人教A版 (2019)必修第一冊(cè)3.3 冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

課程基本信息
課例編號(hào)
2020QJ10SXRA023
學(xué)科
數(shù)學(xué)
年級(jí)
高一
學(xué)期
第一學(xué)期
課題
冪函數(shù)
教科書(shū)
書(shū)名：普通高中教科書(shū) 數(shù)學(xué) 必修第一冊(cè)
出版社：人民教育出版社 A版出版日期：2019年6月
教學(xué)人員
姓名
單位
授課教師
趙麗艷
北京市廣渠門中學(xué)教育集團(tuán)
指導(dǎo)教師
李穎
北京市東城區(qū)教師研修中心
教學(xué)目標(biāo)
教學(xué)目標(biāo)：
1.通過(guò)具體實(shí)例，了解冪函數(shù)的定義，會(huì)畫(huà)五個(gè)冪函數(shù)的圖象，能歸納出它們的性質(zhì)；
2.通過(guò)對(duì)冪函數(shù)的研究，體會(huì)研究一類函數(shù)的基本內(nèi)容和方法;
3.通過(guò)冪函數(shù)性質(zhì)的證明，提升代數(shù)推理的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)推理的素養(yǎng).
教學(xué)重點(diǎn)：冪函數(shù)的概念及五個(gè)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì).
教學(xué)難點(diǎn)：概括五個(gè)冪函數(shù)的共性，以及冪函數(shù)性質(zhì)的證明.
教學(xué)過(guò)程
時(shí)間
教學(xué)環(huán)節(jié)
主要師生活動(dòng)
引入
前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，利用函數(shù)概念和對(duì)圖象的觀察，研究了函數(shù)的一些性質(zhì).本節(jié)我們利用這些知識(shí)研究一類新的函數(shù).
5
分
鐘
（一）冪函數(shù)概念的抽象
問(wèn)題1：我們知道函數(shù)可以來(lái)刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題，請(qǐng)看下面幾個(gè)例子：
(1)如果張紅以1元/kg的價(jià)格購(gòu)買了某種蔬菜w kg，那么她需要支付p=w元，這里p是w的函數(shù)；
（2）如果正方形的邊長(zhǎng)為a，那么正方形的面積，這里S是a的函數(shù)；
（3）如果立方體的棱長(zhǎng)為b，那么立方體的體積，這里V是b的函數(shù)；
（4）如果一個(gè)正方形場(chǎng)地的面積為S，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，這里c是S的函數(shù)；
注意：可以表示為，這個(gè)轉(zhuǎn)化會(huì)在后面學(xué)習(xí).
（5）如果某人t s內(nèi)騎車行進(jìn)了1km，那么他騎車的平均速度，這里v是t的函數(shù).
觀察這五個(gè)函數(shù)的解析式，從解析式的結(jié)構(gòu)特征看，它們有什么共性？
師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生觀察思考后回答問(wèn)題.根據(jù)學(xué)生的回答，教師進(jìn)行必要的補(bǔ)充. 最后指明：(1)這幾個(gè)函數(shù)解析式都具有冪的形式；(2)冪的底數(shù)是自變量，指數(shù)是常數(shù).
教師給出冪函數(shù)概念.
冪函數(shù)概念：一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù).
追問(wèn)：能否根據(jù)冪函數(shù)的概念舉出一些冪函數(shù)的例子呢？
如：，，等.
注意：冪的指數(shù)除了可以取整數(shù)之外，還可以取其他實(shí)數(shù)，當(dāng)它們?nèi)∑渌麑?shí)數(shù)時(shí)冪也有各自的含義，這些會(huì)在后面學(xué)習(xí).
對(duì)于冪函數(shù)，我們只研究1，2，3，，1
時(shí)的圖象與性質(zhì).
師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生思考后回答.教師根據(jù)學(xué)生的回答，對(duì)學(xué)生舉出的具體冪函數(shù)的解析式進(jìn)行評(píng)價(jià)糾錯(cuò).
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生熟悉的實(shí)際問(wèn)題引出冪函數(shù)；通過(guò)追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生抓住冪函數(shù)的形式特點(diǎn).
15
分
鐘
（二）冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
問(wèn)題2：結(jié)合初中學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)及前面學(xué)習(xí)的函數(shù)知識(shí)，思考研究一類函數(shù)的一般路徑是什么？
師生活動(dòng)：學(xué)生回答.教師在學(xué)生回答基礎(chǔ)上進(jìn)行補(bǔ)充，最后指出我們首先通過(guò)對(duì)實(shí)例的抽象得到某類函數(shù)概念，然后根據(jù)函數(shù)的解析式求出函數(shù)的定義域，畫(huà)出函數(shù)圖象，畫(huà)圖的時(shí)候，可以借助初中學(xué)習(xí)的描點(diǎn)法畫(huà)圖，同時(shí)可以借助函數(shù)性質(zhì)來(lái)幫助我們簡(jiǎn)化畫(huà)圖的過(guò)程.然后利用圖象和解析式，討論函數(shù)的值域、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì),并解決相關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題.
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧已有經(jīng)驗(yàn)，給出研究函數(shù)的路徑.
問(wèn)題3：關(guān)于這五個(gè)冪函數(shù)，，，是我們熟悉的，在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫(huà)出它們的圖象并總結(jié)它們的性質(zhì).

定義域：R，
值域：R，
奇偶性：奇函數(shù)，
單調(diào)性：在R上單調(diào)遞增.
定義域：R，
值域：，
奇偶性：偶函數(shù)，
單調(diào)性：在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
定義域：，
值域：，
奇偶性：奇函數(shù)，
單調(diào)性：在上單調(diào)遞減,
在上單調(diào)遞減.
問(wèn)題4：如何畫(huà)出和的圖象？
追問(wèn)：觀察這兩個(gè)函數(shù)的解析式，你能先說(shuō)出它們的一些性質(zhì)嗎？
分析：的定義域是，的定義域分別是，是奇函數(shù). 定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù).
師生活動(dòng)：學(xué)生回答.最后使學(xué)生認(rèn)識(shí)到：通過(guò)解析式，可以得到和的定義域，并可以知道是奇函數(shù)，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)；而且通過(guò)解析式得到函數(shù)的性質(zhì)后，可以簡(jiǎn)化作圖的過(guò)程.
學(xué)生進(jìn)行作圖，在一個(gè)坐標(biāo)系中畫(huà)出五個(gè)冪函數(shù)的圖象，教師利用信息技術(shù)進(jìn)行畫(huà)圖并演示.
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)研究一類函數(shù)的方法.其中，讓學(xué)生先觀察函數(shù)和解析式的特點(diǎn)，對(duì)函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性進(jìn)行初步判斷，這樣可以使學(xué)生提高取點(diǎn)的目的性，使圖象更好的反映函數(shù)的特征，而且可以使學(xué)生體會(huì)高中階段研究函數(shù)性質(zhì)的新特點(diǎn).
問(wèn)題5：觀察函數(shù)和的圖象結(jié)合函數(shù)解析式，將你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論寫在下表內(nèi).
定義域
值域
奇偶性
單調(diào)性
師生活動(dòng)：學(xué)生回答，通過(guò)交流補(bǔ)充歸納得到五個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)，并將這些性質(zhì)填入表格中.
問(wèn)題6：觀察函數(shù)圖象結(jié)合表格，總結(jié)它們具有哪些共同性質(zhì)？有哪些不同的性質(zhì)？
同學(xué)們可以從以下角度觀察
（1）圖象分布的區(qū)域，公共點(diǎn)；
（2）函數(shù)的對(duì)稱性；
（3）函數(shù)的變化趨勢(shì).
（1）函數(shù)，，，和的圖象都通過(guò)點(diǎn)（1，-1）；
（2）函數(shù)，，是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)；
（3）在區(qū)間上，函數(shù)，，，單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減；
（4）在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象向上與y軸無(wú)限接近，向右與x軸無(wú)限接近.
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)的圖象，得出五個(gè)函數(shù)各自性質(zhì)的基礎(chǔ)上，歸納共性和差異性，得出冪函數(shù)的一些基本性質(zhì).
問(wèn)題7：前面我們從形的角度觀察得到了冪函數(shù)的單調(diào)性，你能從代數(shù)的角度證明冪函數(shù)是增函數(shù)嗎？
證明：函數(shù)的定義域是.
，且，有

（注：由于沒(méi)有理論支撐判斷與的大小，所以我們采用分子有理化的方法對(duì)式子進(jìn)行變形，分子分母同時(shí)乘以.）
.
因?yàn)椋?
所以，即冪函數(shù)是增函數(shù).
師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生獨(dú)立完成.教師對(duì)學(xué)生的證明過(guò)程進(jìn)行評(píng)價(jià)糾錯(cuò).
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)觀察得到的性質(zhì)進(jìn)行理性思考，利用解析式對(duì)結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)格證明，提高學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到用抽象語(yǔ)言表述的單調(diào)性定義在證明中的重要作用.
2分鐘
歸納總結(jié)
布置作業(yè)
設(shè)計(jì)意圖：從知識(shí)內(nèi)容和研究方法兩個(gè)方面對(duì)本節(jié)課進(jìn)行小節(jié)．
（一）思考：你能從冪函數(shù)圖象的角度求解下列不等式嗎?
(1) ； (2) .
（二）教科書(shū) 第91頁(yè)練習(xí)第1，2，3題，習(xí)題3.3第1，2，3題.

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