（滿分：150分；考試時(shí)間：120分鐘）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 設(shè)集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)集合，結(jié)合交集運(yùn)算可求.
【詳解】，，所以.
故選：C
2. 函數(shù)的大致圖象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再選擇圖象即可.
【詳解】，結(jié)合圖形可知C適合題意.
故選：C.
3. 在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，則“角與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱”是“”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可幾何和充分必要條件的定義求解.
【詳解】由角與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱可得,故，
充分性成立，
當(dāng)時(shí)，或，故不必要不成立，
故選：A
4. 1614年蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)的過程中為了簡(jiǎn)化計(jì)算而發(fā)明了對(duì)數(shù)方法；1637年法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾開始使用指數(shù)運(yùn)算；1770年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系，指出：對(duì)數(shù)源于指數(shù)，對(duì)數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)．若，，則的值約為（ ）
A. 2.301B. 2.322C. 2.507D. 2.699
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)互化公式得，再結(jié)合換底公式計(jì)算即可得答案.
【詳解】解：由指對(duì)數(shù)互化公式得
故選：B
5. 函數(shù)的零點(diǎn)一定位于下列的哪個(gè)區(qū)間（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由根的存在性定理求端點(diǎn)值的正負(fù)性，可知零點(diǎn)所在區(qū)間．
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),是連續(xù)單調(diào)函數(shù)，
且
，
∴函數(shù)的零點(diǎn)一定位于區(qū)間.
故選:C．
6. 設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別求得的取值范圍，即可求解.
【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，
，即，
又由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以.
故選：A.
7. 函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示，將該函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的一半（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象確定的值，可得函數(shù)解析式，根據(jù)圖象的伸縮平移變換可得變換后的函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合其性質(zhì)即可求得答案.
【詳解】由圖象可知函數(shù)的最小正周期為，
又，故，由于，故，
所以，
將該函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的一半（縱坐標(biāo)不變），
再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象，
因?yàn)樵搱D像圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即為奇函數(shù)，
故，則，
而，則的最小值為，
故選：C
8. 已知函數(shù)，若的最小值為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式及對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)確定在上的單調(diào)性和最值，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)及最小值列不等式組求參數(shù)范圍.
【詳解】由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，在上遞減，在上遞增，且，
由在上遞減，在上遞增，
又的最小值為，故且，
綜上，.
故選：A
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列三角式中，值為1的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】對(duì)A、B、C三個(gè)選項(xiàng)都套用2倍角公式計(jì)算即可，D選項(xiàng)直接計(jì)算就可選出答案.
【詳解】A選項(xiàng),，故正確.
B選項(xiàng)，，故正確.
C選項(xiàng)，，故正確.
D選項(xiàng)，，故錯(cuò)誤
故選：ABC
10. 已知，且，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】AB選項(xiàng)，兩邊平方得到，再結(jié)合得到，，得到AB正確；先求出的平方，結(jié)合角的范圍求出的值.
詳解】AB選項(xiàng)，兩邊平方得，，
即，所以，B正確，
因?yàn)?，所以，故，所以，A正確；
CD選項(xiàng)，，
因?yàn)?，，所以?br>故，C錯(cuò)誤，D正確.
故選：ABD
11. 已知是函數(shù)的圖象與直線的兩個(gè)交點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B. 的定義域?yàn)?br>C. 在區(qū)間單調(diào)遞增
D. 的圖象的對(duì)稱中心為點(diǎn)
【答案】AD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)周期性判斷即可；BD選項(xiàng)利用整體代入的方法求定義域和對(duì)稱中心即可；C選項(xiàng)，利用代入檢驗(yàn)法判斷單調(diào)性.
【詳解】因?yàn)槭呛瘮?shù)的圖象與直線的交點(diǎn)，所以的最小值為函數(shù)的最小正周期，，所以，故A正確；
令，解得，所以的定義域?yàn)?，故B錯(cuò)；
因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上不單調(diào)，所以函數(shù)在上不單調(diào)，故C錯(cuò)；
令，解得，所以的對(duì)稱中心為點(diǎn)，，故D正確.
故選：AD.
12. 設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù)，例如．令函數(shù)，以下結(jié)論正確的有（ ）
A.
B.
C. 的最大值為1，最小值為0
D. 與的圖象有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)
【答案】BD
【解析】
【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，代入計(jì)算出；B選項(xiàng)，根據(jù)定義得到，B正確；C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)得到的周期為1，并得到當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，得到最值；D選項(xiàng)，畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合得到交點(diǎn)個(gè)數(shù).
【詳解】對(duì)于A，由題意得，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，故B正確；
對(duì)于C，由選項(xiàng)B可知，是周期為1的周期函數(shù)，
則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
綜上，的值域?yàn)?，即的最小值?，無最大值，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由選項(xiàng)C，可知，且的周期為1，
作出與的圖象，
如圖所示，由圖象可知與的圖象有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)，故D正確，
故選：BD．
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知函數(shù)是冪函數(shù)，則_________.
【答案】8
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求出參數(shù)，得到函數(shù)解析式再求值即得.
【詳解】函數(shù)是冪函數(shù)，∴ 所以.
故答案為：.
14. 已知扇形的周長(zhǎng)是，面積是，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是___________.
【答案】或##或
【解析】
【分析】設(shè)扇形半徑為，圓心角弧度數(shù)為，根據(jù)扇形的周長(zhǎng)、面積公式得到，求解即可.
【詳解】設(shè)扇形半徑為，圓心角弧度數(shù)為，
由題意得，解得或，
所以扇形的圓心角的弧度數(shù)是或.
故答案為：或
15. 已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，，請(qǐng)寫出滿足條件的一個(gè)______（答案不唯一）．
【答案】1,（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)所給條件分析函數(shù)為偶函數(shù)，取特殊函數(shù)可得答案.
【詳解】令，則，
又，
所以，即，
所以函數(shù)為偶函數(shù)，
不妨取偶函數(shù)，則，
也可取，則，滿足題意.
故答案為：,（答案不唯一）
16. 已知，，則______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用正弦的和差公式及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系計(jì)算即可
【詳解】由題意可知
，
即，
由題意可知，
則.
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角恒等變換化簡(jiǎn)求值問題需要注意已知角與未知角的關(guān)系，利用合理的配湊即可處理.本題已知及與的關(guān)系，所以構(gòu)造，利用整體思想湊出未知式計(jì)算即可.
四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知為角終邊上一點(diǎn).
（1）求和的值；
（2）求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得結(jié)果；
（2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)為齊次式，結(jié)合即可得結(jié)果.
【小問1詳解】
由三角函數(shù)的定義可得，；
【小問2詳解】
利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)
.
18. 已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．
（1）求在R上的解析式；
（2）判斷的單調(diào)性，并解不等式．
【答案】18.
19. 或
【解析】
【分析】（1）由題意根據(jù)奇函數(shù)的定義以及當(dāng)時(shí)，，可以求出當(dāng)時(shí)的表達(dá)式，從而即可進(jìn)一步求解.
（2）首先根據(jù)時(shí)，單調(diào)遞增，從而得到在上是單調(diào)增函數(shù)，再結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)即可將表達(dá)式等價(jià)轉(zhuǎn)換，解一元二次不等式即可得解.
【小問1詳解】
設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以，即?br>又，所以，
所以；
【小問2詳解】
時(shí)，單調(diào)遞增，
又因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，
所以在上是單調(diào)增函數(shù)，
不等式可化為，
所以，即，解得或.
所以不等式的解集為或.
19. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）在下列三個(gè)條件中，選擇一個(gè)作為已知，使得實(shí)數(shù)的值唯一確定，并求函數(shù)在上的最小值．
條件①：的最大值為；
條件②：的一個(gè)對(duì)稱中心為；
條件③：的一條對(duì)稱軸為．
【答案】（1）
（2）條件選擇見解析，答案見解析
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期；
（2）選①，利用函數(shù)的最大值求出的值，由求出的取值范圍，再利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求出在上的最小值；選②，根據(jù)函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心坐標(biāo)求出的值，由求出的取值范圍，再利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求出在上的最小值；選③，根據(jù)函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程可知，不確定.
【小問1詳解】
解：因?yàn)?br>，
故函數(shù)的最小正周期為.
【小問2詳解】
解：選①，，解得，則，
當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，即；
選②，因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為，
則，解得，所以，，
當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，即；
選③，因?yàn)楹瘮?shù)的一條對(duì)稱軸為直線，的值無法確定.
綜上所述，選①，函數(shù)在上的最小值為；
選②，函數(shù)在上的最小值為；
選③，的值不確定.
20. 深圳別稱“鵬城”，“深圳之光”摩天輪是中國(guó)之眼．游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色，摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120米，轉(zhuǎn)盤直徑為110米，當(dāng)游客坐上“深圳之光”摩天輪的座艙開始計(jì)時(shí)．開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30分鐘．開始轉(zhuǎn)動(dòng)t分鐘后距離地面的高度為米．
（1）經(jīng)過t分鐘后游客距離地面的高度為H米，已知H關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式滿足（其中，，），求摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的解析式；
（2）若游客在距離地面至少92.5米高度能夠獲得最佳視覺效果，請(qǐng)問摩天輪在運(yùn)行一周的過程中，游客能有多長(zhǎng)時(shí)間有最佳視覺效果？
【答案】（1）
（2）分鐘
【解析】
【分析】（1）根據(jù)最高、最低點(diǎn)距離地面高度計(jì)算出，根據(jù)轉(zhuǎn)一周的時(shí)間計(jì)算出，再結(jié)合初始位置計(jì)算出，由此可求；
（2）化簡(jiǎn)，根據(jù)，求解出的范圍，由此可知結(jié)果.
【小問1詳解】
由題意可知：摩天輪最高點(diǎn)距離地面，最低點(diǎn)距離地面，所以，所以，
又因?yàn)檗D(zhuǎn)一周大約需要，所以，
所以，
又因?yàn)椋郧?，所以?br>所以；
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>令，則，
又因?yàn)?，所以?br>所以，且分鐘，
故摩天輪在運(yùn)行一周的過程中，游客能有分鐘最佳視覺效果.
21 已知函數(shù).
（1）請(qǐng)用五點(diǎn)作圖法畫出函數(shù)在上的圖象；（先列表，后畫圖）
（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，試討論函數(shù)零點(diǎn)情況.
【答案】（1）答案見解析
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)五點(diǎn)作圖法列表畫圖；
（2）將的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后結(jié)合圖象分析即可.
【小問1詳解】
列表如下：
【小問2詳解】
令，則，由，則，
結(jié)合的圖象研究與公共點(diǎn)個(gè)數(shù).

（i），即，有4個(gè)公共點(diǎn)；
（ii），即，有5個(gè)公共點(diǎn)；
（iii），即，有4個(gè)公共點(diǎn)；
（iv），有2個(gè)公共點(diǎn)；
（v），無公共點(diǎn).
綜上，①或，有4個(gè)零點(diǎn)；
②，有5個(gè)零點(diǎn)；
③，有2個(gè)零點(diǎn)；
④，無零點(diǎn).
22. 已知函數(shù).
（1）判斷的奇偶性并求的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)（），若有唯一零點(diǎn)，求a的取值集合；
（3）若對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】（1）為偶函數(shù)，增區(qū)間為，減區(qū)間為
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性定義判斷奇偶性，利用單調(diào)性定義結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)求解單調(diào)區(qū)間；
（2）有唯一零點(diǎn)，即有唯一的解，可化為，由偶函數(shù)可知，化簡(jiǎn)計(jì)算可得結(jié)果；
（3）設(shè)，不等式等價(jià)為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，只需，求解即可得出結(jié)果.
【小問1詳解】
由題意可知的定義域?yàn)?，，則，
，所以，所以為偶函數(shù)；
任取，則，
因?yàn)?br>，
當(dāng)時(shí)，，，，
所以，所以，
所以在上單調(diào)遞增，
根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)知，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
【小問2詳解】
函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的解，
因?yàn)橛形ㄒ涣泓c(diǎn)，所以方程有唯一的解，
因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以方程變形為，
因?yàn)楹瘮?shù)在上的單調(diào)遞增，所以，
平方化簡(jiǎn)得，
當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)方程有唯一解，
當(dāng)時(shí)，，解得，
綜上可知，a的取值集合為.
【小問3詳解】
設(shè)，則，
所以原命題等價(jià)于時(shí)，不等式恒成立，
令，
函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和，且開口向上，
要使時(shí)，不等式恒成立，
則，所以，即.
0
0
0
2
0
-2

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