注意事項(xiàng)：
1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.
3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1. 下列各式表述正確的是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系即可判斷每個(gè)式子的正誤，從而找到正確選項(xiàng)．
【詳解】表示集合中有一個(gè)元素是，，A錯(cuò)誤，
表示集合中有一個(gè)元素為，，B錯(cuò)誤，
表示自然數(shù)集，包含數(shù)，成立，C正確，
表示集合一個(gè)元素也沒(méi)有，，D錯(cuò)誤.
故選：C
本題考查集合的含義，以及元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.
2. 命題：“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正確答案】B
【分析】利用存在題詞命題的否定寫(xiě)出結(jié)果即可.
【詳解】命題：“，”是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，
所以命題：“，”的否定是：，.
故選：B
3. 設(shè)為實(shí)數(shù)，則““是”“的（ ）
A. 充要條件B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】D
【分析】分別舉出反例否定充分性和必要性，得到答案.
【詳解】取，，則，但，不具有充分性；
取，，則，但，不具有必要性；
故選：D.
4. 若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（ ）
A. 3B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念可得，然后結(jié)合單調(diào)性可得，進(jìn)而可以求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，則，解得或，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則，因此，
故選：B.
5. 已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)的圖像如圖，那么不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)圖像和的奇偶性可得答案.
【詳解】由圖可得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)
因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)
所以不等式的解集是
故選：C
6. 已知函數(shù)的定義域和值域分別為和，則函數(shù)的定義域和值域分別為．
A. 和B. 和C. 和D. 和
【正確答案】C
【詳解】∵函數(shù)定義域?yàn)?，∴，∴，∴的定義域?yàn)椋怯上蜃笃揭?個(gè)單位，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，故值域不變，其值域?yàn)?，故選C.
點(diǎn)睛：本題主要考查抽象函數(shù)的定義域和值域，要緊扣函數(shù)定義域的定義以及函數(shù)左右平移值域不變的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題；根據(jù)函數(shù)的定義域的定義，自變量的取值范圍為函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域?yàn)椋玫角蠼?，函?shù)左右平移值域不變，從而得到正確選項(xiàng).
7. 我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．根據(jù)以上推廣，則函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】，根據(jù)定義域得到，根據(jù)得到，得到對(duì)稱中心.
【詳解】，為奇函數(shù)，
定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故，，
，即，故，即對(duì)稱中心為.
故選：A.
8. 已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，且滿足對(duì)任意，都有，則的值是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】分析可知存在唯一的，使得，由已知可得，即，解方程，求出的值，可得出函數(shù)的解析式，然后代值計(jì)算可得的值.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則存在唯一的，使得，
對(duì)于方程，則，可得，
所以，函數(shù)在上是增函數(shù)，由，可得，，
因此，.
故選：C
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（ ）
①與； ②與；
③與； ④與.
A. ①B. ②C. ③D. ④
【正確答案】CD
【分析】求出函數(shù)的自變量的范圍并盡可能的化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再比較函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系和定義域是否都相同即可.
【詳解】①， ，
對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故與不為同一函數(shù)；
②的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋?br>定義域不同，故與不為同一函數(shù)；
③，，
對(duì)應(yīng)關(guān)系與定義域均相同，故為同一函數(shù)；
④與，
對(duì)應(yīng)關(guān)系和定義域均相同，故為同一函數(shù)．
故選：CD.
10. 若函數(shù)同時(shí)滿足：①對(duì)于定義域上的任意，恒有；②對(duì)于定義域上的任意，當(dāng)時(shí)，恒，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”．下列四個(gè)函數(shù)中能被稱為“理想函數(shù)”的是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】AB
【分析】根據(jù)①②知“理想函數(shù)”是定義域上的奇函數(shù)且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.
【詳解】由①知：為定義域上的奇函數(shù)；由②知：在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；
對(duì)于A，為上的奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，符合“理想函數(shù)”定義，A正確；
對(duì)于B，為上奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，符合“理想函數(shù)”定義，B正確；
對(duì)于C，為上的奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，不符合“理想函數(shù)”定義，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，是上的非奇非偶函數(shù)，不符合“理想函數(shù)”定義，D錯(cuò)誤.
故選：AB.
11. 若x∈A，則，稱A為“影子關(guān)系”集合．下列對(duì)集合的所有非空子集中是“影子關(guān)系”的集合敘述正確的是（ ）
A. 集合個(gè)數(shù)為7B. 集合個(gè)數(shù)為8
C. 含有1的集合個(gè)數(shù)為4D. 元素個(gè)數(shù)為2的集合有2個(gè)
【正確答案】ACD
【分析】利用“影子關(guān)系”集合的定義求解.
【詳解】集合的所有非空子集中是“影子關(guān)系”的集合有：
，
共7個(gè)，
含有1的集合個(gè)數(shù)為4，元素個(gè)數(shù)為2的集合有2個(gè)，
故選：ACD
12. 已知，，，下列命題中錯(cuò)誤的是（ ）
A. 的最小值為2
B. 若，則的最小值為
C. 若，則的最小值為10
D. 若，則的最小值為32
【正確答案】AC
【分析】利用基本不等式等號(hào)成立的條件判斷A；變形給定等式，再利用基本不等式求出最小值判斷B；變形所求最值的式子，再利用基本不等式求解判斷C；兩次利用基本不等式求解判斷D.
【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
而無(wú)解，即上述等號(hào)不成立，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由，得，則，
由，得，因此
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)，B正確；
對(duì)于C，由，得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由，得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，D正確.
故選：AC
選項(xiàng)D解題關(guān)鍵是兩次利用基本不等式，只需檢驗(yàn)兩次不等式等號(hào)成立的條件能否同時(shí)成立即可.
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分將答案填在題中橫線上）
13. 函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________
【正確答案】
【分析】由具體函數(shù)的定義域求解即可.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋海?br>解得：且.
故函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為.
14. 函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，且，則的取值范圍為_(kāi)_________.
【正確答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域和單調(diào)減函數(shù)的定義，可得，解不等式即可得出答案.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，且，
所以，解得.
故
15. 已知函數(shù)對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
【正確答案】
【分析】根據(jù)題意可知在上為增函數(shù)，令，那么問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上為增函數(shù)，且在上恒成立，討論是否為零，列出不等式求解即可.
【詳解】因?yàn)閷?duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有不等式成立，
所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，
令，則函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，且在上恒成立，
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵跁r(shí)，，不合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，則，解得：，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故
16. 若不等式有且只有兩個(gè)整數(shù)解，則這兩個(gè)整數(shù)解之和為_(kāi)_____，實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.
【正確答案】 ①. 3 ②.
分析】
計(jì)算該不等式，然后辨別兩個(gè)端點(diǎn)的大小并確定之間的整數(shù)，最后計(jì)算即可.
【詳解】
令
可得
由，所以
所以不等式的解集為
依題可知：不等式有且只有兩個(gè)整數(shù)解
所以這兩個(gè)整數(shù)解為：1，2
所以這兩個(gè)整數(shù)解之和為3
滿足，又，所以
故3，.
四、解答題（本大題共6小題共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17. （1）計(jì)算：；
（2）已知，求的值.
【正確答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算即可；
（2）把平方，結(jié)合即可求得，利用可得的值，代入所求的式子即可得答案．
【詳解】（1）
（2），所以，
，．
18. 已知函數(shù)f(x)＝x3(a＞0，且a≠1)．
（1）討論f(x)的奇偶性；
（2）求a的取值范圍，使f(x)＞0在定義域上恒成立．
【正確答案】（1）函數(shù)f(x)是偶函數(shù)（2）∈(1，＋∞)
【分析】（1）先求函數(shù)f(x)的定義域，再判斷f(－x)與f(x)是否相等即可得到結(jié)果；（2）由f(x)是偶函數(shù)可知只需討論x＞0時(shí)的情況，則有x3＞0，從而求得結(jié)果.
【詳解】（1）由于ax－1≠0，則ax≠1，得x≠0，
∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}．
對(duì)于定義域內(nèi)任意x，有
f(－x)＝(－x)3
＝(－x)3
＝(－x)3
＝x3＝f(x)，
∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù)．
（2）由（1）知f(x)為偶函數(shù)，
∴只需討論x＞0時(shí)的情況，當(dāng)x＞0時(shí)，要使f(x)＞0，
則x3＞0，
即＋＞0，
即＞0，則ax＞1.
又∵x＞0，∴a＞1.
∴當(dāng)a∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)＞0.
本題考查判斷函數(shù)奇偶性的方法和恒成立問(wèn)題，判斷函數(shù)的奇偶性先求定義域，再判斷f(－x)與f(x)是否相等或者互為相反數(shù)，相等即為偶函數(shù)，互為相反數(shù)則為奇函數(shù)，屬中檔題.
19. 設(shè)函數(shù)，函數(shù)，
（1）求函數(shù)的值域；
（2）若對(duì)于任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（）把函數(shù)化簡(jiǎn)為，利用基本不等式，即可得到函數(shù)的值域；
（）由題意，求得函數(shù)的值域，使得，列出不等式組，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍．
【小問(wèn)1詳解】
，，
當(dāng)時(shí)：有，
當(dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)，取等號(hào)；
當(dāng)時(shí)：有，
當(dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)，取等號(hào)，
又因?yàn)?，所以，所以?br>當(dāng)時(shí)，，
綜上：，所以的值域?yàn)?
【小問(wèn)2詳解】
∵，，
，∵，∴在上單調(diào)遞增，
∵，∴，
要使題設(shè)成立，則成立，
∴，解得：，
∴.
20. 某公司生產(chǎn)某種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元，已知總收入R（單位：元）關(guān)于月產(chǎn)量x（單位：臺(tái)）滿足函數(shù)
（1）將利潤(rùn)P（單位：元）表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)；
（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？（總收入=總成本+利潤(rùn)）
【正確答案】（1）
（2）當(dāng)月產(chǎn)量為300臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大，最大值為.
【分析】（1）分和兩種情況，求出函數(shù)解析式；
（2）在（1）基礎(chǔ)上，分和，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求出最大值，得到結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故；
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，
綜上，當(dāng)月產(chǎn)量為300臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大，最大值為.
21. 若非零函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)均有，且當(dāng)時(shí)
（1）求證：；
（2）求證：為R上的減函數(shù)；
（3）當(dāng)時(shí)， 對(duì)時(shí)恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.
【分析】（1）通過(guò)賦值法求得，然后令，利用“時(shí)，”這一條件，可證得.（2）令，通過(guò)賦值法得，根據(jù)（1）的結(jié)論可得，由此證得函數(shù)為減函數(shù).（3）通過(guò)賦值法求得，將題目所給不等式右邊變形為后，利用函數(shù)的單調(diào)性可區(qū)間函數(shù)符號(hào)，變?yōu)橐辉尾坏仁皆趨^(qū)間上恒成立的問(wèn)題來(lái)解決.
【詳解】(1)證明：證法1：令y＝0得f(0)·f(x)＝f(x)即f(x)[f(0)－1]＝0，又f(x)≠0，∴f(0)＝1.
當(dāng)x1，－x>0.
f(x)·f(－x)＝f(0)＝1，則．故對(duì)于x∈R恒有f(x)>0.
證法2:.∵f(x)為非零函數(shù)，∴f(x)>0.
(2)證明：令x1>x2且x1，x2∈R，
有f(x1)·f(x2－x1)＝f(x2)，又x2－x11，故，又f(x)>0.
∴f(x2)>f(x1)．故f(x)為R上的減函數(shù)．
(3)f(4)＝＝f(2＋2)＝f2(2)?f(2)＝，則原不等式可變形為f(x2－2ax＋2)≤f(2)，
依題意有x2－2ax≥0對(duì)a∈[－1,1]恒成立．
∴∴x≥2或x≤－2或x＝0.
故實(shí)數(shù)x的取值范圍為(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．
本小題主要考查抽象函數(shù)單調(diào)的證明，考查利用抽象函數(shù)單調(diào)性解決不等式恒成立問(wèn)題.屬于中檔題.
22. 已知函數(shù)，．
（1）討論的單調(diào)性（只要求寫(xiě)出正確結(jié)論）
（2）若函數(shù)在上最小值為12，求實(shí)數(shù)的值．
【正確答案】（1）答案見(jiàn)解析；
（2）或.
【分析】（1）結(jié)合含參數(shù)的二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類討論即可求出結(jié)果；
（2）結(jié)合含參數(shù)的二次函數(shù)的最值進(jìn)行分類討論即可求出結(jié)果；
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋?br>（1）若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
所以，解得或（舍）;
（2）若，即時(shí)，則，
得，解得（舍），（舍）
（3）若時(shí)， ，所以
解得或（舍），
綜上：或.

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