注意事項：
1.本試卷共4頁分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.
2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上.
3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1. ，則（）
AB. 2C. D. 6
2. 曲線在點處的切線方程是（）
A. B.
C. D.
3. 已知函數(shù)在，上為增函數(shù)，在（1，2）上為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（）
A. B. C. D.
4. 已知，則的大小關(guān)系是（）
A. B.
C. D.
5. 已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）.
A. B.
C. D.
6. 已知函數(shù)（是的導函數(shù)），則（ ）
A. B. 1C. 2D.
7. 已知函數(shù)在上有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍為（）
A. B.
C. D.
8. 已知函數(shù)，若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.兩個選項的，部分選對的每一個得3分。三個選項的，部分選對的每一個得2分，有選錯的得0分.）
9. 在曲線上的切線的傾斜角為點的橫坐標可能為（）
A. B. C. D.
10. 已知函數(shù)（為常數(shù)），則下列結(jié)論正確的有（ ）
A時，恒成立
B. 時，無極值點
C. 若有3個零點，則的范圍為
D. 時，有唯一零點且
11. 已知函數(shù)及其導函數(shù)滿足，且，則（）
A. 在上單調(diào)遞增B. 在上有極小值
C. 的最小值為D. 的最小值為
三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 已知函數(shù)，則的最大值為_______．
13. 已知函數(shù)，關(guān)于x的方程有3個不同的解，則m的取值范圍是______.
14. 設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的最小值為______；若對任意，存在不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍是______．
四、解答題（本題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）
15. 已知函數(shù)．
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）直線為曲線的切線，且經(jīng)過原點，求直線的方程及切點坐標．
16已知函數(shù).
（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）若在上有解，求實數(shù)a的取值范圍.
17. 某小型玩具廠研發(fā)生產(chǎn)一種新型玩具，年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)千件需另投入3萬元，設(shè)該廠年內(nèi)共生產(chǎn)該新型玩具千件并全部銷售完，每千件銷售收入為萬元，且滿足函數(shù)關(guān)系：．
（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于該新型玩具年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；
（2）年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在此新型玩具的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？最大利潤為多少？
18. 已知函數(shù)在與時都取得極值.
（1）求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（2）求該函數(shù)在極值.
（3）設(shè)，若恒成立，求的取值范圍.
19. 已知函數(shù)．
（1）求曲線在處的切線并比較與的大小關(guān)系；
（2）記函數(shù)的極大值點為，已知表示不超過的最大整數(shù)，求．
新泰中學2022級高二下學期第一次階段性考試
數(shù)學試題
注意事項：
1.本試卷共4頁分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.
2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上.
3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1. ，則（）
A. B. 2C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)導數(shù)的定義，結(jié)合導數(shù)的計算，可得答案.
【詳解】∵，，∴.
故選：C.
2. 曲線在點處的切線方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得函數(shù)的導數(shù)，將代入可得切線方程的斜率，再用點斜式即可得出答案.
【詳解】因為，所以，
又因為曲線過點，
由點斜式可得，化簡可得，
所以切線方程是，
故選：A.
3. 已知函數(shù)在，上為增函數(shù)，在（1，2）上為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求導得到，然后根據(jù)在，上為增函數(shù)，在（1，2）上為減函數(shù)，由求解即得.
【詳解】由，得，
∵在，上為增函數(shù)；上為減函數(shù),
∴兩根分別位于和中，
得，即，解得.
故選：B
4. 已知，則的大小關(guān)系是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：由正弦函數(shù)的單調(diào)性得出，再設(shè)，由其導數(shù)得出單調(diào)性，即可由得出，即，即可得出答案；
方法二：由正弦函數(shù)的單調(diào)性得出，再由為中間值得出，，，即，即可得出答案.
【詳解】方法一：因為在上單調(diào)遞增，
所以.
設(shè)，則，
當時，，
所以再上單調(diào)遞增，
所以，
所以，即，
所以.
綜上，得，故選：B.
方法二：因為在上單調(diào)遞增，
所以.
又.
綜上，得，故選：B.
故選：B.
5. 已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由的圖象得到的單調(diào)性，從而得到的正負，即可得解.
【詳解】由的圖象可知，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則當時，時，時，
所以不等式的解集為.
故選：A
6. 已知函數(shù)（是的導函數(shù)），則（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】先對函數(shù)求導，代入，求出的值，進而求解的值即可.
【詳解】因為
所以定義域為.
所以
當時，，，則
故選：A
7. 已知函數(shù)在上有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由可得，令，則直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】因為函數(shù)在上有兩個極值點，
所以在上有兩個變號零點，
因為，令，即，可得．
令，則，
令，得，令，得，
所以，函數(shù)在上遞增，在上遞減，
因為，，，如下圖所示：
當時，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，
設(shè)兩個交點的橫坐標分別為、，且，
由圖可知，當或時，，此時，，
當時，，此時，，
所以，函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，
此時，函數(shù)有兩個極值點，合乎題意.
因此，實數(shù)的取值范圍為.
故選：B.
8. 已知函數(shù)，若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）
AB.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)，原不等式等價于.構(gòu)造函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，可得不等式在上恒成立，利用分離參數(shù)法可得在上恒成立，結(jié)合導數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)求出即可.
詳解】設(shè)，
，
等價于，即，
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則不等式在上恒成立，
即不等式在上恒成立，令，
則，令，令，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，且，
所以，解得，
即實數(shù)a的取值范圍為.
故選：D.
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.兩個選項的，部分選對的每一個得3分。三個選項的，部分選對的每一個得2分，有選錯的得0分.）
9. 在曲線上的切線的傾斜角為點的橫坐標可能為（）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用導數(shù)的幾何意義即可.
【詳解】切線的斜率，設(shè)切點為，則，
又，所以，所以，，當時，，故AD正確.
故選：AD
10. 已知函數(shù)（為常數(shù)），則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 時，恒成立
B. 時，無極值點
C. 若有3個零點，則的范圍為
D. 時，有唯一零點且
【答案】BCD
【解析】
【分析】對于AB：將和代入，判斷函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性求極值最值即可求解；對于C：將問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求單調(diào)性和極值，然后畫圖求解；對于D：利用零點存在定理求解.
【詳解】對于A：當時，，則，令，
則，所以時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，，
所以在上單調(diào)遞增，又，A錯誤；
對于B：當時，，，令，
則，所以時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，所以，
所以在上單調(diào)遞增，無極值，B正確；
對于C：令，當時，顯然，
則，記，則
當或時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
且，當和時，，函數(shù)圖象如下：
所以若有3個零點，則的范圍為，C正確；
對于D：當時，，則，令，
則，當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
所以，所以所以在上單調(diào)遞增，
又，，
由零點存在定理可得有唯一零點且，D正確；
故選：BCD.
11. 已知函數(shù)及其導函數(shù)滿足，且，則（）
A. 在上單調(diào)遞增B. 在上有極小值
C. 的最小值為D. 的最小值為
【答案】AB
【解析】
【分析】由已知等式變形可得出，設(shè)（為常數(shù)），根據(jù)題中條件求出的值，可求出的解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系可判斷A選項；利用函數(shù)的極值與導數(shù)的關(guān)系可判斷B選項；利用函數(shù)的最值與導數(shù)的關(guān)系可判斷CD選項.
【詳解】因為函數(shù)及其導函數(shù)滿足，
則，即，
令（為常數(shù)），所以，，
因為，可得，所以，，
對于A選項，當時，，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，A對；
對于B選項，由可得，且，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，函數(shù)在上有極小值，B對；
對于C選項，令，其中，則，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，，C錯；
對于D選項，，令，可得，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，，D錯.
故選：AB.
三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 已知函數(shù)，則最大值為_______．
【答案】
【解析】
【分析】求導得出函數(shù)在上的單調(diào)性，即可求得的最大值為.
【詳解】由可得，
令可得，
又，所以，
當時，，此時在上單調(diào)遞減，
當時，，此時在上單調(diào)遞增；
易知，；
因此的最大值為.
故答案為：
13. 已知函數(shù)，關(guān)于x的方程有3個不同的解，則m的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用導數(shù)法研究函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的圖象及函數(shù)圖象的平移變換，進而可得函數(shù)的圖象，將方程有3個不同的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象的有個不同交點即可求解.
【詳解】由題意可知，方程有3個不同的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象的有個不同交點.
當時，，
由，即，解得，
由，即，解得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當時，取的極大值為；
作出與的大致圖象，如圖所示.
由圖可知，要使函數(shù)與圖象的有個不同交點，只需要.
所以m的取值范圍是.
故答案為：.
14. 設(shè)函數(shù)，則函數(shù)最小值為______；若對任意，存在不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，求最小值；令，，問題轉(zhuǎn)化為，利用導數(shù)和基本不等式求兩個函數(shù)最小值即可.
【詳解】的導數(shù)為，
則時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，
可得在處取得極小值，且為最小值；
令，，
又對任意，存在，
有恒成立，即恒成立，即；
時，，當且僅當時取得最小值2，
，，
則時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，
可得在處取得極小值，且為最小值；
所以，由，可得．
所以的取值范圍是.
【點睛】方法點睛：
不等式恒成立問題，構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.
四、解答題（本題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）
15. 已知函數(shù)．
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）直線為曲線的切線，且經(jīng)過原點，求直線的方程及切點坐標．
【答案】（1）
（2），切點為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解即可；
（2）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線方程，再將原點代入即可求解.
【小問1詳解】
由，得，
所以，
所以曲線在點處的切線方程為，即.
【小問2詳解】
設(shè)切點為，由（1）得，
所以切線方程為，
因為切線經(jīng)過原點，
所以，
所以，．
則，
所以所求的切線方程為，切點為．
16. 已知函數(shù).
（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）若在上有解，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，無極大值
（2）
【解析】
【分析】（1）利用導數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后由極值的定義求解即可；
（2）分和兩種情況分析求解，當時，不等式變形為在，上有解，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解的最小值，即可得到答案．
【小問1詳解】
當時，，所以
當時；當時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當時函數(shù)有極小值，無極大值.
【小問2詳解】
因為在上有解，
所以在上有解，
當時，不等式成立，此時，
當時在上有解，
令，則
由（1）知時，即，
當時；當時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當時，，所以，
綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是.
【點睛】利用導數(shù)研究不等式恒成立問題或有解問題的策略為：通常構(gòu)造新函數(shù)或參變量分離，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值從而求得參數(shù)的取值范圍．
17. 某小型玩具廠研發(fā)生產(chǎn)一種新型玩具，年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)千件需另投入3萬元，設(shè)該廠年內(nèi)共生產(chǎn)該新型玩具千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為萬元，且滿足函數(shù)關(guān)系：．
（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于該新型玩具年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；
（2）年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在此新型玩具的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？最大利潤為多少？
【答案】（1）（2）9千件；38.6萬元
【解析】
【分析】（1）由G(x)等于銷售收入減去成本求解即可；（2）求導判斷函數(shù)單調(diào)性求最值即可
【詳解】（1）依題意，（）
（2）由（1）得，令，得.
∴當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減.
∴當時，有.
即當年產(chǎn)量為9千件時，該廠在該商品生產(chǎn)中獲得的年利潤最大且最大值為38.6萬元
【點睛】本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，考查函數(shù)的最值，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題
18. 已知函數(shù)在與時都取得極值.
（1）求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（2）求該函數(shù)在的極值.
（3）設(shè)，若恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1），增區(qū)間，減區(qū)間
（2）極大值是，極小值是
（3）或
【解析】
【分析】（1）求導，根據(jù)極值點是導函數(shù)的零點列方程求解，然后根據(jù)導函數(shù)的正負確定單調(diào)性；
（2）先確定單調(diào)性，再確定極值即可；
（3）先根據(jù)單調(diào)性求最值，然后將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值求解即可.
【小問1詳解】
由已知，由于在與時都取得極值，
所以，解得，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，
所以是的極大值，是的極小值.
所以，單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間；
【小問2詳解】
，
由（1）得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間上，
極大值是，
極小值是；
【小問3詳解】
由（1）可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又，，
所以在區(qū)間上最大值是，
在區(qū)間上恒成立，
所以，，解得或.
19. 已知函數(shù)．
（1）求曲線在處的切線并比較與的大小關(guān)系；
（2）記函數(shù)的極大值點為，已知表示不超過的最大整數(shù)，求．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求切線的斜率，根據(jù)點斜式方程求切線方程；
（2）利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定其最大值的表達式，再利用導數(shù)求其最大值的范圍，由此可求整數(shù)m的值．
【小問1詳解】
由題得，切點為，
因為，所以．
故所求切線為
又
當時，，所以；
當時，，所以
綜上，．
【小問2詳解】
因為
所以
令，得或
因為在上單增，
故在有根，可知在上增，上減，在上增
所以，的極大值點為且且．
故
所以，故．

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