命題人：郭衛(wèi)華 審題人：李建微
時(shí)間：120分鐘；滿分：150分
一、填空題（本題滿分54分，共有12題，1-6每題4分，7-12每題5分）
1. 直線的傾斜角為______.
【答案】
【解析】
【分析】直線的一般方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程，求出直線的斜率即可求得傾斜角.
【詳解】，，直線傾斜角為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查直線的傾斜角，屬于基礎(chǔ)題.
2. 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，直接求出關(guān)于坐標(biāo)面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)作答.
【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故答案為：
3. 直線過點(diǎn)，且與向量垂直，則直線的方程為______.
【答案】
【解析】
【分析】依題意可得直線的斜率，再由點(diǎn)斜式求出直線方程.
【詳解】因直線過點(diǎn)，且與向量垂直，
則直線的斜率，
所以直線的方程為，即.
故答案為：.
4. 在長(zhǎng)方體中，與棱所在直線異面垂直的棱有______條．
【答案】4
【解析】
【分析】結(jié)合圖形由長(zhǎng)方體的性質(zhì)求解即可
【詳解】在長(zhǎng)方體中，
因?yàn)槠矫妫矫?，平面，平面?br>所以，
因?yàn)榫c異面，
所以與棱所在直線異面垂直的棱有，共4條，
故答案為：4
5. 已知直線與直線的夾角為，則實(shí)數(shù)______.
【答案】或
【解析】
【分析】設(shè)兩直線夾角為，可得，分和兩種情況，結(jié)合直線的夾角公式運(yùn)算求解即可.
【詳解】設(shè)直線與直線的夾角為，
則，可得，，
設(shè)直線的傾斜角為，則，
設(shè)直線的傾斜角為，
若，則直線即為，可知，
可得，，符合題意；
若，則，
因?yàn)?，可得?br>即，解得或（舍去）；
綜上所述：或.
故答案為：或.
6. 如圖，三棱柱中，、分別是、的中點(diǎn)，設(shè)，，，則等于______.

【答案】
【解析】
【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.
【詳解】因?yàn)槿庵校?、分別是、的中點(diǎn)，
且，，，
所以，
故答案為：.
7. 某個(gè)比賽中甲乙兩人通過初賽的概率分別為和，兩人獨(dú)立參加初賽，其中恰有一人通過的概率是______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件與互斥事件的概率公式即可求解.
【詳解】恰好有一人通過的概率為，
故答案為：
8. 建平中學(xué)“9.30”活動(dòng)需要4個(gè)不同節(jié)目的志愿者服務(wù)隊(duì)，有7名志愿者被分配到這4個(gè)服務(wù)隊(duì)，7人中有5名高二學(xué)生和2名高一學(xué)生，1名高一學(xué)生至少需要1名高二學(xué)生進(jìn)行工作的傳授，每個(gè)服務(wù)隊(duì)至少需要1名高二學(xué)生，且2名高一學(xué)生不能分配到同一個(gè)服務(wù)隊(duì)，則不同的分配方案種數(shù)是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先把5名高二學(xué)生分為人數(shù)為的四組，再分到4個(gè)不同節(jié)目的志愿者服務(wù)隊(duì)，然后把2名高一學(xué)生分配到4個(gè)不同節(jié)目的志愿者服務(wù)隊(duì)中的2個(gè)，由乘法原理計(jì)算可得．
【詳解】根據(jù)題意，可先把5名高二學(xué)生分為人數(shù)為的四組，再分到4個(gè)不同節(jié)目的志愿者服務(wù)隊(duì)，共有種分法，
然后把2名高一學(xué)生分配到4個(gè)不同節(jié)目的志愿者服務(wù)隊(duì)中的2個(gè)，有種分法，
所以共有種不同的分配方案.
故答案為：
9. 我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”. 事實(shí)上很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：與相關(guān)的代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得方程的解是______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為，可知點(diǎn)在橢圓，即可求解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為，
則點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)和點(diǎn)為焦點(diǎn)，以的橢圓，
故，
故橢圓方程為，
所以點(diǎn)在橢圓上，
則，解得.
故答案為：.
10. 已知，兩個(gè)不同平面，給出下列四個(gè)條件：
①存在一條直線，，；
②存在一個(gè)平面，，；
③存在兩條異面直線，，，，，；
④存在兩條平行直線，，，，，.
其中可以推出的是______.
【答案】①③
【解析】
【分析】利用線面垂直的性質(zhì)可知①符合題意；舉反例知②不符合題意；利用異面直線以及線面平行的性質(zhì)可知③符合題意.由線面平行的性質(zhì)即可得，可能相交，可知④不符合題意；
【詳解】對(duì)于①，當(dāng)，不平行時(shí)，不存在直線與，都垂直，
，，故①正確；
對(duì)于②,存在一個(gè)平面，使得，；則，相交或平行（比如墻角處的三個(gè)互相垂直的平面），所以②不正確；
對(duì)于③,由，，，，所以存在過直線的平面，使得，且，即有，因?yàn)椋莾蓷l異面直線，所以相交，同時(shí)，所以可以推出，故③正確，
如圖所示：
對(duì)于④，存在兩條平行直線，，，，，，則，相交或平行，比如：若直線，同時(shí)平行于與的交線，此時(shí)，是相交的（如下圖所示），不能推出；所以④不正確；
故答案為 ：①③
11. 已知、是空間相互垂直的單位向量，且，，則的最小值是______.
【答案】4
【解析】
【分析】利用坐標(biāo)法，根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量線性運(yùn)算，不等式思想即可求解．
【詳解】是空間相互垂直的單位向量，
設(shè)，，設(shè)，
又，，
又，
，
，其中，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，
的最小值是4．
故答案為：4．
12. 一只蜜蜂從蜂房出發(fā)向右爬，每次只能爬向右側(cè)相鄰的兩個(gè)蜂房(如圖)，例如:從蜂房只能爬到1號(hào)或2號(hào)蜂房，從1號(hào)蜂房只能爬到2號(hào)或3號(hào)蜂房此類推，用表示蜜蜂爬到號(hào)蜂房的方法數(shù).設(shè)集合，集合是集合的非空子集，則中所有元素之和為奇數(shù)的概率為________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，得到數(shù)列滿足，求得在偶數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)為項(xiàng)，得到中有的非空子集，以及中所有元素之和為奇數(shù)的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.
【詳解】由題意知，該蜜蜂爬到1號(hào)蜂房的路線數(shù)為1，第2號(hào)蜂房的路線數(shù)為2，第3號(hào)蜂房的路線數(shù)為3，第4號(hào)蜂房的路線數(shù)為5，第5號(hào)蜂房的路線數(shù)為8，，
則第號(hào)蜂房的路線數(shù)為，
所以，
即數(shù)列為，其中為偶數(shù)，
所以在偶數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)為項(xiàng)，
又由，可得中有的非空子集，
若中元素之和為奇數(shù)，則中的奇數(shù)共有奇數(shù)個(gè)，偶數(shù)可以隨意，
所以滿足條件的的個(gè)數(shù)為：
，
所以中所有元素之和為奇數(shù)的概率為.
故答案為：.
二、選擇題（本題滿分18分，共有4題，13-14每題4分，15-16每題5分）
13. 已知，若三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)的值等于（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知存在，使得，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算列式求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?，，且，，三向量共面?br>可知存在，使得，即，
則，解得.
故選：A
14. 在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝a．點(diǎn)E為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，又作DF⊥PB交PB于點(diǎn)F．則PB與平面EFD所成角為
A 30°B. 45°C. 60°D. 90°
【答案】D
【解析】
【詳解】試題分析：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
D為坐標(biāo)原點(diǎn)．P（0，0，a），B（a，a，0），
=（a，a，-a），又=（0，，），
?=0+?=0，
∴PB⊥DE．
由已知DF⊥PB，又DF∩DE=D，
∴PB⊥平面EFD，
∴PB與平面EFD所成角為90°
考點(diǎn)：直線與平面所成的角
15. 有5張相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)字，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1張卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的數(shù)字為2”，表示事件“第一次取出的卡片上的數(shù)字為奇數(shù)”，表示事件“兩次取出的卡片上的數(shù)字之和為6”，表示事件“兩次取出的卡片上的數(shù)字之和為”，則（ ）
A. 與為對(duì)立事件B. 與為相互獨(dú)立事件
C. 與為相互獨(dú)立事件D. 與為互斥事件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的定義即可判斷AD；根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義結(jié)合古典概型公式進(jìn)行計(jì)算，即可判斷BC.
【詳解】由題意，與互斥但不對(duì)立，故A錯(cuò)；
事件有共種，則，
事件有共種，則，
其中事件有共種，事件有共種，
，
則，所以與相互獨(dú)立，故B對(duì)；
，所以與不獨(dú)立，故C錯(cuò)；
因?yàn)榕c可同時(shí)發(fā)生，所以與不互斥，故D錯(cuò).
故選：B.
16. 上師大附中閔分-寶分高二年級(jí)進(jìn)行籃球比賽，甲、乙、丙、丁四個(gè)班級(jí)進(jìn)入半決賽.規(guī)定首先甲與乙比、丙與丁比，這兩場(chǎng)比賽的勝利者再爭(zhēng)奪冠軍.通過小組賽獲獎(jiǎng)統(tǒng)計(jì)估計(jì)出他們之間相互獲勝的概率如下：則甲奪冠的概率為（ ）
A. 0.15B. 0.162C. 0.3D. 0.25
【答案】B
【解析】
【分析】分丙、丁的輸贏情況，結(jié)合獨(dú)立事件的乘法公式與全概率公式即可得解.
【詳解】設(shè)為甲贏乙的概率，為甲贏丙的概率，為甲贏丁的概率，
分別為丙贏丁和丁贏丙的概率，為甲奪冠的概率，
則
故選：B.
三、解答題（本題滿分78分，共有5題，解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟）
17. 建平中學(xué)在迎新春活動(dòng)中進(jìn)行抽卡活動(dòng)，不透明的卡箱中共有“福”“迎“春”卡各兩張，“龍”卡三張.每個(gè)同學(xué)從卡箱中隨機(jī)抽取張卡片，其中抽到“龍”卡獲得分，抽到其他卡均獲得分.
（1）求學(xué)生甲最終獲得分的不同的抽法種數(shù)；
（2）求學(xué)生乙最終獲得分的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依題意學(xué)生甲需抽中張“龍”卡和張其他卡，利用組合數(shù)公式計(jì)算可得；
（2）學(xué)生乙需要抽中張“龍”卡和張其他卡，即可求出學(xué)生乙的不同的抽法種數(shù)，再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得.
【小問1詳解】
學(xué)生甲最終獲得分，則需抽中張“龍”卡和張其他卡，
則不同的抽法種數(shù)為種.
【小問2詳解】
學(xué)生乙最終獲得分，則需要抽中張“龍”卡和張其他卡，不同的抽法種數(shù)為種，
而從張卡片中抽取張卡片一共有種取法，
所以學(xué)生乙最終獲得分的概率.
18. 已知直線：；：.
（1）若，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距相等，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)直線一般式中平行滿足的系數(shù)關(guān)系，即可列式子求解，
（2）分別求解軸上的截距，根據(jù)相等列方程求解即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，滿足，解得，
【小問2詳解】
由題意可知，故，
令，則，
令，則，
故，解得或
19. 如圖，“復(fù)興”橋?yàn)槿诵刑鞓颍渲黧w結(jié)構(gòu)是由兩根等長(zhǎng)的半圓型主梁和四根豎直的立柱吊起一塊圓環(huán)狀的橋面．主梁在橋面上方相交于點(diǎn)S且它們所在的平面互相垂直，S在橋面上的射影為橋面的中心O．主梁連接橋面大圓，立柱連接主梁和橋面小圓，地面有4條可以通往橋面的上行步道．設(shè)CD為其中的一根立柱，A為主梁與橋面大圓的連接點(diǎn)．
（1）求證：平面SOA；
（2）設(shè)AB為經(jīng)過A的一條步道，其長(zhǎng)度為12米且與地面所成角的大小為30°．橋面小圓與大圓的半徑之比為，當(dāng)橋面大圓半徑為20米時(shí)，求點(diǎn)C到地面的距離．
【答案】（1）證明過程見詳解
（2）米
【解析】
【分析】(1)根據(jù)題意可知：，利用線面平行的判定即可證明；
(2)根據(jù)題意利用勾股定理先求出點(diǎn)C到橋面的距離，再求出底面到橋面的距離，最后相加即可求解.
【小問1詳解】
由題意可知：橋面，橋面，所以，
平面，平面，所以CD∥平面.
【小問2詳解】
作出其中一個(gè)主梁的軸截面，連接，
由題意可知：，因?yàn)闃蛎嫘A與大圓的半徑之比為，
也即，所以，
在中，，
所以點(diǎn)C到橋面的距離為米，
又因?yàn)锳B為經(jīng)過A的一條步道，其長(zhǎng)度為12米且與地面所成角的大小為30°，
所以地面到橋面的距離為，
故點(diǎn)C到地面的距離為米.
20. 一束光從光源射出，經(jīng)軸反射后（反射點(diǎn)為），射到線段上處．
（1）若，求光從出發(fā)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)所走過的路程；
（2）若，求反射光的斜率的取值范圍；
（3）若，求光從出發(fā)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)所走過的最短路程．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則光所走過的路程為；
（2）根據(jù) ，可得反射光斜率的取值范圍；
（3）當(dāng)?shù)臋M坐標(biāo)，光所走過的最短路程為點(diǎn)到直線的距離．當(dāng)?shù)臋M坐標(biāo)，光所走過的最短路程為點(diǎn)．
【小問1詳解】
關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，，
由 ，則此時(shí)，
所以光所走過的路程即．
【小問2詳解】
對(duì)于線段，令其端點(diǎn)，
則，
所以反射光斜率的取值范圍是．
【小問3詳解】
若反射光與直線垂直，則由．
①當(dāng)，即時(shí)，光所走過的最短路程為點(diǎn)到直線的距離，
所以路程．
②當(dāng)，即時(shí)，光所走過的最短路程為線段，其中，
所以．
綜上：．
21. 柯西是一位偉大的法國(guó)數(shù)學(xué)家，許多數(shù)學(xué)定理和結(jié)論都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在數(shù)學(xué)的眾多分支中有精彩應(yīng)用，柯西不等式的一般形式為：設(shè)，，，…，，，，，…，，，當(dāng)且僅當(dāng)（）或存在一個(gè)數(shù)，使得（）時(shí)，等號(hào)成立.
（1）請(qǐng)你寫出柯西不等式的二元形式；
（2）設(shè)是棱長(zhǎng)為的正四面體內(nèi)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)到四個(gè)面的距離分別為、、、，求的最小值；
（3）已知無(wú)窮正數(shù)數(shù)列滿足：①存在，使得（）；②對(duì)任意正整數(shù)、（），均有.求證：對(duì)任意，，恒有.
【答案】（1）答案見解析
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用柯西不等式的定義，寫出時(shí)的形式；
（2）由體積法求出，構(gòu)造柯西不等式求的最小值；
（3）時(shí)，由，有，由柯西不等式得，進(jìn)而可得.
【小問1詳解】
柯西不等式的二元形式為：
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
【小問2詳解】
由正四面體的體積，
將正四面體放入到棱長(zhǎng)為為正方體中，
則,
得，所以，
又由柯西不等式得
，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
所以的最小值為.
【小問3詳解】
對(duì)，記是的一個(gè)排列，
且滿足,
由條件②得：.
于是，對(duì)任意的，
都有，
由柯西不等式得
，
所以
，
從而，對(duì)任意，，恒有，
因?yàn)閷?duì)任意，，，
所以，對(duì)任意，，恒有，
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：遇到新定義問題一定要準(zhǔn)確理解題目的定義，按照新定義交代的性質(zhì)或者運(yùn)算規(guī)律來解題．
第一、準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化．解決新信息問題，一定要理解題目定義的本質(zhì)含義，緊扣題目所給的定義、運(yùn)算法則對(duì)所求問題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化．
第二、方法的選取．對(duì)新信息題可以采取一般到特殊的特例法，從邏輯推理的角度進(jìn)行轉(zhuǎn)化，理解題目定義的本質(zhì)并進(jìn)行推廣、運(yùn)算．
第三、應(yīng)該仔細(xì)審讀題目．嚴(yán)格按新信息的要求運(yùn)算．解答問題時(shí)要避免課本知識(shí)或者已有知識(shí)對(duì)新信息問題的干擾．甲
乙
丙
丁
甲
0.3
0.3
0.7
乙
0.7
0.6
0.3
丙
0.7
0.4
0.4
丁
0.3
0.7
0.6

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