本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.
2.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)為（）
A. B. C. D.
2. 拋物線的準(zhǔn)線方程是（）
A. B. C. D.
3. 已知，則（）
A. B.
C. D.
4. 如圖，在四面體中，點(diǎn)為底面三角形的重心，為的中點(diǎn)，設(shè)，，則在基底下的有序?qū)崝?shù)組為（）
A. B. C. D.
5. 已知終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）
A. B. C. D.
6. 設(shè)分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，若，且，則的離心率為（）
AB. C. D.
7. 有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得.若為線段的中點(diǎn)，且，則該半正多面體外接球的表面積為（）
A. B. C. D.
8. 十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家皮埃爾?德?費(fèi)馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個三角形的三個頂點(diǎn)的距離之和最小”.它的答案是：當(dāng)三角形的三個角均小于時，即該點(diǎn)與三角形的三個頂點(diǎn)的連線兩兩成角；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于時，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn)，在費(fèi)馬問題中，所求點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn).已知在中，，是的角平分線，交于，滿足若為的費(fèi)馬點(diǎn)，則（）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)在單調(diào)遞減，且，則下列選項(xiàng)滿足的是（）
A. B. C. D.
10. 函數(shù)部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 點(diǎn)是圖像的對稱中心
B. 直線是圖像的對稱軸
C. 的圖像向右平移個單位長度得的圖像
D. 在區(qū)間上單調(diào)遞減
11. 已知直線截圓所得的弦長為，點(diǎn)在圓上，且直線過定點(diǎn)，若，為的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）
A. 點(diǎn)坐標(biāo)為
B. 當(dāng)直線與直線平行時，
C. 動點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓
D. 的取值范圍為
12. 在一個圓錐中，為圓錐的頂點(diǎn)，為圓錐底面圓的圓心，為線段的中點(diǎn)，為底面圓的直徑，是底面圓的內(nèi)接正三角形，，則下列說法正確的是（）
A. 平面
B. 在圓錐的側(cè)面上，點(diǎn)A到的中點(diǎn)的最短距離為
C. 二面角的余弦值為
D. 記直線與過點(diǎn)的平面所成角為，當(dāng)時，平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓或部分橢圓
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知，若，則的坐標(biāo)是__________.
14. 若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
15. 已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不存在對稱軸，則最大值是__________.
16. 如圖，已知直線是之間的一個定點(diǎn)，點(diǎn)到的距離分別為是直線上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，平面內(nèi)動點(diǎn)滿足，則面積的最小值是__________.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
（1）求的方程；
（2）求的角平分線所在直線的方程.
18. 已知橢圓的一個焦點(diǎn)為，且離心率為.
（1）求的方程；
（2）過作直線與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的方程.
19. 如圖，已知棱長為4的正方體為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，且面.
（1）求證：四點(diǎn)共面，并確定點(diǎn)位置；
（2）求異面直線與之間的距離；
（3）作出經(jīng)過點(diǎn)截面（不需說明理由，直接注明點(diǎn)的位置），并求出該截面的周長.
20. 在中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足.
（1）求；
（2）若，點(diǎn)在線段上且滿足，當(dāng)取最小值時，求的值.
21. 如圖①，在矩形中，為邊的中點(diǎn).將沿翻折至，連接，得到四棱錐（如圖②），為棱的中點(diǎn).
（1）求證：面，并求的長；
（2）若，棱上存在動點(diǎn)（除端點(diǎn)外），求直線與面所成角的正弦值的取值范圍.
22. 已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.
（1）求標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)不與漸近線平行的動直線與雙曲線有且只有一個公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)，試探究：在焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸上是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
遼寧省名校聯(lián)盟2023年高二12月份聯(lián)合考試
數(shù)學(xué)
本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.
2.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義求得.
【詳解】由題得，
所以的共軛復(fù)數(shù)為.
故選：B
2. 拋物線的準(zhǔn)線方程是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】結(jié)合拋物線的準(zhǔn)線方程求解即可.
【詳解】由題知拋物線,所以，故拋物線的準(zhǔn)線方程為.
故選：A.
3. 已知，則（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)，對數(shù)相應(yīng)的值可得，，從而可求解.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，故C項(xiàng)正確，
故選：C.
4. 如圖，在四面體中，點(diǎn)為底面三角形的重心，為的中點(diǎn)，設(shè)，，則在基底下的有序?qū)崝?shù)組為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.
【詳解】取的中點(diǎn)，連接.由重心的性質(zhì)可知，且三點(diǎn)共線.
因?yàn)?，所?所以在基底下的有序?qū)崝?shù)組為.
故選：
5. 已知終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)的終邊經(jīng)過點(diǎn)，利用三角函數(shù)終邊知識從而可求解
【詳解】由題意得，
故.又因?yàn)椋?br>所以，所以，所以，所以，故D項(xiàng)正確.
故選:D.
6. 設(shè)分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，若，且，則的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)，中，由余弦定理得與的關(guān)系，中，由余弦定理得與的關(guān)系，可求的離心率.
【詳解】如圖，設(shè)，則.
由橢圓定義可得，
則在中，由余弦定理得:
，
即，解得，則.
在中，由余弦定理得，
又，所以，所以離心率.
故選：A.
7. 有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得.若為線段的中點(diǎn)，且，則該半正多面體外接球的表面積為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用割補(bǔ)法將此多面體補(bǔ)成正方體，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)幾何關(guān)系，從而可求解.
【詳解】將半正多面體補(bǔ)成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
令正方體的棱長為，則，
所以，所以，解得，
則正方體的棱長為.令該半正多面體外接球的半徑為，即，則外接球的表面積為.故C項(xiàng)正確.
故選：C.
8. 十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家皮埃爾?德?費(fèi)馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個三角形的三個頂點(diǎn)的距離之和最小”.它的答案是：當(dāng)三角形的三個角均小于時，即該點(diǎn)與三角形的三個頂點(diǎn)的連線兩兩成角；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于時，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn)，在費(fèi)馬問題中，所求點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn).已知在中，，是的角平分線，交于，滿足若為的費(fèi)馬點(diǎn)，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】應(yīng)用角平分線的性質(zhì)及等面積法及數(shù)量積即可求解.
【詳解】在中，，
由是的角平分線，交于，
設(shè)到兩邊的距離為，
則，
故.
已知的三個內(nèi)角均小于，則點(diǎn)與的三個頂點(diǎn)的連線兩兩成角，
所以.，
所以，
所以
.
故選：D.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)在單調(diào)遞減，且，則下列選項(xiàng)滿足的是（）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由分類討論，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)求出不等式的解集，然后判斷各選項(xiàng)．
【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且在單調(diào)遞減，且，
所以，且在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，，不滿足題意；
當(dāng)時，由，可得，所以；
當(dāng)時，由，可得，所以.
綜上，的解集為.
故選:.
10. 函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 點(diǎn)是圖像的對稱中心
B. 直線是圖像的對稱軸
C. 的圖像向右平移個單位長度得的圖像
D. 在區(qū)間上單調(diào)遞減
【答案】ABD
【解析】
【分析】由圖象結(jié)合五點(diǎn)法求出函數(shù)解析式，然后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行檢驗(yàn)．
【詳解】由題意可知，解得，所以，解得.
將代入中，得，
解得，因?yàn)?，所以?dāng)時，，所以.
對于A項(xiàng)，，所以點(diǎn)是圖像的對稱中心，故A項(xiàng)正確；
對于B項(xiàng)，，所以直線是圖像對稱軸，故B項(xiàng)正確；
對于C項(xiàng)，的圖像向右平移個單位長度得的圖像，故C項(xiàng)錯誤；
對于D項(xiàng)，當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D項(xiàng)正確.
故選：ABD
11. 已知直線截圓所得的弦長為，點(diǎn)在圓上，且直線過定點(diǎn)，若，為的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）
A. 點(diǎn)坐標(biāo)為
B. 當(dāng)直線與直線平行時，
C. 動點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓
D. 的取值范圍為
【答案】ABD
【解析】
【分析】由直線過定點(diǎn)的求法參變分離，即可列式求解得出定點(diǎn)判斷A；由兩直線平行時斜率的關(guān)系列式得出判斷B，注意驗(yàn)證一下，避免兩直線重合；通過圓弦長的幾何求法列式得出半徑，設(shè)出所求點(diǎn)，因?yàn)橹苯侨切涡边吷系闹芯€等于斜邊的一半得出，即可通過圓弦長的幾何求法列式代入值化簡得出軌跡方程，即可判斷C；通過圓上點(diǎn)到定點(diǎn)距離的范圍求法得出的取值范圍，即可通過得出的取值范圍判斷D.
【詳解】對于A，因?yàn)橹本€，可化為，
由，解得，
所以過定點(diǎn)，故A正確；
對于B，當(dāng)直線與直線平行時，因?yàn)橹本€的斜率為，
所以直線的斜率也為時，
則，解得：，
此時，即與直線平行，故B項(xiàng)正確；
對于C，圓心到直線的距離為，
則，解得，
設(shè)的中點(diǎn)為，
，為的中點(diǎn)，
，
點(diǎn)在圓上，
，，
，
即，化簡可得，
所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故C錯誤；
對于D，點(diǎn)到圓心的距離為，在圓內(nèi)，
的取值范圍為，
取值范圍為，故D項(xiàng)正確.
故選：ABD.
12. 在一個圓錐中，為圓錐的頂點(diǎn)，為圓錐底面圓的圓心，為線段的中點(diǎn)，為底面圓的直徑，是底面圓的內(nèi)接正三角形，，則下列說法正確的是（）
A. 平面
B. 在圓錐的側(cè)面上，點(diǎn)A到的中點(diǎn)的最短距離為
C. 二面角的余弦值為
D. 記直線與過點(diǎn)的平面所成角為，當(dāng)時，平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓或部分橢圓
【答案】BD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，假設(shè)平面，由線面平行的性質(zhì)得到線線平行，但不與平行，所以假設(shè)不成立，A錯誤；B選項(xiàng)，將側(cè)面鋪平展開，在平面內(nèi)得到最短距離；C選項(xiàng)，先求出四面體為正四面體，作出輔助線，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出答案；D選項(xiàng)，設(shè)圓錐的軸截面頂角，得到，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性得到，從而得到答案.
【詳解】對于A項(xiàng)，假設(shè)平面，因?yàn)槠矫妫矫嫫矫妫?br>所以，
由題意得不與平行，所以假設(shè)不成立，則不平行平面，故項(xiàng)錯誤；
對于項(xiàng)，將側(cè)面鋪平展開得，
因?yàn)?，所以?br>故，，
底面圓周長，所以，
則，所以點(diǎn)A到中點(diǎn)的最短距離為，
在等邊三角形中，，故B項(xiàng)正確；
對于C項(xiàng)，因?yàn)椋?，則，
所以，所以，同理，
又，
所以四面體為正四面體，
取的中點(diǎn)，連接，則⊥，⊥，
則即為二面角的大小，
其中，
由余弦定理得，
即二面角的余弦值為，故C項(xiàng)錯誤；
對于D項(xiàng)，設(shè)圓錐的軸截面頂角，則，
由題意得，
因?yàn)椋裕?br>又在上單調(diào)遞減，
故，此時平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓或部分橢圓，D正確.
故選：.
【點(diǎn)睛】在空間中，用一個垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線是一個圓，
用一個不垂直軸的平面截圓錐，當(dāng)截面與圓錐的軸的夾角不同時，可以得到不同的截口曲線，設(shè)圓錐的軸截面半頂角為，
當(dāng)時，截口曲線為橢圓，
當(dāng)時，截口曲線為拋物線，
當(dāng)時，截口曲線為雙曲線
如圖所示：
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知，若，則的坐標(biāo)是__________.
【答案】
【解析】
【分析】應(yīng)用空間向量數(shù)乘即向量相等即可.
【詳解】因?yàn)?，設(shè)
則，
所以，
則，
即.
故答案為：
14. 若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】將問題轉(zhuǎn)換成與的圖像交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合得到答案.
【詳解】
函數(shù)有兩個零點(diǎn)，即與的圖像有兩個交點(diǎn).
令，作出與的大致圖像如圖所示，
由圖可知，則，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
15. 已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不存在對稱軸，則的最大值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由正弦函數(shù)性質(zhì)及已知條件建立不等式組即可
【詳解】因?yàn)?，且，所以?br>因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)不存在對稱軸，所以，
解得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng)時，不成立，即，
故答案為：.
16. 如圖，已知直線是之間的一個定點(diǎn)，點(diǎn)到的距離分別為是直線上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，平面內(nèi)動點(diǎn)滿足，則面積的最小值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，先由平面向量運(yùn)算得到；表示出，再由幾何關(guān)系得到，最后由三角函數(shù)二倍角公式和取值范圍得到最值.
【詳解】由，得.
取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，有，
則.
設(shè)，由于，，而，
則，由，，得，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
此時的面積的最小值為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量和基本不等式的計算. 取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，先由平面向量運(yùn)算得到；表示出，再由幾何關(guān)系得到，最后由三角函數(shù)二倍角公式和取值范圍得到最值.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
（1）求的方程；
（2）求的角平分線所在直線的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量關(guān)系求出點(diǎn)A坐標(biāo)，代入拋物線方程可得；
（2）求出直線BF，AF的方程，設(shè)為的角平分線所在直線上任一點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，所以，
設(shè)，則，解得.
因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，
所以，所以.
【小問2詳解】
由（1）知，所以直線的方程為，
又，所以直線的方程為，即.
由拋物線的圖形知，的角平分線所在直線的斜率為正數(shù).
設(shè)為的角平分線所在直線上任一點(diǎn)，
則有，
若，得，
其斜率為負(fù)，不合題意，舍去.
所以，即，
所以的角平分線所在直線的方程為.
18. 已知橢圓的一個焦點(diǎn)為，且離心率為.
（1）求的方程；
（2）過作直線與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的方程.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1））由離心率和焦點(diǎn)坐標(biāo)即可求得的方程.
（2）設(shè)出直線方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)求出直線的方程.
【小問1詳解】
由已知得，離心率，
得，
則的方程為.
【小問2詳解】
由題可知，若面積存在，則斜率不為0，
所以設(shè)直線的方程為顯然存在，
，
聯(lián)立消去得，
因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以顯然成立，
且，
因?yàn)?
，
化簡得，
解得或（舍），
所以直線的方程為或.
19. 如圖，已知棱長為4的正方體為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，且面.
（1）求證：四點(diǎn)共面，并確定點(diǎn)位置；
（2）求異面直線與之間的距離；
（3）作出經(jīng)過點(diǎn)的截面（不需說明理由，直接注明點(diǎn)的位置），并求出該截面的周長.
【答案】（1）為的中點(diǎn).證明見解析
（2）
（3）截面位置見解析，
【解析】
【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)定理得到四點(diǎn)共面，進(jìn)而確定F的位置；
（2）證明同時垂直于兩條異面直線，并求出長度即可；
（3）在線段上分別取點(diǎn)，使得，連接點(diǎn)，畫出四邊形即為所求，并求出周長.
【小問1詳解】
證明：因?yàn)槊婷妫?br>面面，
所以，所以四點(diǎn)共面.
又，所以為中點(diǎn).
【小問2詳解】
連接，
因?yàn)槊婷?，所以?br>因?yàn)椋裕?br>又，
所以面，
又面，所以.
所以線段即為異面直線與之間的距離，
易得，
即異面直線與之間的距離為.
【小問3詳解】
如圖，在線段上分別取點(diǎn)，
使得，連接點(diǎn)，則四邊形即為所求.
又，
所以該截面的周長為.
20. 在中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足.
（1）求；
（2）若，點(diǎn)在線段上且滿足，當(dāng)取最小值時，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，化簡得到，得到，求得，即可求解.
（2）由正弦定理求得，根據(jù)，利用向量的線性運(yùn)算法則和數(shù)量積的運(yùn)算公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【小問1詳解】
由題得，
由正弦定理得，
又由，可得，
所以，
即，
因?yàn)?，可得，所以，即?br>因?yàn)?，所以?br>所以，故，
【小問2詳解】
中，由正弦定理得，即，
解得，則，
因?yàn)椋?br>由余弦定理得
，
所以當(dāng)時，取到最小值.
21. 如圖①，在矩形中，為邊的中點(diǎn).將沿翻折至，連接，得到四棱錐（如圖②），為棱的中點(diǎn).
（1）求證：面，并求的長；
（2）若，棱上存在動點(diǎn)（除端點(diǎn)外），求直線與面所成角的正弦值的取值范圍.
【答案】（1），證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用線面平行即可求證，然后利用勾股定理可求出的長；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解直線與平面的夾角，并結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，從而求解.
【小問1詳解】
證明：取的中點(diǎn)，連接，如下圖，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，
所以且.
又且，所以，，
所以四邊形為平行四邊形，所以.
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面.
在中，，所以.
【小問2詳解】
取的中點(diǎn)，連接，易得.
在中，，且，
則，即.
因?yàn)槊妫?br>所以面.
取的中點(diǎn)，連接，則，
以為原點(diǎn)，方向分別為軸的正方向，建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，
設(shè)，
則有，
所以.
因?yàn)椋?br>設(shè)平面的一個法向量，
則取，可得.
設(shè)與平面所成角為，
則.
設(shè)，所以，
因?yàn)椋驗(yàn)椋裕?br>所以，所以.
即與平面所成角的正弦值的取值范圍為.
22. 已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)不與漸近線平行的動直線與雙曲線有且只有一個公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)，試探究：在焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸上是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）存在定點(diǎn)，坐標(biāo)為.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)即可求解，
（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用判別式為0得，進(jìn)而可得坐標(biāo)，即可根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系代入求解.
【小問1詳解】
由題可得漸近線方程為，即，
則右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，
又，
所以，
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
由題可得直線的斜率顯然存在且，
設(shè)直線的方程為，則，
聯(lián)立消去整理得，
由設(shè)直線與雙曲線有且只有一個公共點(diǎn)且，
可知，即.
令，則，
代入直線方程得，即.
假設(shè)以為直徑的圓上存在定點(diǎn)，
令，則，
即恒成立，
即，
所以，
令 且，則
當(dāng)時恒成立，所以在焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸上存在定點(diǎn)，坐標(biāo)為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法
（1）引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點(diǎn).
（2）特殊到一般法：先根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).
技巧：若直線方程為,則直線過定點(diǎn);
若直線方程為 (為定值),則直線過定點(diǎn)

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