課程基本信息
課例編號(hào)
2020QJ10SXRA006
學(xué)科
數(shù)學(xué)
年級(jí)
高一
學(xué)期
第一學(xué)期
課題
充分條件與必要條件（2）
教科書
書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)
出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019年4月
教學(xué)人員
姓名
單位
授課教師
吳斯威
北京市第二十二中學(xué)
指導(dǎo)教師
李穎
北京市東城區(qū)教師研修中心
教學(xué)目標(biāo)
教學(xué)目標(biāo)：
理解什么是充要條件，理解充要條件的含義；
通過對(duì)初中定理的再認(rèn)識(shí)，理解充要條件和數(shù)學(xué)定義之間的關(guān)系；
體會(huì)常用邏輯用語(yǔ)在表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容上的作用，逐步提升邏輯推理素養(yǎng).
教學(xué)重點(diǎn)：理解充要條件的含義，體會(huì)充要條件與充分條件，充要條件與必要條件的關(guān)系.
教學(xué)難點(diǎn)：理解充要條件與數(shù)學(xué)定義之間關(guān)系，能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言證明充要條件.
教學(xué)過程
時(shí)間
教學(xué)環(huán)節(jié)
主要師生活動(dòng)
5分鐘
引入
教師：提出思考問題，下列“若p，則q”形式的命題，哪些命題與它們的逆命題都是真命題？
1、若兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對(duì)的邊分別相等，則
這兩個(gè)三角形全等;
2、若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等;
3、若一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則 a?c0，q:x>0，y>0；
（4）p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根， q:a+b+c=0a≠0.
對(duì)于命題1，由于四邊形的對(duì)角線互相垂直平分只能推出四邊形是菱形，不能推出四邊形是正方形，所以q?p，所以p不是q的充要條件；p是q的充分不必要條件.
對(duì)于命題2，兩個(gè)三角形相似，可以由相似三角形性質(zhì)定理推出兩個(gè)三角形三邊成比例.反之，由兩個(gè)三角形三邊成比例也可以推出兩個(gè)三角形相似，這是相似三角形的判定定理，所以命題2中p是q的充要條件.
對(duì)于命題3 : 由xy>0，不僅能推出x>0時(shí)y>0，還可以推出x＜0時(shí)y＜0，所以p?q， p不是q的充要條件；p是q的必要不充分條件.
對(duì)于命題4，x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根，將x=1 代入方程得到a+b+c=0a≠0；反之如果a+b+c=0a≠0那么當(dāng)x=1時(shí)一定能夠使一元二次方程ax2+bx+c=0成立.所以p是q的充要條件.
注意：通過例題，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，判斷p是q的充要條件，需要我們判斷命題是否既有p?q，又有q?p.所以我們既要判斷“若p，則q”是否為真，又要判斷“若q，則p”是否為真.p?q，q?p，p是q的充要條件；p?q，q?p，p是q的充分不必要條件；p?q，q?p，p是q的必要不充分條件；p?q，q?p， p是q的既不充分也不必要條件.
3分鐘
鞏固練習(xí)
練習(xí)：下列各組命題中，p是q的什么條件？（請(qǐng)用“充分不必要條件”，“必要不充分條件”，“充要條件”，“既不充分也不必要條件”回答）
（1）p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等邊三角形；
（2）p：一元二次方程ax2+bx+c=0有實(shí)根，q:b2-4ac≥0;
（3）p:x>y，q:x2>y2;
（4）p:x>0，q：x＞-1.
問題1中由于語(yǔ)句p不能推出語(yǔ)句q，語(yǔ)句q可以推出語(yǔ)句p，所以p是q的必要不充分條件；
問題2中由于語(yǔ)句p能推出語(yǔ)句q，語(yǔ)句q也可以推出語(yǔ)句p，所以p是q的充要條件；
問題3由于語(yǔ)句p不能推出語(yǔ)句q，語(yǔ)句q不能推出語(yǔ)句p，所以p是q的既不充分也不必要條件；
問題4由于語(yǔ)句p能推出語(yǔ)句q，語(yǔ)句q不能推出語(yǔ)句p，所以p是q的充分不必要條件.
8分鐘
探究思考
提問學(xué)生：你能給出“四邊形是平行四邊形”的充要條件嗎？
學(xué)生思考并回答.
注意：
通過問題，結(jié)合以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)“四邊形的兩組對(duì)邊分別平行”，“四邊形的一組對(duì)邊平行且相等”，“四邊形的兩組對(duì)邊分別相等”，“四邊形的對(duì)角線互相平分”，均是“四邊形是平行四邊形”的充要條件.說明充要條件并不唯一. 上面四條都可以作為平行四邊形的定義，而這些新的定義方式，分別從不同的側(cè)面刻畫了平行四邊形.使學(xué)生進(jìn)一步理解定義與充要條件之間的關(guān)系.
8分鐘
能力提升
例4：已知圓O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d.
求證：d=r是直線l與圓O相切的充要條件.
分析：證明分為兩個(gè)部分，我們把充分性的證明和必要性的證明分開.這樣便于理清證明思路.
設(shè) p:d=r，q:直線l與圓O相切.
（1）先來證明充分性：如圖，做OP⊥l于點(diǎn)P，則OP=d.若d=r，則點(diǎn)P在圓O上.在直線l上任取一點(diǎn)Q（異于點(diǎn)P），連接OQ.在直角三角形OPQ中，OQ＞OP=r.所以，除點(diǎn)P外直線l上的點(diǎn)都在圓O外部，即直線l與圓O僅有一個(gè)公共點(diǎn)P，所以直線l與圓O相切.
（2）再來證明必要性：若直線l與圓O相切，不妨設(shè)切點(diǎn)為P，則OP⊥l.因此d= OP =r.
綜合（1）（2）可得，d=r是直線l與圓O相切的充要條件.
注意：
通過例題，學(xué)習(xí)充要條件的證明方法，要證明兩個(gè)命題是否為充要條件關(guān)系，需要我們將問題分為充分性的證明和必要性的證明兩個(gè)部分分別進(jìn)行，這樣既有利于思考清晰，又有利于書寫清楚.結(jié)合實(shí)際問題進(jìn)一步體會(huì)充要條件的含義.
在解決問題的過程中注意指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)方法，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)將命題拆分為“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”的形式再判斷真假.同時(shí)認(rèn)識(shí)到充要條件是進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化的機(jī)遇.
1分鐘
總結(jié)新知
最后我們一起來總結(jié)一下本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容：
1、對(duì)于語(yǔ)句p和語(yǔ)句q，如果p?q，q?p，那么p是q的充要條件；
2、判斷充要條件的過程是將原命題改寫成逆命題，再判斷原命題和逆命題是否為真；
3、證明充要條件要關(guān)注兩個(gè)方面，既要證明充分性，又要證明必要性；
4、體會(huì)充要條件和定義間的關(guān)系;
5、認(rèn)識(shí)到在推理證明中充要條件是進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化的重要機(jī)遇.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

1.4.1 充分條件與必要條件

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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