一、單選題（本大題共8小題）
1．下列函數(shù)屬于同一函數(shù)的是：（ ）.
A．
B．
C．
D．以上均不正確
2．在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，我們通常用 ① 來(lái)刻畫(huà)某組數(shù)據(jù)的離散程度；而為了研究成對(duì)樣本數(shù)據(jù)是否存在線性相關(guān)關(guān)系，我們通常先計(jì)算這組數(shù)據(jù)的 ② .序號(hào)①、②處可依次填入的項(xiàng)為：（ ）.
A．均值 經(jīng)驗(yàn)回歸方程B．均值 樣本相關(guān)系數(shù)
C．方差 經(jīng)驗(yàn)回歸方程D．標(biāo)準(zhǔn)差 樣本相關(guān)系數(shù)
3．已知平面向量滿足：，，則向量夾角的余弦值為：（ ）.
A．B．C．D．
4．已知函數(shù)，則關(guān)于的方程：的實(shí)根個(gè)數(shù)為：（ ）
A．B．C．D．
5．將甲、乙等6位身高各不相同的同學(xué)平均分為兩組，甲、乙在這六位同學(xué)中身高（從高到低）分別排在第4、3位，則分成的兩組中甲不是所在組最矮的且乙不是所在組最高的的分組方式共有（ ）種.
A．B．C．D．
6．在心理學(xué)中，“社交距離”是判定一個(gè)人邊界感與安全感的有效度量.在某次心理學(xué)課堂實(shí)驗(yàn)中，袁老師隨機(jī)選取了現(xiàn)場(chǎng)的四位陌生人甲、乙、丙、丁，讓他們兩兩實(shí)驗(yàn)：在保持足夠遠(yuǎn)時(shí)相向而行，當(dāng)一方感到其距離使他不自在時(shí)，可以舉手示意.此時(shí)，他們兩人之間的距離（單位：）就近似為舉手方對(duì)陌生人的社交距離（一方舉手后，距離繼續(xù)減小直到另一方舉手可測(cè)出另一方的社交距離，假設(shè)同一個(gè)人對(duì)不同陌生人的社交距離相同）.在這次實(shí)驗(yàn)中，小郅同學(xué)記錄了某三組實(shí)驗(yàn)中第一次有人舉手的數(shù)據(jù)（對(duì)應(yīng)兩人的距離）如下表，但粗心的他忘記了每次實(shí)驗(yàn)舉手方是哪一位了，通過(guò)這個(gè)圖表，我們一定能夠推出這四人對(duì)陌生人的社交距離：（ ）.
A．甲丁B．甲丙C．丙甲D．乙丙
7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，線段分別與交于兩點(diǎn)，若為中點(diǎn)，為靠近端的四等分點(diǎn)，則的離心率的取值范圍是（ ）.
A．B．
C．D．
8．在△中，為的角平分線（在線段上），，當(dāng)取最小值時(shí)，（ ）.
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列正方體中，為其頂點(diǎn)、棱中點(diǎn)或面中心，則在其中滿足平面的有：（ ）.
A．B．
C．D．
10．已知⊙與直線，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱直線為，則下列說(shuō)法正確的是：（ ）.
A．若與均與⊙相切，則
B．若與⊙相離，，則必與⊙相離
C．若，與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積為，則截⊙的弦長(zhǎng)為
D．若不論取何值，均不與⊙相切，則的取值范圍是：
11．關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是：（ ）.
A．的定義域?yàn)?br>B．有唯一極小值2
C．的極大值小于其極小值
D．不存在直線與的圖像在兩側(cè)各有一個(gè)切點(diǎn)
三、填空題（本大題共3小題）
12．小祥同學(xué)見(jiàn)到這樣一道題：“求函數(shù)的最小值”，他的過(guò)程如下：“”.但老師卻給他判了錯(cuò)誤，他錯(cuò)誤的原因是： ；此題的正確答案是： .
13．已知集合（為虛數(shù)單位），則的非空真子集的個(gè)數(shù)為： .
14．在三棱錐中，，，二面角的大小為，則到平面的距離為： .
四、解答題（本大題共5小題）
15．如圖：在斜三棱柱中，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，四邊形是矩形，，直線與平面的夾角為，為中點(diǎn).
(1)求證：；
(2)求直線與平面夾角的余弦值.
16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為1的直線與交于兩點(diǎn)，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.
(1)求的方程；
(2)設(shè)，為上一點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，若△是以或?yàn)橹苯琼旤c(diǎn)的等腰直角三角形，求的坐標(biāo).
17．小睿與小金同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，經(jīng)過(guò)大數(shù)據(jù)分析，每局比賽小睿獲勝的概率均約為.
(1)若比賽為三局兩勝制：
（?。┰O(shè)比賽結(jié)束時(shí)比賽場(chǎng)次為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（ⅱ）求小金最終獲勝的概率；
(2)若比賽為五局三勝制，已知小睿最終獲勝了，求在此條件下進(jìn)行了5局比賽的概率.
18．已知函數(shù)，.
(1)證明：隨著的變化，的圖像總是經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)定點(diǎn)，并求出這些定點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)若是軸對(duì)稱圖形，證明：與有相同的對(duì)稱軸；
(3)設(shè)，使是軸對(duì)稱圖形的一系列值從小到大排列構(gòu)成數(shù)列，是指時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù).
（?。┡卸〞r(shí)，與的大小關(guān)系；
（ⅱ）求證：在上有且僅有個(gè)零點(diǎn).
19．已知有限數(shù)集A中有個(gè)元素，若存在某種分解方式可以將其劃分為個(gè)兩兩不交的集合，每個(gè)集合中恰有兩個(gè)元素，記這些集合為，其中，設(shè)，的某種排列為等差數(shù)列（記為），我們就稱這種劃分方式為A的一個(gè)“分解”，的公差稱為該劃分的“特征值”（對(duì)于同一種劃分，特征值取非負(fù)數(shù)）.
(1)嘗試寫(xiě)出一種對(duì)數(shù)集作出的分解，且該劃分的特征值為2；
(2)對(duì)數(shù)集作分解，且該劃分的特征值為1，證明：的首項(xiàng)不為奇數(shù)；
(3)探究并證明：對(duì)數(shù)集作分解至少有3種從屬于不同特征值的不同劃分方式.
答案
1．【正確答案】C
【詳解】A選項(xiàng)，無(wú)意義，，故兩函數(shù)定義域不同，錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，由解析式可知兩函數(shù)定義域都是0,+∞相同，約分后與相同，C正確.
故選：C
2．【正確答案】D
【詳解】在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，我們使用方差與標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)刻畫(huà)某組數(shù)據(jù)的離散程度，為了研究成對(duì)樣本數(shù)據(jù)是否存在線性相關(guān)關(guān)系，我們通常先計(jì)算這組數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)，后用經(jīng)驗(yàn)回歸方程來(lái)描述或預(yù)測(cè)這組數(shù)據(jù).
故選:D.
3．【正確答案】A
【詳解】由條件：，得到：，
代入得：，
故選：A.
4．【正確答案】D
【詳解】因?yàn)?br>，
令，，則換元整理為，
作出圖像和在上的大致圖象，
由圖可知兩函數(shù)在定義域內(nèi)有兩交點(diǎn)，
即方程在定義域內(nèi)有2個(gè)實(shí)根分別為，，
再作出y=fx的圖像，用和與之相交，共有8個(gè)實(shí)根.
故選：D.
5．【正確答案】B
【詳解】將6人身高從高到低依次標(biāo)號(hào)為：1、2、3、4、5、6
法一：用間接法求解：此事件的反面是“甲是本組的最矮的或乙是本組最高的至少成立其一”，①甲、乙不在同一組：只有124、356一種排法；
②甲、乙在同一組：以上命題不可能同時(shí)成立，
注意到剩下四人任取一人與甲乙同組均符合題意，所以由種選法，共有種選法.
而平均分組共有種方式，所以共有種選法.
法二：用直接法求解：
①甲、乙在同一組：容易發(fā)現(xiàn)這是不可能的；
②甲、乙不在同一組：那么1、2中至少有一位與乙一組，5、6中至少有一位與甲一組，
取該事件的反面，即：1、2均不與乙一組且5、6均不與甲一組，4人均分兩組共有種分法，符合事件反面的只有356、124一種，所以共有=5種分法.
故選：B.
6．【正確答案】A
【詳解】由甲乙這一組的數(shù)據(jù)：10m可能是甲或乙（對(duì)陌生人）的社交距離，若10m是甲的，那么甲、丙的距離不可能小于10m，所以10m是乙的；
另一方面，甲、丙距離是7m，說(shuō)明丙的社交距離小于等于7m，所以丁的社交距離是15m，
而甲的社交距離小于10m，自然甲小于15m，甲丙，D錯(cuò)誤.
故選：A
7．【正確答案】C
【詳解】設(shè)：，
則，所以，
又在上，則，故，
同理：設(shè)，由，，
因?yàn)樵谏?，則，故①，
聯(lián)立①式與的方程得：，
由于在上，則，解得：，即.
故選：C.
8．【正確答案】C
【詳解】設(shè)，，則，
則在中由余弦定理可得，
即，所以，
由角平分線定理可得，所以.
又，
故，
化簡(jiǎn)得①，
而在△中由余弦定理，
代入①得.又因?yàn)?，所以，所以?br>故.
所以，
所以，
令或（舍去），
所以當(dāng)時(shí)，f'x0，解得或，故在和單調(diào)遞增，
令f'x

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