八年級數(shù)學(xué)開學(xué)摸底考（廣州專用，人教版）-2024-2025學(xué)年初中下學(xué)期開學(xué)摸底考試卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

數(shù)學(xué)
（考試時間：120 分鐘試卷滿分：120 分）
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用
橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分選擇題(共 30 分)
一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 3 分，滿分 30 分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合
題目要求的）
1．二十四節(jié)氣，是歷法中表示自然節(jié)律變化以及確立“十二月建”的特定節(jié)令，蘊含著悠久的文化內(nèi)涵和
歷史積淀，請你用數(shù)學(xué)的眼光觀察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒種”、“白露”的作品，其中是軸
對稱圖形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，
這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
【解答】解：A，C，D 選項中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部
分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，
B 選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以
是軸對稱圖形．
故選：B．
2．下列等式從左到右的變形是因式分解的是（
A．x2+3x＝x（x+3）
）
B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
D．6xy2＝3x?2y2
2
2
2
C．x +2xy+y ﹣1＝（x+y） ﹣1
【分析】把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因
1 / 15

式，據(jù)此進行判斷即可．
【解答】解：x2+3x＝x（x+3）符合因式分解的定義，則 A 符合題意；
2
2
（x+y）（x﹣y）＝x ﹣y 是乘法運算，則 B 不符合題意；
2
2
2
x +2xy+y ﹣1＝（x+y） ﹣1 中等號右邊不是積的形式，則 C 不符合題意；
2
2
2
6xy ＝3x?2y 中 6xy 是單項式，則 D 不符合題意；
故選：A．
3．下列計算正確的是（
）
2
4
8
5
2
10
6
2
3
D．（3a）2＝6a2
A．（a ）＝a
B．a(chǎn) ?a ＝a
C．a(chǎn) ÷a ＝a
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法、冪的乘方與積的乘方法則進行解題即可．
2
4
8
【解答】解：A、（a ）＝a ，故該項正確，符合題意；
5
2
7
B、a ?a ＝a ，故該項不正確，不符合題意；
6
2
4
C、a ÷a ＝a ，故該項不正確，不符合題意；
2
2
D、（3a）＝9a ，故該項不正確，不符合題意；
故選：A．
4．要使分式
A．x≠2
有意義，則 x 需滿足的條件是（
）
B．x≠﹣2 C．x≠±2
D．x≠0
【分析】分式的分母不為零，即 x2﹣4≠0．
【解答】解：由分式有意義的條件可知：x2﹣4≠0，
∴x≠±2，
故選：C．
5．如圖，在四邊形 ABCD 中，AC 為對角線，AB＝DC，如果要證得△ABC 與△CDA 全等，那么可以添加
的條件是（
）
A．AD∥BC
B．∠B＝∠D
C．∠B＝∠ACD
D．∠ACB＝∠CAD＝90°
【分析】對于選項 A，根據(jù) AD∥BC 得∠ACB＝∠CAD，由于 AB＝DC，AC＝CA，∠ACB＝∠CAD 不符
2 / 15

合全等三角形的判定條件，進而可對該選項進行判斷；對于選項 B，由于 AB＝DC，AC＝CA，∠B＝∠D
不符合全等三角形的判定條件，進而可對該選項進行判斷；對于選項 C，由于 AB＝DC，AC＝CA，∠B
＝∠ACD 不符合全等三角形的判定條件，進而可對該選項進行判斷；對于選項 D，根據(jù)∠ACB＝∠CAD
＝90° 得△ABC 和△CDA 均為直角三角形，由于 AB＝DC，AC＝CA 符合全等三角形的判定條件，進而
可對該選項進行判斷，綜上所述即可得出答案．
【解答】解：對于選項 A，
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
根據(jù) AB＝DC，AC＝CA，∠ACB＝∠CAD，不能判定△ABC 與△CDA 全等，
故選項 A 不符合題意；
對于選項 B，
根據(jù) AB＝DC，AC＝CA，∠B＝∠D，不能判定△ABC 與△CDA 全等，
故選項 B 不符合題意；
對于選項 C，
根據(jù) AB＝DC，AC＝CA，∠B＝∠ACD，不能判定△ABC 與△CDA 全等，
故選項 C 不符合題意；
對于選項 D，
∵∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴△ABC 和△CDA 均為直角三角形，
在 Rt△ABC 和 Rt△CDA 中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL），
故選 D 符合題意，
故選：D．
6．如圖，在△ABC 中，BD 是 AC 邊上的高，CE 是∠ACB 的平分線，BD，CE 交于點 F．若∠AEC＝80°，
∠BFC＝128°，則∠ABC 的度數(shù)是（
）
3 / 15

A．28°
B．38°
C．42°
D．62°
【分析】根據(jù)∠BFC 的度數(shù)以及 BD⊥AC，可求出∠ACE 度數(shù)，進而得出∠ACB 度數(shù)，再結(jié)合∠AEC 度
數(shù)，求出∠A 度數(shù)，最后利用三角形的內(nèi)角和定理即可解題．
【解答】解：因為 BD 是 AC 邊上的高，
所以∠BDC＝90°．
又∠BFC＝128°，
所以∠ACE＝128°﹣90°＝38°，
又∠AEC＝80°，
則∠A＝62°．
又 CE 是∠ACB 的平分線，
所以∠ACB＝2∠ACE＝76°．
故∠ABC＝180°﹣62°﹣76°＝42°．
故選：C．
【點評】本題考查角平分線的定義及三角形的內(nèi)角和定理，利用外角求出∠ACE 的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，為估計池塘岸邊 A，B 兩點的距離，小方同學(xué)在池塘的一側(cè)選取一點 O，測得 OA＝14m，OB＝9m
，則點 A，B 間的距離不可能是（
）
A．5m
B．10m
C．15m
D．20m
【分析】三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊，由此得到 5
＜AB＜23，即可得到答案．
【解答】解：由三角形三邊關(guān)系定理得：14﹣9＜AB＜14+9，
4 / 15

∴5＜AB＜23，
∴A，B 間的距離不可能是 5m．
故選：A．
8．若關(guān)于 x 的方程
的解為負數(shù)，則 m 的取值范圍是（
B．m＜3 C．m＜2 且 3m≠1 D．m＜3 且 m≠2
【分析】先銀分式方程求得解為 x＝m﹣3，再根據(jù)方程銀為負數(shù)和分式有意義條件列不等式求解即可．
）
A．m＜2
【解答】解：
，m﹣2＝x+1，x＝m﹣3，
∵原方程解為負數(shù)，
∴m﹣3＜0，
∴m＜3，
∵x+1≠0，
∴m﹣3+1≠0，
∴m≠2，
∴m＜3 且 m≠2，
故選：D．
9．如圖，將△ABC 沿著 DE 翻折，使 B 點與 B′點重合，若∠1+∠2＝80°，則∠B 的度數(shù)為（
）
A．20°
B．30°
C．40°
D．50°
【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠BED＝∠B'ED，∠BDE＝∠B'DE，結(jié)合平角的定義可求解∠BED+∠BDE
的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求解∠B 的度數(shù)．
【解答】解：由翻折可知：∠BED＝∠B'ED，∠BDE＝∠B'DE，
∵∠1+∠BED+∠B'ED＝180°，∠2+∠BDE+∠B'DE＝180°，
∴∠1+2∠BED+∠2+2∠BDE＝360°，
∵∠1+∠2＝80°，
∴2∠BED+2∠BDE＝280°，
∴∠BED+∠BDE＝140°，
5 / 15

∵∠BED+∠BDE+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣140°＝40°．
故選：C．
10．如圖，直線 l 、l 表示一條河的兩岸，且 l ∥l ，現(xiàn)要在這條河上建一座橋，使得村莊 A 經(jīng)橋過河到村
1
2
1
2
莊 B 的路程最短，現(xiàn)兩位同學(xué)提供了兩種設(shè)計方案，下列說法正確的是（
）
方案一：方案二：
①將
①
點 A 向上平移 d 得到 A'；②連
接 A'B 交 l1 于點 M；③過點 M
作 MN⊥l ，交 l 于點 N，MN
連接 AB 交 l1 于點 M；②過點
M 作 MN⊥l ，交 l 于點 N．
1
2
1
2
MN 即橋的位置．
即橋的位置．
B．唯方案二可行
D．方案一、二均不可行
A．唯方案一可行
C．方案一、二均可行
【分析】因為河寬是確定的，要使村莊 A 經(jīng)橋過河到村莊 B 的路程最短，只要 AN+BM 最短即可，可利
用平移解決問題．
【解答】解：河寬是確定的，要使村莊 A 經(jīng)橋過河到村莊 B 的路程最短，只要 AN+BM 最短即可．
∵AA'垂直于河岸 l2，AA′＝d，
連接 BA′，與另一條河岸相交于 M，作 MN⊥直線 l1，
由平移的性質(zhì)，知 MN∥AA′，且 MN＝AA′＝d，MA′＝NA，
根據(jù)“兩點之間線段最短”，BA′最短，即 AN+BM 最短．
故方案一符合題意，
故選：A．
第二部分非選擇題(共 90 分)
二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，滿分 18 分）
11．如圖，若∠A＝70°，∠ACD＝130°，則∠B＝
60 °．
6 / 15

【解答】解：∵∠A＝70°，∠ACD＝130°，
∴∠B＝130°﹣70°＝60°．
故答案為：60．
12．在平面直角坐標系中，若點 P（2，n）與點 Q（m，﹣3）關(guān)于 y 軸對稱，則 m+n＝ ﹣5
【解答】解：∵點 P（2，n）與點 Q（m，﹣3）關(guān)于 y 軸對稱，
∴m＝﹣2，n＝﹣3．
．
∴m+n＝﹣2+（﹣3）＝﹣5．
故答案為：﹣5．
13．分解因式：2（x﹣3）+x（3﹣x）＝
【解答】解：2（x﹣3）+x（3﹣x）
＝2（x﹣3）﹣x（x﹣3）
（x﹣3）（2﹣x）
．
＝（x﹣3）（2﹣x），
故答案為：（x﹣3）（2﹣x）．
2
2
14．如果整式 a +kab+16b 是一個完全平方式，那么常數(shù) k 的值為
±8
．
2
2
2
2
2
【解答】解：a +kab+16b ＝（a±4b）＝a ±8ab+16b ，
∴kab＝±8ab，
∴k＝±8，
故答案為：±8．
15．分式
的值為 0，則 x 的值是
﹣2
．
【解答】解：由題可知，
x+2＝0 且 x﹣2025≠0，
解得 x＝﹣2．
故答案為：﹣2．
16．如圖，∠B＝∠C＝90°，點 E 是 BC 的中點，DE 平分∠ADC，若∠DAB＝60°，CD＝3，則 AD 的長
度為 12
．
7 / 15

【解答】解：延長 DE、AB 交于 F，
∵∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠EBF＝∠C＝90°，
∵點 E 是 BC 的中點，
∴BE＝CE，
在△BEF 和△CED 中，
，
∴△BEF≌△CED（SAS），
∴BF＝CD＝3，EF＝ED，
∵CD∥AB，∠DAB＝60°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAB＝120°，
∵DE 平分∠ADC，
∴∠ADE＝ ∠ADC＝60°，
∴∠F＝∠DAF＝∠ADF＝60°，
∵∠EBF＝90°，∠BEF＝90°﹣∠F＝30°，
∴ED＝EF＝2BF＝6，
∴AD＝DF＝2ED＝12，
故答案為：12．
8 / 15

三、解答題（本題共 9 小題，共 72 分。解答應(yīng)寫成文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（本小題滿分 4 分）（12a4﹣8a3+4a2）÷（2a）2．
4
3
2
2
【解答】解：原式＝（12a ﹣8a +4a ）÷4a
＝3a2﹣2a+1
18．（本小題滿分 4 分）解方程：
．
【解答】解：原方程去分母得：3﹣x＝x﹣2+1，
解得：x＝2，
檢驗：當 x＝2 時，x﹣2＝0，
則 x＝2 是分式方程的增根，
故原方程無解
19．（本小題滿分 6 分）先化簡，再求值：
，其中 a＝3
【解答】解：
＝
?
?
＝
＝
，
當 a＝3 時，原式＝
＝
20．（本小題滿分 6 分）已知：如圖，∠B＝∠ADB＝∠ADE，∠C＝∠E．求證：AC＝AE．
【解答】證明：∵∠B＝∠ADB，∴AB＝AD，
在△ABC 和△ADE 中
，
9 / 15

∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴AC＝AE
21．（本小題滿分 8 分）如圖，△ABC 三個頂點的坐標分別為 A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）請畫出△ABC 關(guān)于 x 軸對稱的△A B C ；
1
1 1
（2）寫出△A B C 各頂點坐標；
1
1 1
（3）試在 x 軸上求作一點 P，使點 P 到 A、B 兩點的距離和最小，請標出 P 點，并寫出點 P 的坐
標
．
【解答】解：（1）如圖，△A B C 即為所求．
1
1 1
（2）由圖可得，A （1，﹣1），B （4，﹣2），C （3，﹣4）．
1
1
1
（3）如圖，連接 A1B，交 x 軸于點 P，連接 AP，
此時 PA+PB＝PA +PB＝A B，為最小值，
1
1
則點 P 即為所求．
由圖可得，點 P 的坐標為（2，0）．
故答案為：（2，0）．
22．（本小題滿分 10 分）列方程解應(yīng)用題：
港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋，是被譽為“現(xiàn)代世界七大奇跡”的超級工程，它是我國從橋梁大
10 / 15

國走向橋梁強國的里程碑之作．開通后從香港到珠海的車程由原來的 180 千米縮短到 50 千米，港珠澳大
橋的設(shè)計時速比按原來路程行駛的平均時速多 40 千米，若開通后按設(shè)計時速行駛，行駛完全程時間僅為
原來路程行駛完全程時間的，求港珠澳大橋的設(shè)計時速是多少．
【解答】解：設(shè)港珠澳大橋的設(shè)計時速是 x 千米/時，按原來路程行駛的平均時速是（x﹣40）千米/時．
依題意，得
．
解方程，得 x＝100．
經(jīng)檢驗：x＝100 是原方程的解，且符合題意．
答：港珠澳大橋的設(shè)計時速是每小時 100 千米．
23．（本小題滿分 10 分）數(shù)學(xué)活動課上，老師準備了若干個如圖（1）的三種紙片．甲種紙片是邊長為 a
的正方形，乙種紙片是邊長為 b 的正方形，丙種紙片是長為 b、寬為 a 的長方形．
【觀察發(fā)現(xiàn)】
用甲種紙片一張，乙種紙片一張，丙種紙片兩張拼成如圖（2）的大正方形．觀察圖（2）的面積關(guān)系，
寫出正確的等式：
【操作探究】
．
若要拼出一個面積為（a+b）（a+2b）的長方形，則需要甲種紙片
張，乙種紙片
張，丙
種紙片
張．（所拼圖形不重疊無縫隙）
【拓展延伸】
2
2
兩個正方形 ABCD、AEFG 如圖（3）擺放，邊長分別為 x，y，連接 CE，DF．若 x +y ＝52，DG＝2，求
圖中陰影部分的面積．
【解答】解：【觀察發(fā)現(xiàn)】
11 / 15

2
2
2
觀察圖形可知：圖（2）的面積為：a +b +2ab，還可以表示為：（a+b），
2
2
2
∴正確的等式為：a +2ab+b ＝（a+b），
2
2
2
故答案為：a +2ab+b ＝（a+b）；
【操作探究】
（a+b）（a+2b）
＝a2+2ab+ab+2b2
2
2
＝a +3ab+2b ，
∴需要甲種紙片 1 張，乙種紙片 2 張，丙種紙片 3 張，
故答案為：1，2，3；
【拓展延伸】
∵DG＝AD﹣AG＝2，AD＝x，AG＝y(tǒng)，
∴x﹣y＝2，
∴（x﹣y）2＝4，
2
2
x +y ﹣2xy＝4，
52﹣2xy＝4，
2xy＝48，
xy＝24，
2
2
2
∵（x+y）＝x +y +2xy＝52+48＝100，
∴x+y＝10 或﹣10（不合題意，舍去），
∴陰影部分的面積
＝
＝
＝
＝
＝10×2﹣y﹣x
＝10×2﹣（x+y）
＝20﹣10
＝10．
12 / 15

24.（本小題滿分 12 分）閱讀材料，并解決問題：
我們知道，分子比分母小的分數(shù)叫做“真分數(shù)”，分子大于或等于分母的分數(shù)，叫做“假分數(shù)”．類似的，
我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之
為“假分式”；當分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．如
假分式；再如這樣的分式就是真分式．假分數(shù) 可以化成
似的，假分式也可以化為帶分式（整式與真分式的和或差）的形式．
，
這樣的分式就是
，
帶分數(shù)的形式，類
如：
．
再如：
．
解決問題：
（1）分式
是
；（填“真分式”或“假分式”）
（2）將分式
化成帶分式；
（3）當 a 為何值時，分式
【解答】解：（1）∵）分式
有最大值？最大值是多少？
的分子和分母的次數(shù)都是 1，
∴此分式是假分式，
故答案為：假分式；
（2）
＝
＝
＝
；
（3）由（2）可得：
，
13 / 15

∵a2≥0，
∴a2+1≥1，
∴當 a2+1＝1 時，
最大，
∴當 a＝0 時，
有最大值，最大值為：2+5＝7．
25．（本小題滿分 12 分）在△ABC 中，
（1）如圖①所示，如果∠A＝60°，∠ABC 和么 ACB 的平分線相交于點 P，那么∠BPC＝
；
（2）如圖②所示，∠ABC 和∠ACD 的平分線相交于點 P，試說明∠BPC＝ ∠A；
（3）如圖③所示，∠CBD 和∠BCE 的平分線相交于點 P，猜想∠BPC 與∠A 的關(guān)系并證明你的猜想.
【解答】解：（1）∵BP、CP 分別為∠ABC，∠ACB 的平分線，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB．
∵∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∴∠A＝180°﹣2（∠PBC+∠PCB），
∴∠A＝180°﹣2（180°﹣∠BPC），
∴∠A＝﹣180°+2∠BPC，
∴2∠BPC＝180°+∠A，
∴∠BPC＝90°+ ∠A＝90°+ ×60°＝120°，
故答案為：120°；
（2）∵BP 是∠ABC 的角平分線，
∴∠PBC＝ ∠ABC．
又∵CP 是∠ACD 的平分線，
14 / 15

∴∠PCD＝ ∠ACD，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠BPC+∠PBC，
∴∠BPC＝ ∠A；
（3）90°﹣ ∠A．
證明：∵BP、CP 分別是∠ABC 與∠ACB 的外角平分線，
∴∠CBP＝ ∠CBD，∠BCP＝ ∠BCE，
∴∠CBP+∠BCP
＝
＝
＝
＝
∠CBD+ ∠BCE
（∠CBD+∠BCE）
（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
（180°+∠A），
∴∠BPC＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）
＝180°﹣ （180°+∠A）
＝90°﹣ ∠A．
15 / 15

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