10．已知直線是拋物線的準線，拋物線的頂點為原點，焦點為，若為上一點，與的對稱軸交于點，在中，，則的值為 .
11．閱讀材料：空間直角坐標系中，過點且一個法向量為的平面的方程為．
閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為 .
12．在三棱錐中，，且，則二面角的余弦值的最小值為 .
二、選擇題（本大題共4題，滿分18分.其中第13-14題4分，第15-16題5分）.
13．數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心，重心，垂心位于同一條直線上，這條直線稱為三角形歐拉線.已知的頂點坐標為，則歐拉線的方程為（ ）.
A． B．
C． D．
14．沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時．如圖，某沙漏由上下兩個圓道組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm，細沙全部在上部，其高度為圓錐高度的（細管長度忽略不計）.假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下的沙，則該沙漏的一個沙時大約是（ ）（.
A．1895秒 B．1896秒
C．1985秒 D．2528秒
15．如圖，在棱長為1正方體中，點為棱的中點，則由三點所確定的平面截該正方體所得截面的面積為（ ）.
A． B．
C． D．
16．已知函數(shù)的圖象恰為橢圓軸上方的部分，若，成等比數(shù)列，則平面上點的軌跡是（ ）.
A．線段（不包含端點） B．橢圓一部分
C．雙曲線一部分 D．線段（不包含端點）和雙曲線一部分
三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）.
17．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分
如圖，長方體中，，點為的中點．
（1）求證：直線平面；
（2）求異面直線與所成角的大?。?br>18．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分
已知圓，直線．
（1）證明：不論取什么實數(shù)，直線與圓恒相交于兩點；
（2）直線能否將圓分割成弧長的比值為的兩段圓?。繛槭裁?？
19．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分
已知雙曲線的左，右焦點分別為．
（1）若的實軸長為2，焦距為4，求的漸近線方程：
（2）已知是雙曲線的左支上一點，）.當周長最小時，求的面積．
20．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分
如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，平面平面．
（1）求證：；
（2）求證：為直角三角形；
（3）若，求四棱棱的體積．

21．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題的①滿分6分，第2小題的②滿分8分
已知為拋物線的焦點，過點的直線與拋物線相交于（）兩點．
（1）證明：是常數(shù)；
（2）過點作直線的垂線與拋物線的準線相交于點，與拋物線相交于兩點（點的橫坐標小于點的橫坐標）.
①求的值；
②是否存在最小值？若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由．
復(fù)興中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期高二年級數(shù)學(xué)期末
2025.1
一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）
1．直線的傾斜角為 .
【答案】
2．平行于同一平面的兩直線的位置可能是 .
【答案】平行或相交或異面
3．已知圓錐的母線與底面所成角為，高為1，則該圓錐的母線長為 .
【答案】
4．經(jīng)過點且與圓相切的直線方程是 .
【答案】
5．一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為，則此球表面積為 .
【答案】
6．如圖，在長方體中，棱，，則直線到平面的距離為 .
【答案】
7．已知平行直線和的距離為，則 .
【答案】6或8
8．已知雙曲線，若橢圓以雙曲線的頂點為焦點，長軸長為，則橢圓的標準方程為 .
【答案】
9．如圖，是底面半徑為的圓柱側(cè)面上兩點，它們在底面上的射影分別為，若，弧，則沿圓柱側(cè)面從到的最短距離是 .
【答案】
10．已知直線是拋物線的準線，拋物線的頂點為原點，焦點為，若為上一點，與的對稱軸交于點，在中，，則的值為 .
【答案】
11．閱讀材料：空間直角坐標系中，過點且一個法向量為的平面的方程為．
閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為 .
【答案】0
【解析】平面的方程為，可得平面的法向量為，
平面的法向量為的法向量為，
設(shè)直線的方向向量為，則，即，
令，則，設(shè)直線與平面所成角，
則，所以直線與平面所成角的正弦值為0．
12．在三棱錐中，，且，則二面角的余弦值的最小值為 .
【答案】
【解析】因為，所以，點的軌跡方程為（橢球），
又因為，所以點A的軌跡方程為，（雙曲線的一支）．
過點作，而面，所以面，
設(shè)為中點，則二面角為，直角坐標系內(nèi)
設(shè)點為焦點，則點的軌跡為橢圓方程為，
點的軌跡為雙曲線一支方程為，
過點作交于點，連接，將面沿直線折成二面角，
則為二面角的平面角．
設(shè)點橫坐標為，則，則，
于是可得：
由于，得．
二、選擇題（本大題共4題，滿分18分.其中第13-14題4分，第15-16題5分）.
13．數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心，重心，垂心位于同一條直線上，這條直線稱為三角形歐拉線.已知的頂點坐標為，則歐拉線的方程為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
14．沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時．如圖，某沙漏由上下兩個圓道組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm，細沙全部在上部，其高度為圓錐高度的（細管長度忽略不計）.假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下的沙，則該沙漏的一個沙時大約是（ ）（.
A．1895秒 B．1896秒
C．1985秒 D．2528秒
【答案】C
15．如圖，在棱長為1正方體中，點為棱的中點，則由三點所確定的平面截該正方體所得截面的面積為（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
16．已知函數(shù)的圖象恰為橢圓軸上方的部分，若，成等比數(shù)列，則平面上點的軌跡是（ ）.
A．線段（不包含端點） B．橢圓一部分
C．雙曲線一部分 D．線段（不包含端點）和雙曲線一部分
【答案】A
【解析】因為函數(shù)的圖象恰為橢圓軸上方的部分，
所以，因為成等比數(shù)列，
所以有，且有成立，
即成立，
由，
化簡得：，或，
當時，即，因為，所以平面上點（）的軌跡是線段（不包含端點）；
當時，即，因為，所以，
而，所以不成立，故選：A
三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）.
17．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分
如圖，長方體中，，點為的中點．
（1）求證：直線平面；
（2）求異面直線與所成角的大小．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】（1）證明：設(shè)和交于點，則為的中點，連結(jié)，又∵是的中點，∴，
又∵平面平面直線平面．
（2）由（1）知：，∴為異面直線與所成的角（或其補角）
∵且，
∴，即異面直線與所成角的大小為．
18．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分
已知圓，直線．
（1）證明：不論取什么實數(shù)，直線與圓恒相交于兩點；
（2）直線能否將圓分割成弧長的比值為的兩段圓??？為什么？
【答案】（1）見解析 （2）能，理由見解析
【解析】（1）直線，即，
由，解得，故直線過定點，
又因為，故點在圓內(nèi)，則直線與圓C恒相交兩點，
（2）設(shè)直線與圓C相交于，假設(shè)直線能將圓C分割成弧長的比值為的兩段圓弧，則圓心角，即點C到直線的距離為化簡得，所以，所以存在直線滿足題意.
（或者利用此時，此時即過垂直于的直線滿足題意）
19．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分
已知雙曲線的左，右焦點分別為．
（1）若的實軸長為2，焦距為4，求的漸近線方程：
（2）已知是雙曲線的左支上一點，）.當周長最小時，求的面積．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）令雙曲線的半焦距為，依題意，，由，得，
則，所以雙曲線的漸近線方程為．
（2）由雙曲線的定義可得，
所以的周長為，
由于為定值，要使的周長最小，則應(yīng)使最小為，
即點在線段上∵，所以直線的方程為：，
即，將其代入，解得或（舍去），因此點.所以
20．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分
如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，平面平面．
（1）求證：；
（2）求證：為直角三角形；
（3）若，求四棱棱的體積．
【答案】（1）見解析 （2）見解析 （3）
【解析】（1）證明：作為垂足，在等腰梯形ABCD中，設(shè)，
所以，
故，所以，所以
（2）因為，平面平面，平面平面平面，平面平面∵平面
平面平面，∴，即為直角三角形
（3）由（1）知在等腰梯形ABCD中，，∴，
又平面為直角三角形，
∴，
而．
21．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題的①滿分6分，第2小題的②滿分8分
已知為拋物線的焦點，過點的直線與拋物線相交于（）兩點．
（1）證明：是常數(shù)；
（2）過點作直線的垂線與拋物線的準線相交于點，與拋物線相交于兩點（點的橫坐標小于點的橫坐標）.
①求的值；
②是否存在最小值？若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）見解析 （2）① ②存在，最小值為48.
【解析】（1）由已知，點的坐標為，且可設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，消去，得，
因為，
所以為方程（＊）的兩個實根，且，
因為點在拋物線上，所以，為常數(shù)．
（2）在題設(shè)條件下，直線都不與坐標軸平行且，
由（1）可知直線的方程為：，
①因為拋物線的準線方程為，代入的方程可得點的坐標為，
由（1）可知，，
因此，分）
即．
另解：設(shè)在準線上的射影分別為，則
由拋物線定義可知，又，則Rt則，
同理，可得則
②存在最小值，
設(shè)點的坐標分別為，
因為點均在拋物線上，所以，
由，有，即，
變形可得，則，
同理，分）
根據(jù)拋物線的定義可知，
，
所以
由（＊＊）知，，即，
當且僅當時?。ⅲ?，，當且僅當時?。ⅲ?br>由題設(shè)，，所以，
所以，
由題意可知，同時成立，
此時，取得最小值，
故存在最小值，最小值為48.
另解：存在最小值，
假設(shè)直線的傾斜角為，根據(jù)題意可設(shè)，如圖，設(shè)點在軸上的射影為點，
拋物線的準線與軸相交于點，
根據(jù)拋物線的定義，由題設(shè)點的位置可知
同理可得，，
所以
令，
則，（15分）
由，可得，易知函數(shù)為增函數(shù)，
所以，上式中，當且僅當，即時（此時）等號成立，所以，，
所以，存在最小值48，該最小值當且僅當時取得．（18分）
另法：不妨設(shè)，如圖直線為
,
由于顯然
直線為，同理可得
則
顯然，而函數(shù)在上為嚴格增函數(shù)
則即時，

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