一、單選題
1．關(guān)于的方程：的實(shí)根分布在區(qū)間（ ）內(nèi).
A．B．C．D．
2．已知的外接圓面積為，，則（ ）.
A．B．C．D．
3．已知集合，，則：“中元素個數(shù)為或”是“且”的（ ）條件.
A．充要B．充分不必要
C．必要不充分D．既不充分也不必要
4．計算：的值為：（ ）.
A．B．C．D．
5．為了協(xié)調(diào)城鄉(xiāng)教育資源的平衡，政府決定派甲、乙、丙等六名教師去往包括希望中學(xué)在內(nèi)的三所學(xué)校支教（每所學(xué)校至少安排一名教師）.受某些因素影響，甲乙教師不被安排在同一所學(xué)校，丙教師不去往希望中學(xué)，則不同的分配方法有（ ）種.
A．B．C．D．
6．已知是三個不同的平面，為兩條不同直線，則下列說法正確的是：（ ）.
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
7．已知定義在R上的函數(shù)fx,gx處處導(dǎo)數(shù)存在，，則下列情況一定成立的是：（ ）.
A．B．
C．D．
8．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，的三個頂點(diǎn)均在上，分別落在線段上且軸，若，則（ ）.
A．B．C．D．
二、多選題
9．已知對個數(shù)據(jù)做如下變換：當(dāng)為奇數(shù)時，對應(yīng)的變?yōu)?；?dāng)為偶數(shù)時，對應(yīng)的變?yōu)?，則對于該組數(shù)據(jù)的變化，下列情況中可能發(fā)生的是：（ ）.
A．平均數(shù)增大B．方差不變
C．分位數(shù)減小D．眾數(shù)減小
10．已知函數(shù)：，現(xiàn)添加一個條件，使得的極大值點(diǎn)同時為其零點(diǎn)，則這個條件可以是：（ ）.
A．B．
C．D．
11．在研究全概率公式時，我們將對一個事件發(fā)生的情況的研究轉(zhuǎn)化為對發(fā)生該情況的幾個先決條件進(jìn)行分析，這是一種重要的遞推思想.在如圖所示的蜂窩形正六邊形地圖中，左上角與右下角的“○”分別代表起點(diǎn)與終點(diǎn)，蜂窩格中的實(shí)心圓點(diǎn)“●”代表地雷，有一個掃雷機(jī)器人在起點(diǎn)處接收到指令移動至終點(diǎn)，每一次移動只能按照箭頭所示的三個方向運(yùn)動，若移動到地雷區(qū)，則會立即將地雷排除.記移動過程中，該機(jī)器人可以排除的地雷數(shù)量最多為，現(xiàn)在在圖中增加兩枚地雷（用叉號“×”表示），則以下方法可以使增加且只增加的是：（ ）.

A． B．
C． D．
三、填空題
12．設(shè)為虛數(shù)單位，則的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為： （結(jié)果用復(fù)數(shù)表示）.
13．已知函數(shù)的一條對稱軸為，則零點(diǎn)的最大負(fù)值為： .
14．在空間直角坐標(biāo)系中，,,,,，設(shè)點(diǎn)O關(guān)于所確定的平面對稱的點(diǎn)為，的長度記為以為自變量的函數(shù)，則當(dāng) 時，取最小值；這個最小值為： .
四、解答題
15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中，且.
(1)求的通項(xiàng)公式.
(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和.
16．小金、小郅、小睿三人下圍棋，已知小金勝小郅、小睿兩人的勝率均為，小郅勝小睿的勝率為，比賽采用三局兩勝制，第一場比賽等概率選取一人輪空，剩余兩人對弈，勝者繼續(xù)與上一場輪空者比賽，另一人輪空.以此類推，直至某人贏得兩場比賽，則其為最終獲勝者.
(1)若第一場比賽小金輪空，則需要下第四場比賽的概率為多少？
(2)求最終小金獲勝的概率.
(3)若已知小郅第一局未輪空且獲勝，在此條件下求小金最終獲勝的概率（請用兩種方法解答）.
17．如圖，在四棱錐中，，，，，，，平面平面.

(1)求證：平面平面.
(2)求二面角的余弦值.
(3)為平面內(nèi)一點(diǎn)，若平面，求的長.
18．已知雙曲線：的左頂點(diǎn)為，斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，設(shè)的斜率分別為，的外心為.
(1)若始終在上，求證：直線過定點(diǎn).
(2)記，探究是否存在定值使恒在的某條漸近線上.若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由.
19．偏導(dǎo)數(shù)在微積分領(lǐng)域中有重要意義.定義：設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，當(dāng)固定在而在處有改變量時，相應(yīng)的二元函數(shù)有改變量，如果存在，那么稱此極限為二元函數(shù)在點(diǎn)處對的偏導(dǎo)數(shù)（計算時相當(dāng)于將視為常數(shù)），記作，若在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)對的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是一個關(guān)于的偏導(dǎo)函數(shù)，它被稱為二元函數(shù)對的偏導(dǎo)函數(shù)，記作.以上定義同樣適用于三元函數(shù).
(1)氣體狀態(tài)方程描述的三個變量滿足：（是非零常量）.求的值，并說明其為常數(shù).
(2)求值：對的偏導(dǎo)數(shù).
(3)將偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于包絡(luò)線在金融領(lǐng)域可以發(fā)揮重要價值.在幾何學(xué)中，某個平面內(nèi)曲線族的包絡(luò)線是跟該曲線族的每條線都至少有一點(diǎn)相切的一條曲線，例如：曲線族的包絡(luò)線為.不難發(fā)現(xiàn)：對于任何一個給定的的值，包絡(luò)線與原曲線的切點(diǎn)的總是對應(yīng)值在參數(shù)取遍后得到的極值.已知函數(shù)的包絡(luò)線為.
（i）求證：.
（ⅱ）設(shè)的極值點(diǎn)構(gòu)成曲線，求證：當(dāng)時，與有且僅有一個公共點(diǎn).
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)以及零點(diǎn)存在性定理來求得正確答案.
【詳解】令，
當(dāng)時，，此時無零點(diǎn)，排除A.
當(dāng)時，，此時無零點(diǎn)，排除D.
當(dāng)時，，而，
所以單調(diào)遞減，
而，故.
又，且，故，所以.
故選：B
2．C
【分析】根據(jù)題意，由正弦定理的邊角互化代入計算，即可求解.
【詳解】由正弦定理：，，故，
所以.
故選：C.
3．D
【分析】根據(jù)交集、既不充分也不必要的定義，結(jié)合題意分析即可求解.
【詳解】曲線與曲線有一個或兩個公共點(diǎn)，
則對于，顯然存在不限于的無數(shù)組其他解（如：取一個充分大的數(shù)），故充分性不成立；
聯(lián)立：與（），
化簡得：①，
即，解得，
又，即，解得.
所以當(dāng)且僅當(dāng)時，必要性成立，故必要性也不成立；
所以“中元素個數(shù)為或”是“且”的既不充分也不必要條件.
故選：D.
4．A
【分析】由正弦的二倍角公式，結(jié)合兩角和差正弦公式即可求解
【詳解】
.
故選：A.
5．B
【分析】采用分類與分步計數(shù)原理，先排丙共有種分法，再分為甲、丙在同一所學(xué)校和甲、丙不在同一所學(xué)校兩類，每類分別討論，最后相加得到結(jié)果.
【詳解】先將丙安排在一所學(xué)校，有種分法；
若甲、丙在同一所學(xué)校，那么乙就有種選法，
剩下3名教師可能分別有3、2、1人在最后一所學(xué)校（記為X校），
分別對應(yīng)有1（3人均在X校）、（2人在X校，另1人隨便排）、
（1人在X校，另2人分在同一所學(xué)?；虿辉谕凰鶎W(xué)校），
共種排法；
若甲、丙不在同一所學(xué)校，則甲有種選法，
若乙與丙在同一所學(xué)校，則剩下3名教師按上面方法有19種排法；
若乙與丙不在同一所學(xué)校，則有剩下3人可分別分為1、2、3組，
分別有、、種排法，故共有：
種排法.
故選：B.
6．C
【分析】對于ABD：以正方體或正四棱錐為載體，舉反例說明即可；對于C：根據(jù)線面平行、面面平行的性質(zhì)分析判斷.
【詳解】在正方體中，
對于選項(xiàng)A：例如平面為平面，平面為平面，平面為平面，
則平面平面，即，
取平面平面，滿足，
但，故A錯誤；
對于選項(xiàng)B：例如平面為平面，平面為平面，平面為平面，
則平面平面，即，
取，滿足，
但平面與平面不相互垂直，故B錯誤；
對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，可知相交，設(shè)，
又因?yàn)椋瑒t，
又因?yàn)?，，，則，所以，故C正確；
對于選項(xiàng)D：在正四棱錐中
例如平面為平面，平面為平面，平面為平面，
則平面平面，平面平面，
即，滿足，
但平面與平面不一定垂直，故D錯誤；
故選：C.
7．A
【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】，
令，則，
故單調(diào)遞增，又h1=0，
所以，即，
移項(xiàng)可得A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯誤；
另外，，，由于與0的大小關(guān)系不確定，
故C、D無法判斷.
故選：A
8．D
【分析】作出圖象，由題意可知，從而可得，在和中，分別求得，從而可得，即有， ，過作于，
可得，為中點(diǎn)，即可得解.
【詳解】如圖所示：
由題意可知，
設(shè)橢圓的半長軸為，
則，
在中，，
在中，
，
所以 ，
整理得：，即
解得：或，
當(dāng)時，，不滿足題意，故舍去；
當(dāng)時，，滿足題意，且，
過作于，
則，
所以,
所以，
故為中點(diǎn)，
所以.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是在和中，分別求得，建立等量關(guān)系，求得.
9．BCD
【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差、百分位數(shù)、眾數(shù)的意義一一分析計算即可.
【詳解】由題意易知數(shù)據(jù)中奇數(shù)項(xiàng)均加一，偶數(shù)項(xiàng)均減二，則改變后數(shù)據(jù)和減小，
即平均數(shù)減小，故A錯誤；
由方差的實(shí)際意義（數(shù)據(jù)的波動程度）與在統(tǒng)計圖中幾何特征分析，
不妨令：為奇數(shù)時，為偶數(shù)時，
則與方差為，
新方差為，兩數(shù)據(jù)相等，故B正確；
易知分位數(shù)為從小到大的第三個數(shù)據(jù)，而對應(yīng)的可奇可偶，所以分位數(shù)可能減小，故C正確；
不妨取數(shù)據(jù)：，眾數(shù)為1，
新數(shù)據(jù)的偶數(shù)項(xiàng)均從1變?yōu)椋姅?shù)減少，故D正確，
故選：BCD
10．BD
【分析】用“穿針引線法”作三次函數(shù)的圖像，得出的關(guān)系，再判斷選項(xiàng)是否能推出相應(yīng)結(jié)論，A、B選項(xiàng)利用不等式即可判斷，C選項(xiàng)利用圓判斷，D選項(xiàng)利用函數(shù)圖像判斷.
【詳解】令，則的零點(diǎn)為，
①且，用“穿針引線法”可以得到函數(shù)大致圖像如下：
與題意不符；
②且，用“穿針引線法”可以得到函數(shù)大致圖像如下：
與題意相符，此時或；
③且，用“穿針引線法”可以得到函數(shù)大致圖像如下：
與題意不符；
④且，用“穿針引線法”可以得到函數(shù)大致圖像如下：
與題意相符，此時
綜上所述：存在關(guān)系、、符合題意.
對A項(xiàng)：，時，則，則故A錯誤；
對B項(xiàng)：，當(dāng)時，或，當(dāng)時，，故B正確；
對C項(xiàng)：即，
即為圓心為半徑的圓內(nèi)，即，故C錯誤.
對D項(xiàng)：，函數(shù)和函數(shù)的圖像如下：
由圖像得：、，故D正確.
故選：BD.
11．BCD
【分析】根據(jù)題意設(shè)相應(yīng)量，根據(jù)遞歸思想可得，按此規(guī)律對原表格進(jìn)行數(shù)字填充，結(jié)合題意分析判斷即可.
【詳解】由遞歸思想，假設(shè)到達(dá)某一個格子只能從的三個方向進(jìn)入，分別記為，
記為從起點(diǎn)到格子最多可以除去的雷數(shù)，
表示數(shù)中最大的數(shù)，
表示格子中的地雷數(shù)，
則可以寫出遞推式：，
按此規(guī)律對原表格進(jìn)行數(shù)字填充：

由分析可知，最多可以除掉7個雷.
再從終點(diǎn)規(guī)劃路線，每一次都挑選反方向3個中數(shù)字最大的走就可以找到除掉7個雷需要經(jīng)過的所有格子，
在這些格子同一線路上，選擇1個埋入地雷，
再在另一條線路或未經(jīng)過的格子上埋入1個地雷，就可以得到滿足題意的答案（也可以在選項(xiàng)上仿照前面的思想畫圖），對比得：BCD正確.
故選：BCD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)遞歸思想可得，按此規(guī)律對原表格進(jìn)行數(shù)字填充，結(jié)合數(shù)據(jù)分析判斷.
12．
【分析】利用二項(xiàng)式定理展開.
【詳解】將的次數(shù)分成5份，符合題意的有：0，0，1，1，1和0，0，0，1，2兩種，
， ，故系數(shù)為：.
故答案為：
13．
【分析】利用輔助角公式化簡的表達(dá)式，根據(jù)的對稱軸列方程，求得，進(jìn)而求得零點(diǎn)，從而求得正確答案.
【詳解】，
，由條件：（），
所以：（），所以，
，（），
故（），令：.
故答案為：
14． / /
【分析】根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于平面對稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，結(jié)合三角形兩邊和與差的最值可得解.
【詳解】

如圖所示，由已知可得，，，
則，，
即，，
又，，平面，
則平面，
①當(dāng)，兩點(diǎn)在平面同側(cè)或一點(diǎn)在平面上時，，當(dāng)且僅當(dāng)，有一點(diǎn)在平面上時取等號；即；
②當(dāng)，兩點(diǎn)在平面異側(cè)時：設(shè)平面與直線交于點(diǎn)，
將延拓，如圖所示，
則，
由，，，平面，
則平面，即，
抽象出平面如圖所示，
則，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，
如圖，

由，且，，，
則，
即，，
則，，
又，則，
即，
所以，
所以，
故答案為：，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于建立空間直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為線的長度問題，從而得解.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，得到時，，再由，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解；
（2）由（1）得到，結(jié)合乘公比錯位法求和，即可求解.
【詳解】（1）由，可得，則，
兩式相減，可得，即，
又由，易知，
所以當(dāng)時，，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）因?yàn)?，可得?br>則，
所以，
兩式相減得
，
所以.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式求解即可.
（2）根據(jù)互斥事件概率加法公式和獨(dú)立事件概率乘法公式求解即可.
（3）法一：利用條件概率求解即可；法二：根據(jù)事件的含義利用互斥事件概率加法公式和獨(dú)立事件概率乘法公式求解即可.
【詳解】（1）第一場比賽小郅獲勝時，則第二場小金獲勝，第三場小睿獲勝，滿足題意；
第一場比賽小睿獲勝時，則第二場小金獲勝，第三場小郅獲勝，滿足題意；
所以需要下第四場比賽的概率為
（2）由題意，最終小金獲勝的情況如下，
當(dāng)小金第一場輪空，
第一場小郅勝小睿輸，第二場小金勝小郅輸，第三場小金勝小睿輸，此時，
第一場小睿勝小郅輸，第二場小金勝小睿輸，第三場小金勝小郅輸，此時，
則小金獲勝，
當(dāng)小金第一場不輪空，
第一場小郅勝小金輸，第二場小睿勝小郅輸，第三場小金勝小睿輸，第三場小金勝小郅輸，此時，
第一場小金勝小郅輸，第二場小睿勝小金輸，第三場小郅勝小睿輸，第三場小金勝小郅輸，此時，
第一場小金勝小郅輸，第二場小金勝小睿輸，此時，
所以第一場小郅與小金比賽，小金獲勝概率為，
同理，第一場小睿與小金比賽，小金獲勝概率為，
故小金獲勝概率為
（3）法一：設(shè)A：小金最終獲勝；B：小郅第一場未輪空且獲勝，則，
結(jié)合（2）知，
法二：第一場小睿輪空時，小金最終獲勝概率為，
第一場小金輪空時，小金最終獲勝概率為，
17．(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用余弦定理先證，由面面垂直的性質(zhì)得出，結(jié)合勾股定理及線面垂直的判定證明平面即可；
（2）法一、利用二面角的定義結(jié)合第一問得出二面角的一個平面角，再由余弦定理計算即可；法二、以B為中心建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計算面面角即可；
（3）法一、利用線線垂直、線面垂直的性質(zhì)與判定作出平面，解三角形即可；法二、利用（2）的坐標(biāo)系，設(shè)坐標(biāo)結(jié)合空間向量基本定理及空間向量數(shù)量積計算求G點(diǎn)坐標(biāo)即可.
【詳解】（1）

連接，在中，，
，
則，，，
平面平面，，平面平面，
平面，平面，所以，
在中，,
又，
∴，
在中：，∴，
又，平面，
平面，且平面，
平面平面.
（2）法一、由上可知：，則二面角的一個平面角為，
在中，由余弦定理知；
法二、如圖建系：設(shè)軸與交于，過P作與E，
設(shè)，則，

∴，
，
解之得，
易知，所以，
則，
設(shè)為平面的一個法向量，則：，
令，則，所以，
易知是平面的一個法向量，
設(shè)二面角的一個平面角為，則，
由圖形可知該二面角為鈍角，所以；
（3）法一：過作，垂足為，過作，
在中，過作，過作，
因?yàn)槠矫妫云矫妫?br>又平面，所以，
而平面，所以平面，即G為所求.
分別延長交于，連接，
過作，由（1）易知，平面，
平面，

∴，設(shè)，，
∴，則，設(shè)，

在平面內(nèi)，由幾何關(guān)系知，
所以；
法二：取（2）的坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，所以，
又：，即，
18．(1)證明見解析
(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)外心性質(zhì)得，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，韋達(dá)定理，利用斜率之積得，即可求解定點(diǎn)；
（2）法一：先求出外心的坐標(biāo)，然后代入漸近線方程即可求解的值；法二：點(diǎn)差法化簡得，，求出的中垂線方程，從而，
，進(jìn)而利用求解的值.
【詳解】（1）由外心的性質(zhì)：，故為中點(diǎn)，
又，，
設(shè)，，，，
聯(lián)立，
則
又
，
，恒過定點(diǎn).
（2）法一：計算外心坐標(biāo)：
設(shè)中點(diǎn)分別為，則：，，
由（1）得：，
中垂線：①
中垂線：②
聯(lián)立①②得：，
故
同理：，將代入得：
，
又在漸近線上，，解得：
法二：點(diǎn)差法化簡：
設(shè)，，，，
得：，
，
同理：，
設(shè)中點(diǎn)分別為：，
中垂線：
同理：，得：⑥，
化簡⑥式得：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
19．(1)，說明見解析
(2)
(3)（i）證明見解析；（ⅱ）證明見解析
【分析】（1）根據(jù)“偏導(dǎo)函數(shù)”的定義求解即可；
（2）求出，再將帶入即可求值；
（3）（i）先求出包絡(luò)線，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，進(jìn)而可知的最值，進(jìn)而可證明；
（ii）對求導(dǎo)，令得到的極值點(diǎn)和極值，令，求出的極值點(diǎn)和單調(diào)性及最值，由題知的最大值與的最大值等價，進(jìn)而求出的值；再利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和最值，進(jìn)而可以證明與有且僅有一個公共點(diǎn).
【詳解】（1）；
，；
，.
，為常數(shù).
（2），
故：.
（3）（?。┝睿瑒t：.
由于在上，故：，①
由于取極值，故：，即：，②
由①②消去得：.
下試證：，
即證：.
，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
，，故：.
（ⅱ），令：
，令：，
，令：
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，且的最大值與的最大值等價.
，當(dāng)且僅當(dāng)時，.
又，，令：或.
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增.
.
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
與有唯一公共點(diǎn).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1.理解偏導(dǎo)數(shù)的概念；
2.用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)的一個重要應(yīng)用，在導(dǎo)數(shù)解答題中，單調(diào)性問題是繞不開的一個問題，因?yàn)閱握{(diào)性是解決后續(xù)問題的關(guān)鍵，利用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性步驟，先求定義域，再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，若不能直接求出，可能需要多次求導(dǎo).
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
A
B
C
A
D
BCD
BD
題號
11









答案
BCD









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