課程基本信息
課例編號(hào)
2020QJ10SXRA051
學(xué)科
數(shù)學(xué)
年級(jí)
高一
學(xué)期
第一學(xué)期
課題
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用
教科書
書名： 普通高中教科書 數(shù)學(xué) 必修 第一冊(cè)
出版社：人民教育出版社 A版 出版日期：2019年6月
教學(xué)人員
姓名
單位
授課教師
趙麗艷
北京市廣渠門中學(xué)教育集團(tuán)
指導(dǎo)教師
李穎
北京市東城區(qū)教師研修中心
教學(xué)目標(biāo)
教學(xué)目標(biāo)：
1.利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決相關(guān)的問(wèn)題；
2.在利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)換元的方法;
3.通過(guò)解決相關(guān)應(yīng)用問(wèn)題，提升代數(shù)推理的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)推理的素養(yǎng).
教學(xué)重點(diǎn)：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用.
教學(xué)難點(diǎn)：理解正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì).
教學(xué)過(guò)程
時(shí)間
教學(xué)環(huán)節(jié)
主要師生活動(dòng)
5
分
鐘
引入
前面我們學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，具體研究了函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值，本節(jié)課我們將利用正余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決相關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題.
15
分
鐘
（一）
例題
例1 求下列函數(shù)的周期：
(1)； （2）；
（3）
解：（1），有
由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為.
（2）令，由得，且的周期為，即

于是
所以
由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為.
（3）令，由得，且的周期為，即

于是
所以
由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為.
追問(wèn)：解答完成之后思考，求解的依據(jù)是什么？據(jù)此求解的步驟是什么？這些函數(shù)的周期與解析式中哪些量有關(guān)？
師生活動(dòng)：對(duì)于這些問(wèn)題，學(xué)生能夠求出周期，但是不清楚如何規(guī)范地表達(dá)，這是本例的難點(diǎn)所在，教師要基于學(xué)生課堂上的生成，給出分析求解的思路和程序，并加以示范，幫助學(xué)生理解.對(duì)于周期問(wèn)題,求解的步驟如下：
第一步，先用換元法轉(zhuǎn)換.比如對(duì)于“（2）”，令2 x=t，所以；
第二步，利用已知三角函數(shù)的周期找關(guān)系.有，代入可得；
第三步，根據(jù)定義變形.變形可得，于是就有；
第四步，確定結(jié)論.根據(jù)定義可知其周期為π.
周期與自變量的系數(shù)有關(guān).仿照上述分析過(guò)程可得函數(shù)的周期為.
一般地，如果函數(shù)的周期是，那么函數(shù)的周期是.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題深化對(duì)周期和最小正周期概念的理解，形成求解的具體步驟，進(jìn)而幫助學(xué)生理解函數(shù)的周期，為后續(xù)學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.
例2 下列函數(shù)有最大值、最小值嗎？如果有，請(qǐng)寫出取最大值、最小值時(shí)自變量x的集合，并求出最大值、最小值.
（1）; （2）.
解：容易知道，這兩個(gè)函數(shù)都有最大值、最小值.
（1）使函數(shù)取得最大值的x的集合，就是使函數(shù)取得最大值的x的集合
；
使函數(shù)取得最小值的x的集合，就是使函數(shù)取得最小值的x的集合
.
函數(shù)的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.
（2）令，使函數(shù)取得最大值的z的集合，就是使取得最小值的z的集合
.
由得所以，使函數(shù)
，取得最大值的x的集合是
.
同理，使函數(shù)取得最小值的x的集合是
.
函數(shù)的最大值是3，最小值是-3.
師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立完成，然后展示交流解題思路和結(jié)果，學(xué)生點(diǎn)明換元法及其重要作用.本例中，對(duì)于（1），因?yàn)?是確定值，因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最值；對(duì)于（2）令，轉(zhuǎn)化為求的最值.
設(shè)計(jì)意圖：鞏固對(duì)最值概念的理解，初步感受換元法在求解三角函數(shù)問(wèn)題中的作用.
例3 不通過(guò)求值，比較下列各組數(shù)的大?。?br>（1）與； （2）與.
解：（1）因?yàn)?br>正弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以
（2）
因?yàn)榍液瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以
即
師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，教師進(jìn)行指導(dǎo).本例中，對(duì)于（1），可直接應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求解；對(duì)于（2），首先要將所給的角化簡(jiǎn)，使之位于同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，即轉(zhuǎn)化為第（1）題之后求解.
設(shè)計(jì)意圖：初步應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性解決比較大小的問(wèn)題
例4 求函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間.
分析：令，，當(dāng)自變量x的值增大時(shí)，z的值也隨之增大，因此若函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間上也一定單調(diào)遞增.
解：令，，則.
因?yàn)?，的單調(diào)遞增區(qū)間是，且由 ，
得 .
所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.
師生活動(dòng)：師生共同分析此問(wèn)題，然后共同完成求解.本題中，令，，當(dāng)自變量x的值增大時(shí)，z的值也隨之增大，因此若函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)遞增，則函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上也一定單調(diào)遞增.
在解題完成后，教師可進(jìn)一步提出此問(wèn)題的變式問(wèn)題：求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.此辨識(shí)問(wèn)題讓學(xué)生獨(dú)立完成，可能會(huì)有一部分學(xué)生出錯(cuò)，教師要引導(dǎo)學(xué)生將正確和錯(cuò)誤解答進(jìn)行對(duì)比分析.
設(shè)計(jì)意圖：類比例3求解，進(jìn)一步熟悉換元轉(zhuǎn)化的思想方法；通過(guò)變換自變量系數(shù)的符號(hào)，提高學(xué)生思維的深刻性，提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
（二）
梳理總結(jié)
（三）
拓展研究
思考 你能求出函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間嗎？
（四）
布置作業(yè)
教科書習(xí)題5.4第1，2，3，4，5，12，16，18，19題.

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5.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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