高中人教A版 (2019)4.4.1 對數(shù)函數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

課程基本信息
課例編號
2020QJ10SXRA033
學(xué)科
數(shù)學(xué)
年級
高一
學(xué)期
第一學(xué)期
課題
對數(shù)函數(shù)的概念
教科書
書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊 A版
出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月
教學(xué)人員
姓名
單位
授課教師
魯國方
北京市第十一中學(xué)
指導(dǎo)教師
李穎
北京市東城區(qū)教師研修中心
教學(xué)目標(biāo)
教學(xué)目標(biāo)：
1.從實際問題情境中，抽象出對數(shù)函數(shù)的概念，認(rèn)識與指數(shù)函數(shù)間的關(guān)系；
2.在對數(shù)函數(shù)概念形成過程中進一步體會函數(shù)的本質(zhì)，感受知識間內(nèi)在聯(lián)系；
3.借助信息技術(shù)和計算工具感受對數(shù)函數(shù)的變化，發(fā)展數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).
教學(xué)重點：對數(shù)函數(shù)概念的形成.
教學(xué)難點：對指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)內(nèi)在聯(lián)系的把握.
教學(xué)過程
時間
教學(xué)環(huán)節(jié)
主要師生活動
溫故知新
同學(xué)們好，我是北京市第十一中學(xué)的魯國方，很高興與大家一起學(xué)習(xí)這節(jié)課的內(nèi)容.首先，請問大家一個問題：你知道考古學(xué)家是如何推測出土文物或古遺址年代的嗎？
當(dāng)生物死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減(稱為衰減率)，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？
通過指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)，我們知道，當(dāng)生物死亡年數(shù)為，死亡生物體內(nèi)碳14含量為，那么這就是我們學(xué)過的指數(shù)函數(shù). 我們用指數(shù)函數(shù)模型研究了呈指數(shù)增長或衰減變化規(guī)律的問題，它揭示了死亡生物體內(nèi)碳14的含量隨時間的變化而衰減的規(guī)律.當(dāng)我們知道生物的死亡時間，通過指數(shù)函數(shù)，我們就能知道生物體內(nèi)碳14的含量. 但是，更有價值的是，考古學(xué)家想推測出土文物或古遺址年代，往往是，先測算出生物體內(nèi)碳14的含量，然后計算出它死亡了多長時間.
你知道，他們是怎么做到的嗎？
新知形成
對這樣的問題，在引入對數(shù)后，我們還可以從另外的角度，對蘊含的規(guī)律作
進一步的研究．
問題1：死亡生物體內(nèi)碳14含量為是死亡時間的函數(shù)
即
那么，死亡時間是碳14的含量的函數(shù)嗎？
追問1：解決這個問題，顯然要依據(jù)函數(shù)的定義.那么依據(jù)定義應(yīng)該怎樣進行判斷呢？
函數(shù)的定義：設(shè)是非空的實數(shù)集，如果對于集合中的任意一個數(shù)，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱為從集合到集合的一個函數(shù)，記作
所以要判斷死亡時間是否是碳14的含量的函數(shù)，就要確定，對于任意一個，是否都有唯一確定的與其對應(yīng)．
追問2：若已知死亡生物體內(nèi)碳14的含量，如何得知它死亡了多長時間呢？
如圖，觀察的圖象，過軸正半軸上任意一點作軸的平行線，與的圖象有幾個交點？這說明對任意一個，都有幾個與其對應(yīng)？能否將看成是的函數(shù)？
按照追問1確定的辦法，用軟件進行演示，直觀呈現(xiàn)對任意一個，都有唯一確定的與其對應(yīng)．
追問3：能否求出生物死亡年數(shù)隨體內(nèi)碳14含量變化的函數(shù)解析式？
根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系，
由得到
根據(jù)函數(shù)的定義，對于每一個給定的值都有唯一的的值與之對應(yīng)，把看作自變量，就是的函數(shù).
但習(xí)慣上仍用表示自變量，表示它的函數(shù)，即，而中的底數(shù)為一個給定的常數(shù)，我們用來表示，即.即由指數(shù)函數(shù)可得，而也構(gòu)成函數(shù)，再改換字母表示，不影響函數(shù)的本質(zhì)，形成一個新的函數(shù)這就是本節(jié)課要學(xué)習(xí)的對數(shù)函數(shù).
新知特征
一般地，函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，定義域是
關(guān)注：1.對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意特征;
2.在對數(shù)函數(shù)的底數(shù)且;
3.對數(shù)函數(shù)的定義域為，即自變量
學(xué)以致用
例1 給出下列函數(shù)：
= 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③
= 4 \* GB3 ④ = 5 \* GB3 ⑤ = 6 \* GB3 ⑥
其中所有對數(shù)函數(shù)的序號是( B )
(A) = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 5 \* GB3 ⑤ (B) = 4 \* GB3 ④ = 5 \* GB3 ⑤ = 6 \* GB3 ⑥ (C) = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 4 \* GB3 ④ = 5 \* GB3 ⑤ = 6 \* GB3 ⑥ (D) = 3 \* GB3 ③ = 4 \* GB3 ④
追問：判斷函數(shù)是否為對數(shù)函數(shù)的依據(jù)是什么？
對數(shù)函數(shù)是形式定義，判斷一個函數(shù)是否是對數(shù)函數(shù)，要以下關(guān)注三點:
對數(shù)符號前面的系數(shù)為1；
對數(shù)的底數(shù)是不等于1的正常數(shù)；
對數(shù)的真數(shù)僅有自變量.
例2 求下列函數(shù)的定義域：
（1）
（2）且
追問：求解的依據(jù)是什么？據(jù)此求解的步驟是什么？
這些函數(shù)雖然不是對數(shù)函數(shù)，但它們與對數(shù)函數(shù)緊密相關(guān)，求這些函數(shù)的定義域時，要注意對數(shù)函數(shù)的概念.定義域是使函數(shù)自變量的取值集合.我們從對數(shù)函數(shù)的定義出發(fā)，對數(shù)函數(shù)且的定義域是，那么（1）中的和（2）中的的取值范圍就是，于是得到不等式，將定義域問題轉(zhuǎn)化為解不等式問題，進而求出定義域．
解：由對數(shù)函數(shù)的概念可知：
因為即所以函數(shù)的定義域是
因為即所以函數(shù)的定義域是
例3 假設(shè)某地初始物價為1，每年以5%的增長率遞增，經(jīng)過年后的物價為
該地的物價經(jīng)過幾年后會翻一番？
填寫下表，并根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，說明該地物價的變化規(guī)律.
解：（1）由題意可知，經(jīng)過年后物價為
物價x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年數(shù)y
0
，即
由對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系，可得
物價翻一番，即，代入函數(shù)可得，
由計算工具可得
（2）根據(jù)函數(shù)利用計算工具，可得下表：
物價x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年數(shù)y
0
14
23
28
33
37
40
43
45
47
由表中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)的物價隨時間的增長而增長，但大約每增長1所需要的的年數(shù)在逐漸縮小.
練習(xí)：已知集合，集合，若
下列表達式能建立從集合到集合的函數(shù)關(guān)系的是 ;
若下列表達式能建立從集合到集合的函數(shù)關(guān)系的是 .
= 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③ = 4 \* GB3 ④
解：觀察集合A和集合B的數(shù)據(jù)，從集合到集合的函數(shù)的自變量，變量，猜測其對應(yīng)關(guān)系為以2為底的指數(shù)函數(shù)，將數(shù)據(jù)依次代入函數(shù)進行檢驗，發(fā)現(xiàn)都滿足該函數(shù)的解析式，所以選①；而從集合到集合的函數(shù)的自變量，變量，猜測其對應(yīng)關(guān)系為以2為底的對數(shù)函數(shù)，將數(shù)據(jù)依次代入函數(shù)進行檢驗，發(fā)現(xiàn)都滿足該函數(shù)的解析式，所以選 = 3 \* GB3 ③．
小結(jié)：對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)是我們學(xué)習(xí)的基本初等函數(shù)，它們增長是有差異的，不同類型的數(shù)據(jù)增長應(yīng)選取合適的函數(shù)模型來刻畫其變化規(guī)律．
歸納總結(jié)
回顧本課時學(xué)習(xí)內(nèi)容，并回答下面問題：
（1）概述本節(jié)課得到對數(shù)函數(shù)概念的基本過程．
（2）對數(shù)函數(shù)的現(xiàn)實背景是什么？
（1）先通過研究生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間的關(guān)系，利用圖象上與的對應(yīng)關(guān)系，理解也是的函數(shù)，再利用指數(shù)與對數(shù)的運算關(guān)系，依據(jù)函數(shù)的定義，從交換自變量與函數(shù)值“地位”的方向進行研究，由特殊到一般，得到對數(shù)函數(shù)的概念．
（2）對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)是密不可分的．對于呈指數(shù)增長或衰減變化的問題，我們可以用指數(shù)函數(shù)進行描述，還可以從對數(shù)函數(shù)的角度進行描述，從而能夠更全面地研究其中蘊含的規(guī)律．
布置作業(yè)
教科書第131頁練習(xí)第2題
2. 課后練習(xí)

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