高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊第五章 三角函數(shù)5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)5.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)第1課時教案

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊第五章 三角函數(shù)5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)5.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)第1課時教案，共8頁。教案主要包含了教學(xué)目標，教學(xué)重難點，教學(xué)過程等內(nèi)容，歡迎下載使用。
第1課時

一、教學(xué)目標
1.類比指對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的研究方法，通過觀察、探究正余弦函數(shù)的圖象得到正余弦函數(shù)的性質(zhì)：通過直觀感知——操作確認——嚴格證明的認識方法體會正余弦函數(shù)的周期性“周而復(fù)始”的特點，然后從周期性出發(fā)，探究奇偶性、對稱性.
2.初步掌握用正余弦函數(shù)的性質(zhì)來簡化正余弦函數(shù)的研究過程，并靈活應(yīng)用.通過觀察圖象、誘導(dǎo)公式恒等變形等數(shù)形結(jié)合的手段，培養(yǎng)學(xué)生自主探究和邏輯思維、體會整體代換（換元法）的精妙之處.

二、教學(xué)重難點
重點：結(jié)合圖象探究、理解正余弦函數(shù)的周期性、奇偶性與對稱性.
難點：理解周期函數(shù)的意義、最小正周期的意義．

三、教學(xué)過程
（一）創(chuàng)設(shè)情境
情境：你能舉出生活中的周而復(fù)始，循環(huán)往復(fù)現(xiàn)象嗎？
我們稱這種周而復(fù)始，循環(huán)往復(fù)的變化規(guī)律為周期性，那么正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是否有這樣的周期性呢?
設(shè)計意圖：從生活中的簡單例子引入本節(jié)新課，讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.
（二）探究新知
任務(wù)1：了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性
思考：回憶正弦函數(shù)（余弦函數(shù)）圖象的作圖順序，我們先畫哪個區(qū)間的圖象？為什么？
答：先畫區(qū)間[0，2π]上的圖象，再畫整個定義域的圖象.
思考：由誘導(dǎo)公式一：sin(x＋2kπ)＝sin x，cs(x＋2kπ)＝cs x,k∈Z .結(jié)合正(余)弦曲線，可以看出正(余)弦函數(shù)怎樣的特征?圖象變化趨勢是怎樣的?
師生活動：教師利用多媒體演示圖片，以正弦函數(shù)為例，在以2π長度的區(qū)間內(nèi)的一段函數(shù)圖象在整個定義域區(qū)間內(nèi)“平移”得到整個正弦函數(shù).也就是說：每隔2π個單位長度，函數(shù)值就一樣（即縱坐標相同的點）.同學(xué)不難發(fā)現(xiàn)，這一點可以從定義中看出，也能從誘導(dǎo)公式sin(2kπ＋x)＝sin x(k∈Z)中得到反映，即自變量x的值增加2π整數(shù)倍時所對應(yīng)的函數(shù)值，與x所對應(yīng)的函數(shù)值相等.即f(x+k?2π)＝f(x)(k∈Z)
設(shè)計意圖：通過觀察圖象，從“形”上對周期性有初步了解，再通過誘導(dǎo)公式1定性的分析函數(shù)的周期性，歸納總結(jié)確定周期函數(shù)的對應(yīng)法則滿足的條件.這樣從“形”到“數(shù)”為周期性定義的給出做好鋪墊.
形成概念：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D.如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D，都有x＋T∈D，且 f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫作這個函數(shù)的周期．
師生活動：學(xué)生觀察正弦函數(shù)圖象，教師引導(dǎo)學(xué)生得到2π就是它一個周期.同理請學(xué)生思考余弦函數(shù)的一個周期可以是多少，選派學(xué)生代表來回答.
注意：周期函數(shù)的周期不止一個.如：2π，4π，…，以及 – 2π，– 6π，…，都是正弦函數(shù)的周期；
事實上 ? k∈Z，且 k ≠ 0，常數(shù) 2kπ 都是它的周期.
如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.
設(shè)計意圖：最小正周期的介紹是在學(xué)生對周期函數(shù)有一個初步認識的基礎(chǔ)上，一切水到渠成．
總結(jié)：正弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kπ( k∈Z，且 k ≠ 0)都是它的周期，最小正周期是2π.
類似地，余弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kπ( k∈Z，且 k ≠ 0)都是它的周期，最小正周期是2π.
思考：sin(?23π+π3)=?32=sin(?2π3),sin(π3+π3)=32=sinπ3，
那么π3是正弦函數(shù)y=sinx的一個周期嗎？為什么？
答：不是，因為當x=π6時，sin(π6+π3)=sinπ2=1≠sinπ6，
所以，π3不是正弦函數(shù)y=sinx的一個周期.
設(shè)計意圖：高一的學(xué)生對于“任意”“存在”的理解是比較困難的，教學(xué)中讓更多的學(xué)生參與概念的生成過程，讓學(xué)生提出想法，并讓學(xué)生辨析這個想法是否科學(xué).充分認識概念中提到的關(guān)鍵條件，特別是對“任意”二字的理解.
思考：如果函數(shù)f(x)的周期為T，那么2T是不是它的周期？3T、4T呢？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？
答：2T是它的周期，3T、4T也是它的周期，kT(k∈Z且k≠0)都是函數(shù)的周期．
思考：一個周期函數(shù)的周期有多少個？周期函數(shù)的圖象具有什么特征？
答：有無數(shù)個，周期函數(shù)的圖象周期性重復(fù)出現(xiàn).
設(shè)計意圖：通過對函數(shù)周期不唯一性的探究，讓學(xué)生認識到函數(shù)的周期不止一個，它們有無數(shù)個周期，周期函數(shù)的圖象周期性重復(fù)出現(xiàn).
任務(wù)2：探索正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性
探究：仔細觀察正弦、余弦函數(shù)的圖象，說說它們分別關(guān)于什么對稱？
答：正弦曲線關(guān)于原點O對稱，所以正弦函數(shù)是奇函數(shù)；
余弦曲線關(guān)于y軸對稱，所以余弦函數(shù)是偶函數(shù).
思考：如何從代數(shù)角度證明正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性？
證明：函數(shù)y=sinx定義域為R
∵f(?x)=sin(?x)=?sinx=?f(x)
∴ y=sinx 為奇函數(shù).
函數(shù)y=csx定義域為R
∵f(?x)=cs(?x)=csx=f(x)
∴ y=csx 為偶函數(shù).
總結(jié)：正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù).
設(shè)計意圖：從幾何與代數(shù)的角度，分別探究正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的奇偶性，加深學(xué)生對正余弦函數(shù)奇偶性的理解.
任務(wù)3. 探索正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的對稱性.
探究：容易知道，正弦函數(shù)是奇函數(shù)，正弦曲線關(guān)于原點對稱，即原點是正弦曲線的對稱中心.除原點外，正弦曲線還有其他的對稱中心嗎？如果有，那么對稱中心的坐標是什么？另外，正弦曲線是軸對稱圖形嗎？如果是，那么對稱軸的方程是什么？你能用已經(jīng)學(xué)過的正弦函數(shù)性質(zhì)解釋上述現(xiàn)象嗎？對余弦函數(shù)，討論上述同樣的問題.
答：正弦曲線的對稱中心(kπ,0),k∈Z；對稱軸x=π2+kπ,k∈Z
余弦曲線的對稱中心(π2+kπ,0),k∈Z；對稱軸x=kπ,k∈Z
師生活動：學(xué)生通過觀察圖象先獨立思考，再小組討論教師適時點撥，共同總結(jié)歸納.
設(shè)計意圖：學(xué)生通過觀察正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，嘗試總結(jié)對稱性，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、等核心素養(yǎng)，同時培養(yǎng)他們的團隊合作意識.
（三）應(yīng)用舉例
例1求下列函數(shù)的周期：
(1)y=3sinx，x∈R
2 f(x)=cs2x，x∈R
(3)f(x)=2sin(12x?π6)
解：（1）任意 x∈R，有 3sin(x+ 2π ) = 3sinx ，
由周期函數(shù)的定義可知，y = 3sinx，x∈R的最小正周期為2π ；
(2)令 z = 2x，由 x∈R，得 z∈R，且 y=csz的周期為2π；
∵cs( z+2π)=csz，∴cs(2x+2π) =cs2x，
∴cs2( x+π)=cs2x，x∈R，
由周期函數(shù)定義知，y =cs2x的周期為π；
（3）令z=12x?π6，由 x∈R，得 z∈R，且 y = 2sin z的周期為即周期為2π；
即：2sin(z+2π) =2sin z，∴2sin[ (12x?π6)+2π ]=2sin (12x?π6)，
所以， 2sin[ 12(x+4π)?π6 ] = 2sin (12x?π6).
由周期函數(shù)的定義知，原函數(shù)的周期為 4π .
設(shè)計意圖：通過例1的鞏固訓(xùn)練，讓學(xué)生加深對周期概念的理解.并通過運用周期定義的證明來訓(xùn)練同學(xué)們的邏輯推理素養(yǎng).
總結(jié)：
1.形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acs(ωx+φ)(A，ω，φ是常數(shù)， A≠0，ω≠0)的函數(shù)的周期為T=2π|ω|.
2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性，實質(zhì)上是由終邊相同角所具有的周期性決定的.
設(shè)計意圖：推導(dǎo)出三角函數(shù)模型fx=Asinωx+φ的周期，讓學(xué)生明確只有ω對周期產(chǎn)生影響，培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的歸納能力，以及嚴密地邏輯推理能力.
總結(jié)：對周期函數(shù)中“周期” 理解
自變量x本身加的常數(shù)才是最小正周期；即f (2x+T)= f (2x)中T不是最小正周期；如：f (2x+T)= f [2(x+T2)]=f (2x)，即 T2才是最小正周期.
② 周期函數(shù)的周期不唯一；若T是函數(shù)f (x)的最小正周期，則kT (k∈Z且k ≠ 0) 也是函數(shù)f (x)的周期；
③ 不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期；對于函數(shù)f(x)=c (c為常數(shù)，x∈R)所有非零實數(shù)T都是它的周期，故最小正周期是不存在的，所以常數(shù)函數(shù)沒有最小正周期.
例2 判斷下列函數(shù)的奇偶性，并說明理由.
（1）y = 2sinx，x∈[0，2π]； （2）y = 1 – csx，x∈R；
（3）y = x + sinx，x∈R； （4）y = – sinx·csx，x∈R.
解：（1）定義域關(guān)于原點不對稱，所以函數(shù) y = 2sinx，x∈[0，2π] 無奇偶性；
（2）定義域關(guān)于原點對稱，又 y = f (x)且f (– x) = 1 – csx = f (x)；偶函數(shù)；
（3）定義域關(guān)于原點對稱，又 f (– x) = – x – sinx = – f (x)；奇函數(shù)；
（4）定義域關(guān)于原點對稱，又 f (– x) = sinx · csx = – f (x)；奇函數(shù).
總結(jié)：
1.判斷函數(shù)奇偶性應(yīng)把握好的兩個方面：
一看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱；二看f (x)與f (-x)的關(guān)系.
2.對于三角函數(shù)奇偶性的判斷，有時可根據(jù)誘導(dǎo)公式先將函數(shù)式化簡后再判斷.
設(shè)計意圖：鞏固學(xué)生對奇偶性的理解.
例3 已知函數(shù)f(x)=5sin(2x+π3)，則下列說法正確的是（ ）
A.圖象關(guān)于點(π6,0)對稱B.圖象關(guān)于點(π3,0)對稱
C.圖象關(guān)于直線x＝π6對稱D.圖象關(guān)于直線x＝π3對稱
解：由題可得，設(shè)2x+π3＝kπ，k∈Z，解得x＝kπ2－π6，k∈Z，
所以函數(shù)f(x)的對稱中心為(kπ2－π6,0)，k∈Z.
設(shè)2x+π3＝kπ+π2，k∈Z，解得x＝kπ2+π12，k∈Z，
所以函數(shù)f(x)的對稱軸為x＝kπ2+π12，k∈Z.
通過對比選項可知，f(x)的圖象關(guān)于點(π3,0)對稱.
故選B.
設(shè)計意圖：加深學(xué)生對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的對稱性的理解，突出重點.
例4 定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)，又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期是π，且當x∈[0,π2]時，f(x)=sin x，則f(5π3)等于（ ）.
A.?12 B.12 C.?32 D.32
解：f(5π3)=f(5π3?π)=f(2π3)=f(2π3?π)=f(?π3)=f(π3)=sinπ3=32.
故選D.
設(shè)計意圖：在掌握正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的周期性與奇偶性基礎(chǔ)上，靈活運用，考查學(xué)生的融會貫通情況和綜合素養(yǎng).
（四）課堂練習(xí)
1.已知直線x=5π12和x=17π12都是函數(shù)y=f(x)圖象的對稱軸，則f(x)的解析式可能為( )
A. f(x)=sin(2x?π3)B. f(x)=sin(2x?π6)
C. f(x)=sin(4x+π3)D. f(x)=sin(x?π6)
解：由題可知，當x=5π12或x=17π12時，f(x)取得最值，
對于A選項對應(yīng)的函數(shù)，f(5π12)=sinπ2=1，f(17π12)=sin5π2=1，符合題意，
驗證可知B，C，D選項對應(yīng)的函數(shù)均不符合題意．
故選：A．
2.已知函數(shù)fx=sin2ωx+π6ω>0的最小正周期為π，則fx圖象的一個對稱中心的坐標為( )
A. ?5π12,0B. ?π4,0C. π12,0D. ?7π12,0
解：由2π2ω=π，得ω=1，所以fx=sin2x+π6．
令2x+π6=kπ,k∈Z，則x=?π12+kπ2,k∈Z，
當k=?1時，x=?7π12，
所以fx圖象的一個對稱中心的坐標為?7π12,0．
故選D.
3.下列函數(shù)中最小正周期為π，且為偶函數(shù)的是( )
A. y=csxB. y=sin2xC. y=sin2x+π2D. y=cs12x
解：對于A，定義域為R，因為f(?x)=cs(?x)=csx=f(x)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，因為y=csx的圖象是由y=csx的圖象在x軸下方的關(guān)于x軸對稱后與x軸上方的圖象共同組成，所以y=csx的最小正周期為π，所以A正確，
對于B，定義域為R，因為f(?x)=sin(?2x)=?sin2x=?f(x)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以B錯誤，
對于C，定義域為R，f(x)=sin?(2x+π2)=cs?2x，最小正周期為π，因為f(?x)=cs(?2x)=cs2x=f(x)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以C正確，
對于D，定義域為R，最小正周期為2π12=4π，所以D錯誤，
故選：AC
4.設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)是以2為最小正周期的周期函數(shù)，且當x∈[0,2]時，f(x)=(x?1)2.求f(3)，f(72)的值．
解：∵f(x)的最小正周期為2，且當x∈[0,2]時，f(x)=(x?1)2．
∴f(3)=f(1)=(1?1)2=0，
f(72)=f(32)=(32?1)2=14．
5.已知函數(shù)f(x)=sin2x+cs?x+1cs?x+1．
(1)求函數(shù)f(x)的定義域并判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)求函數(shù)f(x)的最小正周期．
解：(1)由cs x+1≠0，得x≠2kπ+π，k∈Z，
所以函數(shù)f(x)的定義域為{x|x∈R,x≠2kπ+π,k∈Z}，
fx=1?cs2x+csx+1csx+1=csx+12?csxcsx+1=2?csx．
因為f(?x)=f(x)，且函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于坐標原點對稱，故函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．
(2)因為f(x)=2?cs x(x≠2kπ+π,k∈Z)，
所以f(x)的最小正周期為T=2π1=2π．
設(shè)計意圖：通過課堂練習(xí)，讓學(xué)生反復(fù)鞏固正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性、奇偶性和對稱性，能夠靈活運用.
（五）歸納總結(jié)
通過本節(jié)課的研究，大家學(xué)到了哪些知識和方法，說說你的體會？余弦函數(shù)對稱中心(π2+kπ,0),k∈Z；對稱軸x=kπ,k∈Z
設(shè)計意圖：及時鞏固所學(xué)，加深理解.