一、單選題
1．已知連續(xù)型隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量滿足，，若與的方差相同且，則（ ）.
A．B．C．D．
2．已知為銳角，，則（ ）.
A．B．C．D．
3．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示一個(gè)圓周，則在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)構(gòu)成的形狀為：（ ）.
A．圓周B．橢圓周C．雙曲線的一部分D．線段
4．已知首項(xiàng)為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（ ）.
A．B．C．D．
5．扇環(huán)是指一個(gè)圓環(huán)從圓心引出兩條射線截出的部分.組成同一扇環(huán)的大、小兩弧分別稱為外弧與內(nèi)弧，外弧與內(nèi)弧在其對(duì)應(yīng)圓上對(duì)應(yīng)的弦為外弦與內(nèi)弦.如圖：兩個(gè)全等的扇環(huán)圓心角為，按此方式擺放，我們會(huì)認(rèn)為環(huán)更大，這就是“賈斯特羅錯(cuò)覺”.現(xiàn)順勢(shì)延長環(huán)使環(huán)的內(nèi)弧長等于環(huán)的外弧長，若外、內(nèi)弧對(duì)應(yīng)圓半徑比為，則延長后的內(nèi)弦與的外弦長度比為（ ）.
A．B．C．D．
6．函數(shù)為偶函數(shù)，則的值為：（ ）.
A．B．C．D．
7．空間中有三條兩兩異面的直線，為其中一條直線上一定點(diǎn)，過引直線使其與這三條異面直線都相交，則對(duì)于任意的定點(diǎn)，存在的直線有（ ）條.
A．B．C．D．無數(shù)
8．如圖，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與該雙曲線的兩支分別交于、兩點(diǎn)（在線段上），⊙與⊙分別為與的內(nèi)切圓，其半徑分別為、，則的取值范圍是：（ ）.
A．B．
C．D．
二、多選題
9．已知定義在上恒正且可導(dǎo)的函數(shù)與滿足，，則：（ ）.
A．B．
C．恒成立D．與的大小關(guān)系無法確定
10．“馬鞍面”在建筑美學(xué)中有重要應(yīng)用，將兩個(gè)頂點(diǎn)重合開口方向相反，且擁有共同對(duì)稱軸的兩條拋物線、分別置于相互垂直的平面內(nèi)，現(xiàn)固定一條拋物線不動(dòng)，使另一拋物線平移，且滿足其頂點(diǎn)始終位于上，則劃過的曲面就是馬鞍面（如圖所示）.現(xiàn)用一個(gè)垂直于、共同對(duì)稱軸的平面截其對(duì)應(yīng)的馬鞍面，則截面的形狀可能為：（ ）.
A．B．
C．D．
11．關(guān)于的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)可能為：（ ）.
A．B．C．D．
三、填空題
12．已知全集為，集合，請(qǐng)寫出一個(gè)非空點(diǎn)集，使對(duì)于唯一固定的滿足： .
13．已知函數(shù)在內(nèi)有且僅有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是： .
14．“設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，則在上至少存在一點(diǎn)使得”這就是著名的“拉格朗日中值定理”.已知函數(shù)上的三點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2，滿足，其中為定值，記的斜率分別為.若對(duì)于，總使，則的取值范圍是： .（參考極限式：）
四、解答題
15．在中，，為的角平分線，在線段上.
(1)求證：；
(2)求的長.
16．在分析學(xué)中，我們給出了函數(shù)極限的兩個(gè)性質(zhì)：①保號(hào)性：若，則存在（足夠?。┦乖趨^(qū)間恒有；若，則存在（足夠大），當(dāng)時(shí)恒有；（）同理；②保不等式性：若，則，其中與可以是無窮.注意：可以是一個(gè)常數(shù)，也可以是.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.
(1)設(shè)為在處的切線，求出的方程并證明的圖像恒在曲線的下方.
(2)令，求證：對(duì)，恒有兩個(gè)零點(diǎn).
17．在平面直角坐標(biāo)系中有橢圓，已知其離心率為，焦距為.
(1)求的方程.
(2)已知為的右焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（在第一象限），直線分別交與兩點(diǎn)，直線與直線交于.求證：在定直線上.
18．如圖，在三棱錐中，為在平面內(nèi)的射影點(diǎn)，已知，，，，.

(1)請(qǐng)以、為基底表示，并證明.
(2)求證平面.
(3)設(shè)分別為中點(diǎn)，為平面內(nèi)一點(diǎn)，若，求到平面的距離.
19．生命的誕生與流逝是一個(gè)永恒的話題，就某種細(xì)胞而言，由該種細(xì)胞的一個(gè)個(gè)體進(jìn)行分裂，分裂后成為新細(xì)胞而原細(xì)胞不復(fù)存在，多次分裂后，由該個(gè)細(xì)胞繁殖而來的全部細(xì)胞均死亡，我們稱該細(xì)胞“滅絕”.現(xiàn)已知某種細(xì)胞有的概率分裂為個(gè)細(xì)胞（即死亡），...，有的概率分裂為個(gè)細(xì)胞.記事件：細(xì)胞最終滅絕，：細(xì)胞第一次分裂為個(gè)細(xì)胞.記該細(xì)胞第一次分裂后有個(gè)個(gè)體（分裂后的細(xì)胞互不影響），在概率論中，我們用的數(shù)學(xué)期望作為衡量生物滅絕可能性的依據(jù)，如果，則在理論上細(xì)胞就不會(huì)滅絕；相反，如果，則理論上我們認(rèn)為細(xì)胞在足夠多代的繁殖后會(huì)滅絕，而這兩種情況在生物界中都是普遍存在的.
(1)直接寫出的數(shù)學(xué)期望.
(2)用只含和的概率式表示并證明該細(xì)胞滅絕的概率為關(guān)于方程：的最小正實(shí)根.
(3)若某種細(xì)胞發(fā)生基因突變，當(dāng)時(shí).
（ⅰ）若當(dāng)其分裂為兩個(gè)細(xì)胞后，有一個(gè)細(xì)胞具有與原細(xì)胞相同的活力，而另一細(xì)胞則在此后喪失分裂為兩個(gè)的能力（即只有可能分裂成個(gè)或個(gè)），求證：該細(xì)胞的滅絕是必然事件.
（ⅱ）受某種輻射污染，若當(dāng)其分裂為兩個(gè)細(xì)胞后分裂生成的兩個(gè)細(xì)胞此后均喪失分裂為個(gè)的能力，并等可能分裂為個(gè)或個(gè)細(xì)胞.我們稱為“泛濫型細(xì)胞”，已知：，求出一個(gè)該種泛濫型細(xì)胞經(jīng)過次分裂，得到個(gè)細(xì)胞的概率.
參考答案：
1．A
【分析】由正態(tài)分布和二項(xiàng)分布的性質(zhì)可得結(jié)果.
【詳解】，，，
，由對(duì)稱性：，
故.
故選：A.
2．C
【分析】利用三角函數(shù)的和差公式展開，整理得，再利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
即，
易知，所以，則，
又為銳角，所以.
故選：C.
3．D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得出故，進(jìn)而得出在直線上結(jié)合自變量范圍得出線段.
【詳解】表示點(diǎn)，故，
，由此可知表示：，在直線上，
又，所以表示一條線段.
故選：D.
4．B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解.
【詳解】由題意知，，
所以：.
故選：B
5．D
【分析】設(shè)外、內(nèi)弧對(duì)應(yīng)圓半徑分別為，且，由題意可得，求解可得，進(jìn)而可求結(jié)論.
【詳解】設(shè)外、內(nèi)弧對(duì)應(yīng)圓半徑分別為，且，
由已知可得的外弧長：，的內(nèi)弧長：，
由題意可得兩式相等得：，解得；
易得延長后的內(nèi)弦長：，的外弦長：，顯然：比值為.
故選：D.
6．D
【分析】利用函數(shù)的奇偶性列式化簡(jiǎn)即可求值.
【詳解】，，
由函數(shù)為偶函數(shù)，則 ，
即，解得：.
故選：D.
7．A
【分析】過點(diǎn)作過另兩條直線的平面，則兩平面有唯一交線，可判斷直線的條數(shù).
【詳解】如圖：在正方體中，不妨設(shè)三條兩兩異面的直線為，
令，作平面過，則過與相交的直線都在平面內(nèi)，
作平面過，則過與相交的直線都在平面內(nèi)，.
平面與平面不平行且不重合，有且僅有一條公共直線，
所以直線只有1條.
故選：A.
8．C
【分析】設(shè)，進(jìn)而可得.可求得，進(jìn)而求得的范圍即可.
【詳解】設(shè)，
，，
.在△與△中：，
即：，
，
當(dāng)雙曲線的斜率為正的漸近線時(shí)，取最大，此時(shí)，，
當(dāng)與軸重合時(shí)，取最小，此時(shí)，
經(jīng)上述分析得：，.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查雙曲線的焦點(diǎn)三角形問題，考查焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓，解題的關(guān)鍵是根據(jù)雙曲線的性和圓的切線的性質(zhì)得到的范圍，數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用.
9．AC
【分析】令，結(jié)合題意，利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性即可判斷AB；法一：由即可判斷CD；法二：令，，利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性即可判斷CD.
【詳解】令，則，
且與恒正，
，單調(diào)遞增，
，即：，故A正確，B錯(cuò)誤.
法一：，成立，故C正確，D錯(cuò)誤.
法二：令，，
，單調(diào)遞增，
又，故，
.故C正確，D錯(cuò)誤.
故選：AC
10．AC
【分析】設(shè)，先向軸正方向運(yùn)動(dòng)了個(gè)單位到,運(yùn)算可得，進(jìn)而分，兩種情況可得結(jié)論.
【詳解】設(shè)，
記在中，，對(duì)頂點(diǎn)先向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)了個(gè)單位，
即先向軸正方向運(yùn)動(dòng)了個(gè)單位到；
接下來頂點(diǎn)向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)了個(gè)單位，沿軸正方向觀察，
相當(dāng)于平面向上平移了個(gè)單位，向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)后橫坐標(biāo)由變?yōu)?br>，，即：，
①當(dāng)時(shí)，原式可退化為：，表示兩條相交直線；
②時(shí)，原方程為：表示一對(duì)雙曲線.
故選：AC.
11．ABC
【分析】利用函數(shù)得導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可確定函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即方程的實(shí)根個(gè)數(shù).
【詳解】（曲線與方程）法一：構(gòu)造函數(shù)：令，下探究的零點(diǎn)：
，設(shè)，
則，，所以單調(diào)遞增，
，，故使，
即：，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，
，所以，
因?yàn)椋?，比較與的大小，
可轉(zhuǎn)化為與，即比較與的大小.
其中，所以總使：當(dāng)時(shí)，，沒有實(shí)數(shù)根；
當(dāng)時(shí)，，有一實(shí)數(shù)根；
當(dāng)時(shí)，，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
法二：根據(jù)題意知，
所以，對(duì)兩邊分別取對(duì)數(shù)，則可得，
設(shè)，則，
令，當(dāng)，，所以單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)取得最小值，
，
當(dāng)時(shí)，，沒有實(shí)數(shù)根；
當(dāng)時(shí)，，有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)時(shí)，，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
故選：ABC
12．（答案不唯一）
【分析】根據(jù)題意，得到集合表示一條直線，且原點(diǎn)到直線的距離等于，進(jìn)而得到答案.
【詳解】由直線，可得原點(diǎn)到直線的距離為，
所以直線表示與單位圓相切的一條直線，
即集合表示一條直線，且原點(diǎn)到直線的距離等于，
故可構(gòu)造集合，使得.
故答案為：（答案不唯一）
13．
【分析】由題意可得，令得，分類討論t的取值情況，建立不等式組，解之即可求解.
【詳解】，
令，則.，
當(dāng)①時(shí)，得或
當(dāng)②時(shí)，得
當(dāng)③時(shí)，得
聯(lián)立以上各式解得，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為
故答案為：
14．
【分析】求出和，當(dāng)，證明單調(diào)遞減，證明單調(diào)遞增，由得直線與有三個(gè)公共點(diǎn)，并驗(yàn)證是否符合題意，當(dāng)，求出的單調(diào)區(qū)間，求出，證明單調(diào)遞增，求解的取值范圍.
【詳解】因?yàn)椋?br>則，記，則，
①，則：，
此時(shí)單調(diào)遞減，
又f′x>0，所以單調(diào)遞增，
由得直線與有三個(gè)公共點(diǎn)，
單調(diào)遞減，取則使，
使，
由于f′x單調(diào)遞減，則：，，不符合題意，舍去，
②，x∈0,1，令，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，f′x單調(diào)遞增，
，
單調(diào)遞增，易知：在0和1處的極限分別為與.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于分和兩種情況并證明單調(diào)性.
15．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）在和中，利用正弦定理得到，，兩式相比，即可證明結(jié)果；
（2）法一：在中，利用余弦定理得到，利用（1）中結(jié)果，有，，在中，利用余弦定理得，從而得到或，在中，利用余弦定理得，從而得到或，即可求解；法二：利用余弦定理得，，兩式相加，即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)?，為的角平分線，
在中，因?yàn)椋玫舰伲?br>在中，因?yàn)椋玫舰冢?br>又，由①②得到，
所以.
（2）法一：在中，，
得到，即，
由（1）知，所以，，
在中，，得到，
解得或，
在中，，得到
解得或，所以.
法二：在中，可算，
又，，
又，兩式相加可解得.
16．(1)，證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）二階求導(dǎo)，即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可根據(jù)單調(diào)性求解，
（2）根據(jù)（1）知，故，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合保號(hào)性即可求證.
【詳解】（1），記則，
，
下試證：，即證：令：，，
當(dāng)時(shí)，，F(xiàn)x單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，F(xiàn)x單調(diào)遞減.
，故：，即：得證.
（2），
，
當(dāng)時(shí)：
當(dāng)x∈0,1時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
由（1）知，故，
由函數(shù)的保不等式性：，故：
故
下試證：，在x∈0,1時(shí)，，故，
記，
當(dāng)x∈0,1時(shí)，，單調(diào)遞減，
單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈0,1時(shí)，，故：.
由極限的保號(hào)性：使在內(nèi)gx>0，則使；同理，，使
有兩個(gè)零點(diǎn).
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
17．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由已知可得，求解即可；
（2）設(shè)：Ax1,y1，，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用根與系數(shù)和關(guān)系可得，進(jìn)而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線的方程，求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值可得結(jié)論.
【詳解】（1）由已知可得，解得：，
故：.
（2）設(shè)：Ax1,y1，，，，
聯(lián)立，
得：.
故：，聯(lián)立得：.
又：.，
，同理：.
由直線的兩點(diǎn)式方程：，
即：，
化簡(jiǎn)得：，
由：解得：為定值，即：在直線上.
18．(1)，證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）構(gòu)造，使得點(diǎn)為的重心，利用三角形重心的性質(zhì)，用，表示.
（2）先證平面，得到，再在中，利用勾股定理的逆定理得到，依據(jù)線面垂直的判定定理，可證線面垂直.
（3）證明，可以以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求點(diǎn)到面的距離.
【詳解】（1）如圖：中：

延長到，使；延長到，使.
因?yàn)?，所以?br>所以點(diǎn)為的重心.
所以，
所以.
又因?yàn)?br>即.
因?yàn)?
所以.
（2）如圖：

因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又，平面，，所以平面，
又平面，所以.
又因?yàn)椋?br>所以，所以；
在中，，，所以.
又，所以，所以.
在中，，，所以.
在中，，，，因?yàn)?，所?
又平面，，所以平面.
（3）因?yàn)?
因?yàn)椋裕?
延長交于，因?yàn)椋詾榫€段的中點(diǎn).
所以可以以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，，，，
所以，，.
因?yàn)槠矫妫?，平面，所以，所?
設(shè)平面的法向量為m=x,y,z.
則，令得：.
又，所以到平面的距離為：
.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）若在所在的平面上，且為的重心.
（2）若為的重心，則.
19．(1)
(2)，，證明見解析
(3)（?。┳C明見解析；（ⅱ）
【分析】（1）對(duì)于求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義，是各個(gè)取值與其對(duì)應(yīng)概率乘積的和.
（2）在求事件A的概率表示時(shí)，需要用到全概率公式.對(duì)于證明滅絕概率是方程的根，要根據(jù)條件逐步推導(dǎo).
（3）對(duì)于證明細(xì)胞滅絕是必然事件，要根據(jù)新的分裂規(guī)則求出新的數(shù)學(xué)期望并判斷.求經(jīng)過n次分裂得到3個(gè)細(xì)胞的概率，需要根據(jù)分裂規(guī)則建立遞推關(guān)系求解.
【詳解】（1）.
（2），
則：，
，由于分裂后細(xì)胞相互獨(dú)立，
. ，
所以：.
若能取到中的所有數(shù)，則令：，有：，
為該方程的一個(gè)實(shí)根，.，
由于的每一項(xiàng)在上均單調(diào)遞增，故單調(diào)遞增，.
由于，則：①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，，故在，只有唯一零點(diǎn)，
這是原方程的最小正實(shí)根，符合的實(shí)際意義；
②當(dāng)時(shí)，，故唯一使，
此時(shí)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增且.
所以在有兩個(gè)零點(diǎn)與，其中：.由于，
故，故，此時(shí)也取到原方程的最小正實(shí)根，符合的實(shí)際意義.
綜上：該細(xì)胞滅絕的概率為關(guān)于方程：的最小正實(shí)根.
（3）（?。┯桑?）可知：若一個(gè)細(xì)胞失去分裂為兩個(gè)的能力，則滅絕概率，
故對(duì)該細(xì)胞母體：，
，解得：，該細(xì)胞的滅絕是必然事件.
（ⅱ）由條件：，
，
.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵有兩個(gè)，一是求解時(shí)，讀懂題目，利用全概率的知識(shí)求解；二是求解的最值時(shí)，根據(jù)解析式的特點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)列知識(shí)來求解.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
B
D
D
A
C
AC
AC
題號(hào)
11









答案
ABC









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