一、單選題
1．甲、乙等5人排成一行，則甲不站在5人正中間位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（ ）種.
A．B．C．D．
2．已知集合，，若，則的取值范圍是（ ）.
A．B．C．D．
3．已知一組數(shù)據(jù)大致呈線性分布，其回歸直線方程為，則的最小值為（ ）.
A．B．C．D．無法確定
4．已知函數(shù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作斜率為正且與的某條漸近線垂直的直線與雙曲線在第一象限交于，，則的離心率為（ ）.
A．B．C．D．
6．“長太息掩涕兮，哀民生之多艱”，端陽初夏，粽葉飄香，端午是一大中華傳統(tǒng)節(jié)日.小瑋同學(xué)在當(dāng)天包了一個(gè)具有藝術(shù)感的肉粽作紀(jì)念，將粽子整體視為一個(gè)三棱錐，肉餡可近似看作它的內(nèi)切球（與其四個(gè)面均相切的球，圖中作為球）.如圖：已知粽子三棱錐中，，、、分別為所在棱中點(diǎn)，、分別為所在棱靠近端的三等分點(diǎn)，小瑋同學(xué)切開后發(fā)現(xiàn)，沿平面或平面切開后，截面中均恰好看不見肉餡.則肉餡與整個(gè)粽子體積的比為（ ）.

A．B．C．D．
7．函數(shù)在其定義域內(nèi)的極小值點(diǎn)為（ ）.
A．B．C．D．
8．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)學(xué)家墨卡托、牛頓、Gregry Saint-Vincen曾分別獨(dú)立發(fā)現(xiàn)當(dāng)足夠大時(shí)，會(huì)趨向于一常數(shù)，先給出以下三個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)：①；②如果求數(shù)列前項(xiàng)和時(shí)存在給其中的某些項(xiàng)用括號(hào)括起后得到，，則；③.基于以上數(shù)學(xué)事實(shí)我們可以推出：將數(shù)列的項(xiàng)按某種規(guī)律重新排列（如：將第個(gè)偶數(shù)項(xiàng)排到第個(gè)奇數(shù)項(xiàng)后）后前項(xiàng)和在足夠大時(shí)（ ）.
A．最終一定趨于B．最終一定不趨于任何一個(gè)常數(shù)
C．最終一定趨于某一常數(shù)但不一定是D．以上均不正確
二、多選題
9．若復(fù)數(shù)滿足：，則的取值可以是：（ ）.
A．B．C．D．
10．將銳角三角形置于平面直角坐標(biāo)系中，，為軸上方一點(diǎn)，設(shè)中的對(duì)邊分別為且，則的外心縱坐標(biāo)可能落在以下（ ）區(qū)間內(nèi).
A．B．C．D．
11．如圖：在棱長為1的正方體中，分別為棱上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)（不在其邊上），且共面，，，.則下列說法正確的是：（ ）.
A．若，則直線與平面的夾角的正切值為
B．若，，，則
C．若，有最小值，則的取值范圍是：
D．若，則三棱錐外接球表面積的最小值為
三、填空題
12．設(shè)隨機(jī)變量的分布列如圖：
若的數(shù)學(xué)期望為，事件：或，事件：或，則 ； .
13．在平面直角坐標(biāo)系中，分別為軸上的點(diǎn)，，則以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且經(jīng)過兩點(diǎn)的拋物線的準(zhǔn)線斜率為 .
14．函數(shù)滿足恒成立，則的取值范圍是 .
四、解答題
15．如圖，在四邊形中，，，，，.
(1)求；
(2)求四邊形的面積.
16．我們規(guī)定：若數(shù)列為遞增數(shù)列且也為遞增數(shù)列，則為“數(shù)列”.
(1)已知：，，，數(shù)列中其中只有一個(gè)數(shù)列，它是： ；請(qǐng)從另外兩個(gè)數(shù)列中任選一個(gè)證明其不是數(shù)列.
(2)已知數(shù)列滿足：，為的前項(xiàng)和，試求的通項(xiàng)并判斷數(shù)列是否為數(shù)列并證之.
(3)已知數(shù)列、均為數(shù)列，且，，求證：數(shù)列也為數(shù)列.
17．小郅同學(xué)的左、右口袋中分別裝有3個(gè)糖果，每次取糖他都有的概率從右口袋中取，每次取糖過程相互獨(dú)立.當(dāng)他發(fā)現(xiàn)某個(gè)口袋中沒有糖時(shí)停止取糖.
(1)求當(dāng)他右口袋為空時(shí)，左口袋中剩余2個(gè)糖的概率，并求出的值使最大.
(2)若，求小郅最終發(fā)現(xiàn)其右口袋沒有糖的概率.
(3)對(duì)于，求證成立不等式：.
18．如圖：在空間直角坐標(biāo)系中有橢圓與正交，為的右頂點(diǎn)，為上一點(diǎn)，平面內(nèi)的直線經(jīng)過并與交于兩點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系與中（規(guī)定垂直于平面系觀察時(shí)軸、軸分別為對(duì)應(yīng)平面系的縱軸，正方向豎直向上，橫軸正方向水平向右），不與坐標(biāo)軸平行的直線與的斜率分別為.

(1)若，當(dāng)三棱錐體積取最大值時(shí)，求；
(2)探究：是否存在定點(diǎn)使平面平面不論取何值恒成立？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
19．我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，可以用兩點(diǎn)之間距離公式刻畫兩點(diǎn)的距離，事實(shí)上，這里的距離屬于這兩個(gè)點(diǎn)的一種“度量”.在拓?fù)鋵W(xué)中，我們規(guī)定某一實(shí)數(shù)滿足：①，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立； ②； ③.其中，為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)，我們就稱是關(guān)于兩點(diǎn)的一個(gè)“度量”.設(shè)：平面直角坐標(biāo)系（為坐標(biāo)原點(diǎn)）內(nèi)兩點(diǎn)的“距離”.
(1)求證：兩點(diǎn)的“距離”是關(guān)于兩點(diǎn)的一個(gè)“度量”.
(2)設(shè)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn).
（?。┤簦?qǐng)?jiān)谙聢D中定性做出點(diǎn)的集合組成的圖像（不必說明理由，但要求做出特殊點(diǎn)與其特征）.

（ⅱ）求證：.
(3)規(guī)定平面內(nèi)兩條平行直線的距離為在上分別取的任意兩個(gè)點(diǎn)距離的最小值.已知不重合的直線，，，求的取值范圍.
0
1
參考答案：
1．D
【分析】采用間接法，先5人全排有種，去掉甲在中間的有種，乙在最左端的有種，然后加上甲在中間和乙在最左端的有種.
【詳解】采用間接法，先5人全排有種，去掉甲在中間的有種，乙排最左端的有種，
然后加上甲在中間和乙在最左端的有種，
則共有種排法.
故選：D.
2．A
【分析】利用集合之間的包含關(guān)系求解即可.
【詳解】，，
，故.
故選：A.
3．C
【分析】根據(jù)回歸方程必過樣本中心點(diǎn)，即可得到答案.
【詳解】回歸直線經(jīng)過，
且，，
代入回歸方程得：，
即，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.
故選：C.
4．B
【分析】根據(jù)條件，利用平方關(guān)系和倍角公式，得到，令，得到或，再結(jié)合條件，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>令，則，令，得到，
所以或，令，得到或，令，得到或，
又在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，所以在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以，得到，
故選：B.
5．B
【分析】根據(jù)給定條件，過作，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式及雙曲線定義求出的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率.
【詳解】令雙曲線的半焦距為，則，
令直線與雙曲線的漸近線垂直的垂足為，
于是，，
過作于，則，而為線段中點(diǎn)，
于是，，
由，得，，，
由雙曲線定義得，即，解得，
所以雙曲線的離心率.
故選：B
6．B
【分析】設(shè)，易知，且，設(shè)肉餡球半徑為，，根據(jù)中點(diǎn)可知到的距離，，根據(jù)三角形面積公式及內(nèi)切圓半徑公式可得，結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而可得，，可得內(nèi)切球半徑且可知三棱錐為正三棱錐，再根據(jù)球的體積公式及三棱錐公式分別求體積及比值.
【詳解】

如圖所示，取中點(diǎn)為，，
為方便計(jì)算，不妨設(shè)，
由，可知，
又、分別為所在棱靠近端的三等分點(diǎn)，
則，
且，、，，平面，
即平面，
又平面，則平面平面，
設(shè)肉餡球半徑為，，
由于、、分別為所在棱中點(diǎn)，且沿平面切開后，截面中均恰好看不見肉餡，
則到的距離，，，
又，解得：，
故，
又，
解得，，
所以：，解得，，
由以上計(jì)算可知：為正三棱錐，
故，
所以比值為.
故選：B.
7．A
【分析】利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化關(guān)系變形函數(shù)，換元構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)與的單調(diào)性相同，再求出的極小值點(diǎn)即可得解.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>令，則，令，
函數(shù)是增函數(shù)，則函數(shù)與的單調(diào)性相同，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
函數(shù)在處取得極小值，由，得，
所以函數(shù)在其定義域內(nèi)的極小值點(diǎn)為.
故選：A
8．D
【分析】根據(jù)三個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)，將數(shù)列的項(xiàng)按某種規(guī)律重新排列依次判斷各選項(xiàng)即可.(將中第個(gè)偶數(shù)項(xiàng)排到原來第個(gè)奇數(shù)項(xiàng)后，得到其前項(xiàng)和趨于排除A項(xiàng)和B項(xiàng)；將中第個(gè)偶數(shù)項(xiàng)排到原來第個(gè)奇數(shù)項(xiàng)并適當(dāng)添加括號(hào)后，得到排除C項(xiàng))
【詳解】 ①， ②，
由①+②得： ，
是將中第個(gè)偶數(shù)項(xiàng)排到原來第個(gè)奇數(shù)項(xiàng)后得到的一個(gè)重新排序，
但此時(shí)前項(xiàng)和趨向于，故A、B兩項(xiàng)錯(cuò)誤；
若將中第個(gè)偶數(shù)項(xiàng)排到原來第個(gè)奇數(shù)項(xiàng)并適當(dāng)添加括號(hào)后得到：
，
因 ，故.
即，
故：，由事實(shí)②：去掉括號(hào)后仍有，此時(shí)前項(xiàng)和不趨向于某一常數(shù)，故C錯(cuò)誤.
故選：D.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)題意規(guī)定的三個(gè)事實(shí)和題設(shè)要求，構(gòu)造重組后的新數(shù)列，用來分別判斷選項(xiàng)，要有極限思想和放縮技巧.
9．ABC
【分析】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，分析可知點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義求的取值范圍即可判斷.
【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，
因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足：，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2，
可知點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，
則，即，可知的取值范圍為，
且，可知的取值范圍為，
結(jié)合選項(xiàng)可知：ABC正確，D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
10．BD
【分析】利用余弦定理求得，然后可得，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出的范圍，結(jié)合已知可得，結(jié)合平方關(guān)系和正弦定理求出半徑范圍，即可求縱坐標(biāo)范圍.
【詳解】由題知，，，由余弦定理得，
又，解得，同理：，
所以，
所以，
由二次函數(shù)性質(zhì)可得，即，
又，所以，
因?yàn)闉殇J角，所以，
即外接圓半徑為，則，即，
由外心定義可知，的外心在軸上，
記的外心縱坐標(biāo)為，則，
因?yàn)榕c和交集非空，與和交集為空間，
所以BD正確，AC錯(cuò)誤.
故選：BD
11．ABD
【分析】根據(jù)線面角得出知與平面的夾角為計(jì)算正切判斷A, 先建立直角坐標(biāo)系，設(shè)直線得出由三點(diǎn)共線的性質(zhì)交點(diǎn)為進(jìn)而求出判斷B;在給定時(shí)過定點(diǎn),臨界時(shí) 及臨界時(shí)，則判斷C;應(yīng)用截面再由相似三角形的性質(zhì)時(shí)等面積法得出選項(xiàng)D.
【詳解】對(duì)于A：若，為中點(diǎn)，
過作，連，可知為中點(diǎn)，
且與平面的夾角為，則，
所以直線與平面的夾角的正切值為，故A正確；
對(duì)于B：由條件：，，
如圖：延長交的延長線于 ，過作,，則，
如圖建立平面直角坐標(biāo)系：
則,，
故，
若，則①，
由三點(diǎn)共線的性質(zhì):
的點(diǎn)在直線 上，
的點(diǎn)在直線上，
所以交點(diǎn)為:，這就是點(diǎn)，故將該點(diǎn)代入①式得，故B正確.

對(duì)于C：在給定時(shí)過定點(diǎn)，臨界時(shí)，斜率再減?。ㄔ龃螅?，
則易知存在且使，即最小值存在，
而減小時(shí)不存在點(diǎn)，設(shè)臨界時(shí)，
則：，故，，
代入直線得：，所以，C錯(cuò)誤.

對(duì)于D：若，故在線段上（不與端點(diǎn)重合），
對(duì)于,，作圖可知：與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)落在12,1內(nèi)，
設(shè)平面為的外心，
如平面圖：由相似三角形的性質(zhì)可知:為中點(diǎn)時(shí)，，
隨點(diǎn)由點(diǎn)向上移動(dòng)，其中垂線斜率增大且小于，
由相似三角形的性質(zhì):中點(diǎn)一定在上方，
故中垂 線與交點(diǎn)（即外接球球心）在射線上，外接球半徑最小，即最小，
此時(shí)，用等面積法可算，此時(shí):.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：先建立直角坐標(biāo)系，設(shè)直線由三點(diǎn)共線的性質(zhì)交點(diǎn)為進(jìn)而求出.
12．
【分析】先由離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)各取值概率和為1求出，再利用期望公式求解，然后由條件概率公式可得.
【詳解】由解得，
故，解得，
所以.
故答案為：；.
13．
【分析】假設(shè)拋物線，，，，，進(jìn)而得到的坐標(biāo)，代入拋物線即可得到，進(jìn)而得到.將拋物線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)單位，則分別旋轉(zhuǎn)到軸上的點(diǎn)，因此可以求旋轉(zhuǎn)后的拋物線對(duì)稱軸的斜率，又準(zhǔn)線與拋物線對(duì)稱軸垂直，因此斜率相乘等于，進(jìn)而求出準(zhǔn)線的斜率.
【詳解】設(shè)拋物線，，，，，如圖所示，
則，，即，
又在上，
，故，
又，所以，
故逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后,分別旋轉(zhuǎn)到軸上的點(diǎn)，
此時(shí)拋物線對(duì)稱軸斜率為，而準(zhǔn)線與對(duì)稱軸垂直，故；
同理，若順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，；
故答案為：.
14．
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
【詳解】，設(shè)，在上單調(diào)遞增，
，
令，，當(dāng)時(shí)，h′x0，hx單調(diào)遞增，
所以，又a>0，
則的取值范圍為：
故答案為：
15．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)條件，利用平方關(guān)系和正弦的和角公式，即可求出結(jié)果；
（2）延長交于，設(shè)，，在中，利用正弦定理和余弦定理得到，，進(jìn)而求得，，再利用三角形面積公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）由，又B∈0,π，得到，
又，
又，，且，
所以，，
得到.
（2）延長交于，設(shè)，，
在中，由正弦定理得到，由（1）知，，
所以①，由余弦定理得到②，
由①②解得或，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
又，所以，不合題意，故，，
在中，由，，得到，，
所以，又，
故.
16．(1)，證明見解析
(2)，不是數(shù)列，證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）利用冪函數(shù)的單調(diào)性可得與都是遞增數(shù)列；利用特殊項(xiàng)的大小比較可得與均不是數(shù)列；
（2）由已知等式變形裂項(xiàng)可得，再由累加法可求通項(xiàng)，進(jìn)而可得，利用等差數(shù)列求和公式可得，由可證明不是數(shù)列；
（3）由“數(shù)列”的定義可得，，結(jié)合不等式的性質(zhì)與放縮法得，由此分別證明與即可得證.
【詳解】（1）空格處填.
原因如下：因?yàn)?，則，
由冪函數(shù)與在上都是增函數(shù)，由，
故數(shù)列與都是遞增數(shù)列，則為“數(shù)列”.
若選，下面證明不是數(shù)列.
證明：由，則 .
故，所以不是遞增數(shù)列.
故不是數(shù)列；
若選，下面證明不是數(shù)列.
證明：由，則 .
所以不是遞增數(shù)列.
故不是數(shù)列.
（2）由可得，
所以
設(shè)，則，，...，，
累加得，
又，故，
所以. 由，
故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.
所以，則，.
即數(shù)列是遞增數(shù)列，但不是遞增數(shù)列，故不是數(shù)列.
（3）數(shù)列、均為數(shù)列，且，，
由題意可得，
且，，
由不等式的性質(zhì)可得，，又，
則，所以為遞增數(shù)列，
且有，
則，
故也是遞增數(shù)列，故為數(shù)列.
17．(1)，時(shí)，有最大值.
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意可得，且，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)單調(diào)性和最值；
（2）設(shè)所求概率為，可得，進(jìn)而代入運(yùn)算求解即可；
（3）由題意可知：，分析可知，結(jié)合基本不等式分析證明.
【詳解】（1）由題意可知：，且，
則，
令，解得；令，解得；
可知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取到最大值.
（2）設(shè)當(dāng)他發(fā)現(xiàn)右口袋為空時(shí)左口袋剩個(gè)糖果的概率為，則，
所以
.
（3）設(shè)初始左、右口袋均有個(gè)糖果，
則（2）中公式可化為：，
下證：，即證，
等價(jià)于，
等價(jià)于，
等價(jià)于，
依此類推等價(jià)于，這顯然成立.
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
化簡最終不等式得：，
又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
可知，可得，所以.
18．(1)
(2)存在點(diǎn)：與
【分析】（1）分別在兩個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)聯(lián)立直線方程和橢圓方程消元，利用弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式，利用韋達(dá)定理表示出棱錐體積，然后利用導(dǎo)數(shù)求解可得；
（2）求出平面與平面的法向量，根據(jù)法向量數(shù)量積為0求解即可.
【詳解】（1）設(shè)，，，，，
，，
故：，

設(shè)，
所以：
所以：，代入原直線方程得：
故：， ，
由于，則：，由對(duì)稱性不妨設(shè)，
所以：，
令：，，
令：，則：，
由穿針引線法可知：在上有且僅有一個(gè)極（大）值點(diǎn)，
故當(dāng)取最大時(shí)，的導(dǎo)函數(shù)，
所以解得：（舍）或，故.
同理可得，則.
（2）存在，由（1）知：，
所以：，，.
設(shè)：與分別為平面與平面的法向量，
則：，
同理可得，
所以：
解得：，
存在這樣的點(diǎn)：與
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題根據(jù)在于理解題意，分別在兩個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示出棱錐體積，然后利用導(dǎo)數(shù)即可求解.
19．(1)證明見解析
(2)（i）圖象見解析；（ii）證明見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)定義逐一檢驗(yàn)①②③，即可證明結(jié)果；
（2）（i）根據(jù)題設(shè)定義，利用，即可求解；（ii）設(shè)Px,y，則，再令，即可證明結(jié)果；
（3）根據(jù)題設(shè)，令，得到，再分，和，三種情況，根據(jù)造函數(shù)，，，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）①顯然成立，
令，由于，，
故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
令，則，所以單調(diào)遞增，
得到，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
②易知顯然成立，
③由于單調(diào)遞增，故由可得：
，
故，
即，所以距離是一種度量.
（2）（?。┤鐖D

（ⅱ）設(shè)Px,y，則=，
令，則，即.
（3）設(shè)，，，
令，則.
當(dāng)時(shí)，成立，
不妨設(shè)（同理），
設(shè)，
令單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
，則，
令，
①當(dāng)時(shí)，，
②當(dāng)時(shí)，，，，
③當(dāng)時(shí)，，，由于為一次或二次函數(shù)，
故①、②、③均唯一使，
故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
④時(shí)，，單調(diào)遞增，綜上，
，有，
解得，
當(dāng)，同理可求得，所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于理解“度量”和“距離”的定義，再結(jié)合不等式及導(dǎo)數(shù)知識(shí)，即可求解.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
B
B
B
A
D
ABC
BD
題號(hào)
11









答案
ABD









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