，
所以，
所以點到平面的距離為.
【小問2詳解】
取的中點，連接，因為，
又平面平面且交線為，平面，，
所以平面，由（1）知.
由題意可得，
所以，所以.
以點為坐標原點，為軸，為軸，過點作的平行線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，
依題意，
所以.
設(shè)平面的法向量為n1=x1,y1,z1，
則，故可設(shè)，
平面的一個法向量為，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
19. 如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，沿EF將四邊形EFCD折起，使二面角的大小為60°，點M在線段AB上.
（1）若M為AB的中點，且直線MF與直線EA的交點為O，求OA的長，并證明直線平面EMC；
（2）是否存在點M，使得直線DE與平面EMC所成的角為60°；若存在，求此時二面角的余弦值，若不存在，說明理由.
【答案】（1）；證明見解析；
（2）存在點，使得直線與平面所成的角為；此時二面角的余弦值為.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)中位線性質(zhì)可求得，由，結(jié)合線面平行判定定理可證得結(jié)論；
（2）由二面角平面角定義可知，取中點，由線面垂直的判定和勾股定理可知兩兩互相垂直，則以為坐標原點建立空間直角坐標系；設(shè)，利用線面角的向量求法可求得；利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
分別為中點，
，且，
又為中點，且，
易得，
連接，交于點，連接，
由題設(shè)，易知四邊形為平行四邊形，
為中點，
是的中點，
為中點，
，又平面，平面，
平面；
【小問2詳解】
，
，，
又平面，平面，
即為二面角的平面角，
；
取中點，連接，如圖，
，，
，
，
，
，
，，又平面，，
平面，
平面，
，
則以為坐標原點，方向為軸正方向建立空間直角坐標系如下圖所示，
則，，，，
設(shè)，則，，，
設(shè)平面的法向量n1=x1,y1,z1，則，
令，則，，，
直線與平面所成的角為，
，解得或，
存在點，當或時，使得直線與平面所成的角為；
設(shè)平面的法向量，又，，
，
令，則，，；
當時，，；
當時，，；
綜上所述：二面角的余弦值為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二步的關(guān)鍵在于證明三線互相垂直，建立空間直角坐標系，設(shè)出動點的坐標，熟練利用空間向量的坐標運算，求法向量，求二面角、線面角是解題的關(guān)鍵.

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