第2課時

一、教學(xué)目標(biāo)
1.了解正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性，并能利用單調(diào)性比較大小.
2.了解正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的最大值與最小值，并會求簡單三角函數(shù)的值域和最值.
3.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0，2π]上并延伸至R的性質(zhì).
4.體會數(shù)學(xué)抽象的過程，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

二、教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性、最值，研究函數(shù)的思想方法.
難點(diǎn)：利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性來研究它們的單調(diào)性、最值．

三、教學(xué)過程
（一）創(chuàng)設(shè)情境
情境：過山車是一項(xiàng)富有刺激性的娛樂工具，該運(yùn)動包含了許多物理學(xué)原理，人們在設(shè)計過山車時巧妙地運(yùn)用了這些原理．如果能親身體驗(yàn)一下過山車那感覺真是妙不可言．一個基本的過山車構(gòu)造中，包含了爬升、滑落、倒轉(zhuǎn)(兒童過山車沒有倒轉(zhuǎn))，幾個循環(huán)路徑．
這種爬升和滑落體現(xiàn)了函數(shù)的什么性質(zhì)？
回顧：1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性：
（1）y=sinx， T=2π; y=Asin(ωx+φ)，T=2π|ω|
（2）y=csx，T=2π;y=Acs(ωx+φ)，T=2π|ω|
2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性：正弦函數(shù)為奇函數(shù)；余弦函數(shù)為偶函數(shù).
3.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的對稱性：
（1）y=sinx對稱中心為(kπ，0)，k∈Z對稱軸為x=π2+kπ,k∈Z
（2）y=csx對稱中心為(π2+kπ，0)，k∈Z對稱軸為x=kπ，k∈Z
設(shè)計意圖：從生活中的簡單例子引入本節(jié)新課，讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.
探究新知
任務(wù)1：探究正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值
思考：上節(jié)課已經(jīng)學(xué)習(xí)過周期性、奇偶性和對稱性，那還有哪些性質(zhì)需要我們研究？
答：單調(diào)性、最值
思考：利用周期性，我們可以先研究正弦函數(shù)一個周期內(nèi)的單調(diào)性再進(jìn)行推廣，你覺得選取哪一段比較合適？
答：[?π2，3π2]
探究：觀察正弦函數(shù)y=sinx，x∈[?π2，3π2]的圖象，研究函數(shù)的單調(diào)性與最值.
師生活動：觀察正弦函數(shù)y=sinx，x∈[?π2，3π2]的圖象.

答：當(dāng)x∈[?π2，π2]時，曲線逐漸上升，是增函數(shù)，sinx的值由-1增大到1；
當(dāng)x∈[π2，3π2]時，曲線逐漸下降，是減函數(shù)，sinx的值由1減小到-1.
當(dāng)x=π2時，ymax=1；當(dāng)x=?π2或3π2時，ymin=?1
用表格表示為：
師生活動：通過觀察圖象，引導(dǎo)學(xué)生用語言描述函數(shù)圖象中蘊(yùn)含的變化．
設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察圖象，并用自己的語言敘述．
思考：根據(jù)正弦函數(shù)的周期性，你能說說正弦函數(shù)y=sinx，x∈R的單調(diào)性嗎？
答：當(dāng)x∈[?π2+2kπ，π2+2kπ]，k∈Z時，正弦函數(shù)y=是增函數(shù)，函數(shù)值由-1增大到1.
當(dāng)x∈[π2+2kπ，3π2+2kπ]，k∈Z時，正弦函數(shù)y=是減函數(shù)，函數(shù)值由1減小到-1.
師生活動：引導(dǎo)學(xué)生觀察，先找到一個單調(diào)區(qū)間，再尋找每一個單調(diào)區(qū)間的之間的關(guān)系，然后用完善的形式表達(dá)出來．提醒學(xué)生區(qū)間中的k是整數(shù)，這一點(diǎn)不可缺少．
設(shè)計意圖：將正弦函數(shù)的單調(diào)性總結(jié)歸納出來．
總結(jié)：正弦函數(shù) y = sin x，x∈R的單調(diào)性
x∈[?π2+2kπ，π2+2kπ]，k∈Z上單調(diào)遞增；x∈[π2+2kπ，3π2+2kπ]，k∈Z上單調(diào)遞減.
正弦函數(shù) y = sin x，x∈R的最值
當(dāng)x=π2+2kπ，取到最大值：1；當(dāng)x=?π2+2kπ，取到最小值：-1；
任務(wù)2：探究余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值
探究：類比正弦函數(shù)研究單調(diào)性（最值）的方法，請大家以小組形式進(jìn)行探究余弦函數(shù)的單調(diào)性（最值）
（1）畫出余弦函數(shù)在區(qū)間 [– π，π]上的圖象，并總結(jié)函數(shù)的特征，歸納函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值）；
（2）畫出余弦函數(shù)在定義域 (x∈R)上的圖象，總結(jié)歸納函數(shù)的性質(zhì).
要求：先獨(dú)立思考，再交流討論.
總結(jié)：余弦函數(shù) y =cs x，x∈R的單調(diào)性
x∈[?π+2kπ，0+2kπ]，k∈Z上單調(diào)遞增；x∈[0+2kπ，π+2kπ]，k∈Z上單調(diào)遞減.
余弦函數(shù) y = cs x，x∈R的最值
當(dāng)x=0+2kπ，取到最大值：1；當(dāng)x=π+2kπ，取到最小值：-1；
總結(jié)：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)
設(shè)計意圖：學(xué)生通過觀察正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，嘗試總結(jié)性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)，同時培養(yǎng)他們的團(tuán)隊(duì)合作意識.
（三）應(yīng)用舉例
例1下列函數(shù)有最大值、最小值嗎？如果有，請寫出最大值、最小值時自變量x的集合，并求出最大值、最小值.
（1）y = csx+1，x∈R； （2）y = -3sin 2x，x∈R.
解：容易知道，這兩個函數(shù)都有最大值、最小值
（1）使函數(shù)y = csx+1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函數(shù)y = csx，x∈R取得最大值的x的集合{x|x=2kπ，k∈Z}；
使函數(shù)y = csx+1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函數(shù)y = csx，x∈R取得最小值的x的集合{x|x=(2k+1)π，k∈Z}.
函數(shù)y = csx+1，x∈R的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.
（2）令z=2x，使函數(shù)y = -3sin 2x，x∈R取得最大值的z的集合，就是使y =sinz，z∈R取得最小值的z的集合{z|z=?π2+2kπ，k∈Z}.
由2x=z=?π2+2kπ，得x=?π4+kπ.所以，使函數(shù)y=?3sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是 {x|x=?π4+kπ，k∈Z}.
同理，使函數(shù)y = -3sin 2x，x∈R取得最小值的x的集合是{x|x=π4+kπ，k∈Z}.
函數(shù)y = -3sin 2x，x∈R的最大值是3，最小值是-3.
總結(jié)：
1.求解例題的基本依據(jù)是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大（?。┲?
2.對于形如y=Asin(ωx+φ)+B的函數(shù)，一般通過變量代換（如設(shè)z=ωx+φ）化歸為y=Asinz+B的形式，然后利用正弦函數(shù)的最大（?。┲登蠼?
3.余弦函數(shù)類似.
設(shè)計意圖：通過例1的鞏固訓(xùn)練，讓學(xué)生加深對最大小值的理解.并掌握取得最值時的x的取值.
例2 不通過求值，比較下列各數(shù)的大小.
（1） sin (?π18 ) 和 sin (?π10 )； （2）cs (?23π5 ) 和 cs (?17π4 ).
分析：利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較兩個同名三角函數(shù)值的大小.為此，先用誘導(dǎo)公式將已知角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角，然后再比較大小.
解：（1）因?yàn)?– π2 < – π10 < – π18 < 0，
正弦函數(shù) y = sin x 在[?π2 , π2]上是增函數(shù)，所以
sin (?π18 ) >sin (?π10).
（2）cs (?23π5 )＝cs(?6π+7π5)=cs7π5，
cs (?17π4 )=cs (?6π+7π4 )=cs 7π4，
∵π＜7π5＜7π4＜2π，且函數(shù)y＝cs x在[π，2π]上單調(diào)遞增，
∴cs7π5＜cs7π4，即cs (?23π5 )0∴4k+12≤2k+542k+54>0∴?58≤k≤38,∴k=0
∴ω∈[12,54].
5.已知函數(shù)f(x)=3sin(2x?π3+φ)(0

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5.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

版本： 人教A版 (2019)

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