2.1 一次方程（組）
☆☆☆ 代表必考點(diǎn)，☆☆代表常考點(diǎn)，☆星表示選考點(diǎn)。
夯實(shí)基礎(chǔ)
考點(diǎn)1. 一元一次方程的解法及解的應(yīng)用
1.等式的基本性質(zhì)
性質(zhì)1：等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式。
性質(zhì)2：等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能是零），所得結(jié)果仍是等式。
要點(diǎn)詮釋：（1）分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變。
（2）理解方程ax=b在不同條件下解的各種情況:
①a≠0時(shí)，方程有唯一解x＝b/a ；
②a=0，b=0時(shí)，方程有無(wú)數(shù)個(gè)解；
③a=0，b≠0時(shí)，方程無(wú)解。
2.解一元一次方程的一般步驟
（1）去分母。 在方程的兩邊都乘以各自分母的最小公倍數(shù)。去分母時(shí)不要漏乘不含分母的項(xiàng)。當(dāng)分母中含有小數(shù)時(shí)，先將小數(shù)化成整數(shù)。
（2）去括號(hào)。 括號(hào)前負(fù)號(hào)時(shí)，去掉括號(hào)時(shí)里面各項(xiàng)應(yīng)變號(hào)。
（3）移項(xiàng)。 把等式一邊的某項(xiàng)變號(hào)后移到另一邊，叫做移項(xiàng)。
（4）合并同類項(xiàng)。 把若干能合并的式子的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變，起到化簡(jiǎn)的作用。
（5）系數(shù)化為1，得出一元一次方程的解。
3.一元一次方程解的應(yīng)用
（1）使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。
（2）根據(jù)一元一次方程的解可以求代數(shù)式的值；根據(jù)一元一次方程的解可以求字母的值；根據(jù)一元一次方程的解可以解決其他問(wèn)題。
【易錯(cuò)點(diǎn)提示】
在解類似于“ax+bx＝c”的方程時(shí)，將方程左邊，按合并同類項(xiàng)的方法并為一項(xiàng)即（a+b）x＝c．使方程逐漸轉(zhuǎn)化為ax＝b的最簡(jiǎn)形式體現(xiàn)化歸思想．將ax＝b系數(shù)化為1時(shí)，要準(zhǔn)確計(jì)算，一弄清求x時(shí)，方程兩邊除以的是a還是b，尤其a為分?jǐn)?shù)時(shí)；二要準(zhǔn)確判斷符號(hào)，a、b同號(hào)x為正，a、b異號(hào)x為負(fù)．
考點(diǎn)2. 二元一次方程(組)及其解法
1. 二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次。方程一般
形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。
2．二元一次方程組：把兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成一個(gè)二元一次方程組。
3．二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做二元一次方程的
解。
4．二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解叫做二元一次方程組的解。
一般形式為
【溫馨提醒】二元一次方程組滿足三個(gè)條件：
①方程組中的兩個(gè)方程都是整式方程．
②方程組中共含有兩個(gè)未知數(shù)．
③每個(gè)方程都是一次方程．
5．二元一次方程組的解法：將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。消元，即將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。
（1）代入消元：將一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來(lái)，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，
進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法。
（2）加減消元法：當(dāng)兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，將兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，
就能消去這個(gè)未知數(shù)，這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法。
考點(diǎn)3. 二元一次方程(組)的實(shí)際應(yīng)用
1. 方程(組)的實(shí)際問(wèn)題
（1）銷售打折問(wèn)題：利潤(rùn)售價(jià)-成本價(jià)；利潤(rùn)率=×100％；售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣；銷售額=售價(jià)×數(shù)量．
（2）儲(chǔ)蓄利息問(wèn)題：利息=本金×利率×期數(shù)；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期數(shù))；貸款利息=貸款額×利率×期數(shù)．
（3）工程問(wèn)題：工作量=工作效率×工作時(shí)間．
（4）行程問(wèn)題：路程=速度×?xí)r間．
（5）相遇問(wèn)題：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及問(wèn)題一（同地不同時(shí)出發(fā)）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及問(wèn)題二（同時(shí)不同地出發(fā)）：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程．
（8）水中航行問(wèn)題：順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度．
（9）飛機(jī)航行問(wèn)題：順風(fēng)速度=靜風(fēng)速度+風(fēng)速度；逆風(fēng)速度=靜風(fēng)速度-風(fēng)速度．
（10）和差倍分問(wèn)題：增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率
（11）數(shù)字問(wèn)題：多位數(shù)的表示方法：例如：.
（12）其他問(wèn)題：探索尋找等量關(guān)系，構(gòu)造方程。
2. 解有關(guān)方程(組)的實(shí)際問(wèn)題的一般步驟
第1步：審題。認(rèn)真讀題，分析題中各個(gè)量之間的關(guān)系。
第2步：設(shè)未知數(shù)。根據(jù)題意及各個(gè)量的關(guān)系設(shè)未知數(shù)。
第3步：列方程(組)。根據(jù)題中各個(gè)量的關(guān)系列出方程(組)。
第4步：解方程(組)。根據(jù)方程(組)的類型采用相應(yīng)的解法。
第5步：檢驗(yàn)作答。檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義，并作答。
考點(diǎn)4. 列一次方程(組)解應(yīng)用題的常用分析
1. 由實(shí)際問(wèn)題列方程組：是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來(lái)，找出題目中的相等關(guān)系．
2. 所列方程必須滿足條件：
①方程兩邊表示的是同類量；
②同類量的單位要統(tǒng)一；
③方程的等號(hào)兩邊的數(shù)值要相符．
3. 找等量關(guān)系是列方程組的關(guān)鍵和難點(diǎn)，有如下規(guī)律和方法：
①確定應(yīng)用題的類型，按其一般規(guī)律方法找等量關(guān)系．
②將問(wèn)題中給出的條件按意思分割成兩個(gè)方面，有“；”時(shí)一般“；”前后各一層，分別找出兩個(gè)等量關(guān)系．
③借助表格提供信息的，按橫向或縱向去分別找等量關(guān)系．
④圖形問(wèn)題，分析圖形的長(zhǎng)、寬，從中找等量關(guān)系．
【易錯(cuò)點(diǎn)提示】
在列方程（組）實(shí)際問(wèn)題時(shí)，設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元．當(dāng)問(wèn)題較復(fù)雜時(shí)，有時(shí)設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元．無(wú)論怎樣設(shè)元，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就要列幾個(gè)方程．
考點(diǎn)1. 一元一次方程的解法及解的應(yīng)用
【例題1】（2023貴州）小明解方程﹣1＝的步驟如下：
解：方程兩邊同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①
去括號(hào)，得3x+3﹣1＝2x﹣2②
移項(xiàng)，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③
合并同類項(xiàng)，得x＝﹣4④
以上解題步驟中，開(kāi)始出錯(cuò)的一步是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】A
【解析】對(duì)題目的解題過(guò)程逐步分析，即可找出出錯(cuò)的步驟．
方程兩邊同乘6應(yīng)為：3（x+1）﹣6＝2（x﹣2），
∴出錯(cuò)的步驟為：①，故選：A．
本題考查解一元一次方程，解題關(guān)鍵在于能準(zhǔn)確觀察出出錯(cuò)的步驟．
【對(duì)點(diǎn)變式練1】（2024廣州一模）運(yùn)用等式性質(zhì)進(jìn)行的變形，正確的是（ ）
A．如果a=b，則a+c=b﹣c B．如果a2=3a，那么a=3
C．如果a=b，則= D．如果=，則a=b
【答案】D
【解析】A．根據(jù)等式性質(zhì)1，兩邊都加c，得到a+c=b+c，故A不正確；
B．因?yàn)楦鶕?jù)等式性質(zhì)2，a≠0，所以不正確；
C．因?yàn)閏必需不為0，所以不正確；
D．根據(jù)等式性質(zhì)2，兩邊都乘以c，得到a=b，所以D成立。
【對(duì)點(diǎn)變式練2】（2024百色一模）方程3x＝2x+7的解是（ ）
A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝7D．x＝﹣7
【答案】C
【解析】方程移項(xiàng)合并，即可求出解．
移項(xiàng)得：3x﹣2x＝7，
合并同類項(xiàng)得：x＝7．故選：C．
此題考查了解一元一次方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
【對(duì)點(diǎn)變式練3】（2024聊城一模）若﹣3＜a≤3，則關(guān)于x的方程x+a＝2解的取值范圍為（ ）
A．﹣1≤x＜5B．﹣1＜x≤1C．﹣1≤x＜1D．﹣1＜x≤5
【答案】A
【解析】x+a＝2，
x＝﹣a+2，
∵﹣3＜a≤3，
∴﹣3≤﹣a＜3，
∴﹣1≤﹣a+2＜5，
∴﹣1≤x＜5，故選：A．
【例題2】（2024福建?。┙衲晡覈?guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)開(kāi)局良好，市場(chǎng)銷售穩(wěn)定增長(zhǎng)，社會(huì)消費(fèi)增長(zhǎng)較快，第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額120327億元，比去年第一季度增長(zhǎng)，求去年第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額．若將去年第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額設(shè)為億元，則符合題意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本題主要考查了列一元一次方程，解題的關(guān)鍵是理解題意，找出等量關(guān)系，根據(jù)今年第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額120327億元，比去年第一季度增長(zhǎng)，列出方程即可．
將去年第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額設(shè)為億元，根據(jù)題意得：
，故選：A．
【對(duì)點(diǎn)變式練1】（2024棗莊一模）《算學(xué)啟蒙》是我國(guó)較早的數(shù)學(xué)著作之一，書(shū)中記載一道問(wèn)題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問(wèn)良馬幾何追及之？”題意是：快馬每天走240里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問(wèn)快馬幾天可以追上慢馬？若設(shè)快馬x天可以追上慢馬，則下列方程正確的是（ ）
A．240x+150x＝150×12B．240x﹣150x＝240×12
C．240x+150x＝240×12D．240x﹣150x＝150×12
【答案】D
【解析】利用路程＝速度×?xí)r間，結(jié)合x(chóng)天快馬比慢馬多走的路程為慢馬12天走的路程，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．
依題意得：240x﹣150x＝150×12．故選：D．
本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
【對(duì)點(diǎn)變式練2】（2023?陜西）小紅在一家文具店買(mǎi)了一種大筆記本4個(gè)和一種小筆記本6個(gè)，共用了62元．已知她買(mǎi)的這種大筆記本的單價(jià)比這種小筆記本的單價(jià)多3元，求該文具店中這種大筆記本的單價(jià)．
【答案】8元
【解析】設(shè)該文具店中這種大筆記本的單價(jià)是x元，根據(jù)買(mǎi)了一種大筆記本4個(gè)和一種小筆記本6個(gè)，共用了62元，得4x+6（x﹣3）＝62，即可解得答案．
設(shè)該文具店中這種大筆記本的單價(jià)是x元，則小筆記本的單價(jià)是（x﹣3）元，
∵買(mǎi)了一種大筆記本4個(gè)和一種小筆記本6個(gè)，共用了62元，
∴4x+6（x﹣3）＝62，
解得：x＝8；
答：該文具店中這種大筆記本的單價(jià)為8元．
本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系，列出方程解決問(wèn)題．
考點(diǎn)2. 二元一次方程(組)解法及解的應(yīng)用
【例題3】（2024廣西）解方程組：
【答案】
【解析】本題考查的是二元一次方程組的解法，直接利用加減消元法解方程組即可．
【詳解】，
得：，
解得：，
把代入①得：
，
∴方程組的解為：.
【對(duì)點(diǎn)變式練1】（2024四川樂(lè)山一模）解二元一次方程組：．
【答案】．
【解答】解：，
①×2得：2x﹣2y＝2③，
②+③得：5x＝10，
解得：x＝2，
把x＝2代入①中得：2﹣y＝1，
解得：y＝1，
∴原方程組的解為：．
【對(duì)點(diǎn)變式練2】（2024河南一模）方程組的解為 ．
【答案】．
【解析】利用加減消元法求解或代入消元法求解都比較簡(jiǎn)便．
，
①+②，得4x+4y＝12，
∴x+y＝3③．
①﹣③，得2x＝2，
∴x＝1．
②﹣①，得2y＝4，
∴y＝2．
∴原方程組的解為．
故答案為：．
本題主要考查了解二元一次方程組，掌握二元一次方程組的解法是解決本題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)3. 二元一次方程(組)的實(shí)際應(yīng)用
【例題4】 （2024深圳）在明朝程大位《算法統(tǒng)宗》中有首住店詩(shī)：我問(wèn)開(kāi)店李三公，眾客都來(lái)到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．詩(shī)的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一間客房住7人，那么有7人無(wú)房可?。蝗绻恳婚g客房住9人，那么就空出一間房．設(shè)該店有客房x間，房客y人，則可列方程組為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組．設(shè)該店有客房x間，房客y人；每一間客房住7人，那么有7人無(wú)房可??；如果每一間客房住9人，那么就空出一間客房得出方程組即可．
【詳解】解：設(shè)該店有客房x間，房客y人；根據(jù)題意得：
，故選：A．
【對(duì)點(diǎn)變式練1】（2024甘孜州一模）有大小兩種盛酒的桶，已知5個(gè)大桶加上1個(gè)小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一種容量單位），1個(gè)大桶加上5個(gè)小桶可以盛酒2斛.1個(gè)大桶、1個(gè)小桶分別可以盛酒多少斛？設(shè)大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，則可列方程組為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根據(jù)“5個(gè)大桶加上1個(gè)小桶可以盛酒3斛，1個(gè)大桶加上5個(gè)小桶可以盛酒2斛”即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組．
由題意得：，故選：A．
本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于x、y的二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
【對(duì)點(diǎn)變式練2】（2024張家界一模）為拓展學(xué)生視野，某中學(xué)組織八年級(jí)師生開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)，原計(jì)劃租用45座客車若干輛，但有15人沒(méi)有座位；若租用同樣數(shù)量的60座客車，則多出三輛車，且其余客車恰好坐滿．現(xiàn)有甲、乙兩種客車，它們的載客量和租金如下表所示：
（1）參加此次研學(xué)活動(dòng)的師生人數(shù)是多少？原計(jì)劃租用多少輛45座客車？
（2）若租用同一種客車，要使每位師生都有座位，應(yīng)該怎樣租用才合算？
【答案】（1）參加此次研學(xué)活動(dòng)的師生人數(shù)是600人，原計(jì)劃租用13輛45座客車；
（2）租用14輛45座客車更合算．
【解答】（1）設(shè)參加此次研學(xué)活動(dòng)的師生人數(shù)是x人，原計(jì)劃租用y輛45座客車．
根據(jù)題意，得，
解得．
答：參加此次研學(xué)活動(dòng)的師生人數(shù)是600人，原計(jì)劃租用13輛45座客車；
（2）租45座客車：600÷45≈14（輛），所以需租14輛，租金為200×14＝2800（元），
租60座客車：600÷60＝10（輛），所以需租10輛，租金為300×10＝3000（元），
∵2800＜3000，
∴租用14輛45座客車更合算．
【對(duì)點(diǎn)變式練3】（2024齊齊哈爾一模）列方程（組）或不等式（組）解應(yīng)用題：
學(xué)校為了支持體育社團(tuán)開(kāi)展活動(dòng)，鼓勵(lì)同學(xué)們加強(qiáng)鍛煉，準(zhǔn)備增購(gòu)一些羽毛球拍和乒乓球拍．
（1）根據(jù)圖中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的價(jià)格；
（2）學(xué)校準(zhǔn)備用5300元購(gòu)買(mǎi)羽毛球拍和乒乓球拍，且乒乓球拍的數(shù)量為羽毛球拍數(shù)量的3倍，請(qǐng)問(wèn)最多能購(gòu)買(mǎi)多少支羽毛球拍？
【答案】（1）每支羽毛球拍的價(jià)格為80元，每支乒乓球拍的價(jià)格為60元；
（2）最多能購(gòu)買(mǎi)20支羽毛球拍．
【解答】（1）設(shè)每支羽毛球拍的價(jià)格為x元，每支乒乓球拍的價(jià)格為y元，
依題意得：，
解得：．
答：每支羽毛球拍的價(jià)格為80元，每支乒乓球拍的價(jià)格為60元．
（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)m支羽毛球拍，則購(gòu)買(mǎi)3m支乒乓球拍，
依題意得：80m+60×3m≤5300，
解得：m≤．
又∵m為整數(shù)，
∴m的最大值為20．
答：最多能購(gòu)買(mǎi)20支羽毛球拍．
考點(diǎn)4. 列一次方程(組)解應(yīng)用題的常用分析
【例題5】（2024江蘇連云港）我市將5月21日設(shè)立為連云港市“人才日”，以最大誠(chéng)意禮遇人才，讓人才與城市“雙向奔赴”．活動(dòng)主辦方分兩次共郵購(gòu)了200把繪有西游文化的折扇作為當(dāng)天一項(xiàng)活動(dòng)的紀(jì)念品．折扇單價(jià)為8元，其中郵費(fèi)和優(yōu)惠方式如下表所示：
若兩次郵購(gòu)折扇共花費(fèi)1504元，求兩次郵購(gòu)的折扇各多少把？
【答案】?jī)纱梧]購(gòu)的折扇分別是40把和160把
【解析】【分析】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，首先判斷出兩次購(gòu)買(mǎi)數(shù)量的范圍，再設(shè)設(shè)一次郵購(gòu)折扇把，則另一次郵?折扇把，根據(jù)“兩次郵購(gòu)折扇共花費(fèi)1504元”列出一元一次方程，求解即可
【詳解】解：若每次購(gòu)買(mǎi)都是100把，則．
一次購(gòu)買(mǎi)少于100把，另一次購(gòu)買(mǎi)多于100把．
設(shè)一次郵購(gòu)折扇把，則另一次郵購(gòu)折扇把．
由題意得：，
解得．
．
答：兩次郵購(gòu)的折扇分別是40把和160把．
【對(duì)點(diǎn)變式練1】（2024安徽一模）（數(shù)字問(wèn)題）一個(gè)兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)的和大9；如果交換十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)，所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27，求這個(gè)兩位數(shù)．
【答案】14
【解析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)十位上的數(shù)為x，個(gè)位上的數(shù)為y，則
解方程組，得，
因此，所求的兩位數(shù)是14．
【對(duì)點(diǎn)變式練2】（2024青海一模）（速度問(wèn)題）在某條高速公路上依次排列著A、B、C三個(gè)加油站，A到B的距離為120千米，B到C的距離也是120千米．分別在A、C兩個(gè)加油站實(shí)施搶劫的兩個(gè)犯罪團(tuán)伙作案后同時(shí)以相同的速度駕車沿高速公路逃離現(xiàn)場(chǎng)，正在B站待命的兩輛巡邏車接到指揮中心的命令后立即以相同的速度分別往A、C兩個(gè)加油站駛?cè)?，結(jié)果往B站駛來(lái)的團(tuán)伙在1小時(shí)后就被其中一輛迎面而上的巡邏車堵截住，而另一團(tuán)伙經(jīng)過(guò)3小時(shí)后才被另一輛巡邏車追趕上．問(wèn)巡邏車和犯罪團(tuán)伙的車的速度各是多少？
【答案】巡邏車的速度是80千米/時(shí)，犯罪團(tuán)伙的車的速度是40千米/時(shí)．
【解析】設(shè)巡邏車、犯罪團(tuán)伙的車的速度分別為x、y千米/時(shí)，則
，整理，得，解得，
因此，巡邏車的速度是80千米/時(shí)，犯罪團(tuán)伙的車的速度是40千米/時(shí)．
考點(diǎn)1. 一元一次方程的解法及解的應(yīng)用
1. （2024貴州?。┬〖t學(xué)習(xí)了等式的性質(zhì)后，在甲、乙兩臺(tái)天平的左右兩邊分別放入“■”“●”“▲”三種物體，如圖所示，天平都保持平衡．若設(shè)“■”與“●”的質(zhì)量分別為x，y，則下列關(guān)系式正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查等式的性質(zhì)，設(shè)“▲”的質(zhì)量為a，根據(jù)題意列出等式，，然后化簡(jiǎn)代入即可解題．
【詳解】設(shè)“▲”的質(zhì)量為a，
由甲圖可得，即，
由乙圖可得，即，
∴，故選C．
2. （2024貴州?。┰谠焓澜芩摹端阈g(shù)啟蒙》中，記載了一道題，大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，則快馬追上慢馬需要的天數(shù)是______．
【答案】20
【解析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)快馬追上慢馬需要x天，根據(jù)快馬走的路程等于慢馬走的總路程，列方程求解即可．
【詳解】設(shè)快馬追上慢馬需要x天，
根據(jù)題意，得，
解得．
3. （2024廣州）某新能源車企今年5月交付新車35060輛，且今年5月交付新車的數(shù)量比去年5月交付的新車數(shù)量的1.2倍還多1100輛．設(shè)該車企去年5月交付新車輛，根據(jù)題意，可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找出題目中的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．設(shè)該車企去年5月交付新車輛，根據(jù)“今年5月交付新車的數(shù)量比去年5月交付的新車數(shù)量的1.2倍還多1100輛”列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)該車企去年5月交付新車輛，
根據(jù)題意得：，故選：A．
4. （2024廣西）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中記載了一個(gè)問(wèn)題，大致意思為：現(xiàn)有田出租，第一年3畝1錢(qián)，第二年4畝1錢(qián)，第三年5畝1錢(qián)．三年共得100錢(qián)．問(wèn)：出租的田有多少畝？設(shè)出租的田有x畝，可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)“第一年3畝1錢(qián)，第二年4畝1錢(qián)，第三年5畝1錢(qián)．三年共得100錢(qián)”列方程即可．
根據(jù)題意，得，故選：B．
考點(diǎn)2. 二元一次方程(組)及其解法
1. （2024江蘇蘇州） 解方程組：．
【答案】
【解析】本題考查的是解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是掌握加減消元法求解．根據(jù)加減消元法解二元一次方程組即可．
得，，解得，．
將代入①得．
方程組的解是
2. （2024眉山）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足x﹣y＝4，則m的值為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】把方程組的兩個(gè)方程相減得到2x﹣2y＝2m+6，結(jié)合x(chóng)﹣y＝4，得到m的值．
∵關(guān)于x、y的二元一次方程組為，
①﹣②，得：
2x﹣2y＝2m+6，
∴x﹣y＝m+3，
∵x﹣y＝4，
∴m+3＝4，
∴m＝1．故選：B．
本題主要考查了二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是把方程組的兩個(gè)方程相減得到m的方程，此題難度不大．
考點(diǎn)3. 二元一次方程(組)的實(shí)際應(yīng)用
1. （2024黑龍江齊齊哈爾）校團(tuán)委開(kāi)展以“我愛(ài)讀書(shū)”為主題的演講比賽活動(dòng)，為獎(jiǎng)勵(lì)表現(xiàn)突出的學(xué)生，計(jì)劃拿出200元錢(qián)全部用于購(gòu)買(mǎi)單價(jià)分別為8元和10元的兩種筆記本(兩種都要購(gòu)買(mǎi))作為獎(jiǎng)品，則購(gòu)買(mǎi)方案有（ ）
A. 5種B. 4種C. 3種D. 2種
【答案】B
【解析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，設(shè)單價(jià)分別為8元和10元的兩種筆記本分別為個(gè)，根據(jù)題意列出方程，根據(jù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)，即可求解．
【詳解】設(shè)單價(jià)分別為8元和10元的兩種筆記本分別為個(gè)，
依題意，
∴
∵，為正整數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
∴購(gòu)買(mǎi)方案有4種，故選：B．
2. （2024湖北?。毒耪滤阈g(shù)》中記載這樣一個(gè)題：牛5頭和羊2只共值10金，牛2頭和羊5只共值8金，問(wèn)牛和羊各值多少金？設(shè)每頭牛值金，每只羊值金，可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用．根據(jù)未知數(shù)，將今有牛5頭，羊2頭，共值10金；牛2頭，羊5頭，共值8金，兩個(gè)等量關(guān)系具體化，聯(lián)立即可．
【詳解】解：設(shè)每頭牛值x金，每頭羊值y金，
∵牛5頭，羊2頭，共值10金；牛2頭，羊5頭，共值8金，
∴，故選：A．
3. （2024內(nèi)蒙古赤峰）用1塊A型鋼板可制成3塊C型鋼板和4塊D型鋼板；用1塊B型鋼板可制成5塊C型鋼板和2塊D型鋼板．現(xiàn)在需要58塊C型鋼板、40塊D型鋼板，問(wèn)恰好用A型鋼板、B型鋼板各多少塊？如果設(shè)用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，則可列方程組為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用．根據(jù)題意設(shè)用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，再利用現(xiàn)需要58塊C型鋼板、40塊D型鋼板分別得出方程組即可．
【詳解】設(shè)用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，
由題意得：，故選：C．
4. （2024四川成都市）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)題目：今有共買(mǎi)琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．問(wèn)人數(shù)，琎價(jià)各幾何？其大意是：今有人合伙買(mǎi)琎石，每人出錢(qián)，會(huì)多出4錢(qián)；每人出錢(qián)，又差了3錢(qián)．問(wèn)人數(shù)，琎價(jià)各是多少？設(shè)人數(shù)為，琎價(jià)為，則可列方程組為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題主要考查了列二元一次方程組，根據(jù)題意列出二元一次方程組即可．
設(shè)人數(shù)為，琎價(jià)為，
根據(jù)每人出錢(qián)，會(huì)多出4錢(qián)可得出，
每人出錢(qián)，又差了3錢(qián)．可得出，
則方程組為：，故選：B．
5.（2024江蘇鹽城） 中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載的“繩索量竿”問(wèn)題，大意是：現(xiàn)有一根竿子和一條繩索，用繩索去量竿子，繩索比竿子長(zhǎng)5尺；若將繩索對(duì)折去量竿子，繩索就比竿子短5尺，問(wèn)繩索、竿子各有多長(zhǎng)？該問(wèn)題中的竿子長(zhǎng)為_(kāi)_______尺．
【答案】15
【解析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題關(guān)鍵．
設(shè)繩索長(zhǎng) 尺，竿長(zhǎng) 尺，根據(jù)“用繩索去量竿，繩索比竿長(zhǎng)尺；如果將繩索對(duì)半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出關(guān)于 的二元一次方程組，此題得解．
【詳解】設(shè)繩索長(zhǎng) 尺，竿長(zhǎng) 尺，
根據(jù)題意得： ．
解得：
考點(diǎn)4. 列一次方程(組)解應(yīng)用題的常用分析
1. （2024安徽?。┼l(xiāng)村振興戰(zhàn)略實(shí)施以來(lái)，很多外出人員返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．某村有部分返鄉(xiāng)青年承包了一些田地．采用新技術(shù)種植兩種農(nóng)作物．種植這兩種農(nóng)作物每公頃所需人數(shù)和投入資金如表：
已知農(nóng)作物種植人員共位，且每人只參與一種農(nóng)作物種植，投入資金共萬(wàn)元．問(wèn)這兩種農(nóng)作物的種植面積各多少公頃？
【答案】農(nóng)作物的種植面積為公頃，農(nóng)作物的種植面積為公頃．
【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)農(nóng)作物的種植面積為公頃，農(nóng)作物的種植面積為公頃，根據(jù)題意列出二元一次方程組即可求解，根據(jù)題意，找到等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)農(nóng)作物的種植面積為公頃，農(nóng)作物的種植面積為公頃，
由題意可得，，
解得，
答：設(shè)農(nóng)作物的種植面積為公頃，農(nóng)作物的種植面積為公頃．
2. （2024湖南?。┠炒鍥Q定種植臍橙和黃金貢柚，助推村民增收致富，已知購(gòu)買(mǎi)1棵臍橙樹(shù)苗和2棵黃金貢柚樹(shù)苗共需110元；購(gòu)買(mǎi)2棵臍橙樹(shù)苗和3棵黃金貢柚樹(shù)苗共需190元．
（1）求臍橙樹(shù)苗和黃金貢柚樹(shù)苗的單價(jià)；
（2）該村計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)臍橙樹(shù)苗和黃金貢柚樹(shù)苗共1000棵，總費(fèi)用不超過(guò)38000元，問(wèn)最多可以購(gòu)買(mǎi)臍橙樹(shù)苗多少棵？
【答案】（1）50元、30元 （2）400棵
【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：
（1）設(shè)臍橙樹(shù)苗和黃金貢柚樹(shù)苗的單價(jià)分別為x元/棵，y元/棵，根據(jù)“購(gòu)買(mǎi)1棵臍橙樹(shù)苗和2棵黃金貢柚樹(shù)苗共需110元；購(gòu)買(mǎi)2棵臍橙樹(shù)苗和3棵黃金貢柚樹(shù)苗共需190元”列方程組求解即可；
（2）購(gòu)買(mǎi)臍橙樹(shù)苗a棵，根據(jù)“總費(fèi)用不超過(guò)38000元”列不等式求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)臍橙樹(shù)苗和黃金貢柚樹(shù)苗的單價(jià)分別為x元/棵，y元/棵，
根據(jù)題意，得，
解得，
答：臍橙樹(shù)苗和黃金貢柚樹(shù)苗的單價(jià)分別為50元/棵，30元/棵；
【小問(wèn)2詳解】
解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)臍橙樹(shù)苗a棵，則購(gòu)買(mǎi)黃金貢柚樹(shù)苗棵，
根據(jù)題意，得，
解得，
答：最多可以購(gòu)買(mǎi)臍橙樹(shù)苗400棵．
考點(diǎn)1. 一元一次方程的解法及解的應(yīng)用
1.已知下列方程：①x＋1＝ eq \f(3,x)；②5x＝8；③ eq \f(x,3)＝4x＋1；④x2＋2x－3＝0；⑤x＝1；
⑥3x＋y＝6。其中是一元一次方程的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 2個(gè)B. 3個(gè)C. 4個(gè)D. 5個(gè)
【答案】B
【解析】含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程是一元一次方程，滿足要求的有②③⑤。
2.已知方程(m+1)x|m|+3=0是關(guān)于x的一元一次方程，則m的值是（ ）
A.±1 B.1 C.－1 D.0或1
【答案】B
【解析】方程(m+1)x|m|+3=0是關(guān)于x的一元一次方程，則m+1≠0，|m|=1，所以m=1.
3.關(guān)于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，則其解為 ．
【解答】∵關(guān)于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，
∴2m﹣1＝1，即m＝1或m＝0，
方程為x﹣2＝0或﹣x﹣2＝0，解得：x＝2或x＝﹣2，
故答案為：x＝2或x＝﹣2．
4.解一元一次方程時(shí)，去分母正確的是（ ）
A．3(x+1)=1-2xB．2(x+1)=1-3xC．2(x+1)=6-3xD．3(x+1)=6-2x
【答案】D
【解析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)將方程兩邊都乘以6可得答案．
方程兩邊都乘以6，得：3(x+1)=6-2x．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次方程的步驟和等式的基本性質(zhì)．
5. 解方程：+＝4．
【答案】x＝7．
【解答】解：+＝4，
3（x﹣3）+2（x﹣1）＝24，
3x﹣9+2x﹣2＝24，
3x+2x＝24+9+2，
5x＝35，
x＝7．
6．甲、乙兩人在一條筆直的道路上相向而行，甲騎自行車從A地到B地需4分鐘，乙騎自行車從B地到A地需6分鐘．現(xiàn)乙從B地先發(fā)出1分鐘后，甲才從A地出發(fā)，問(wèn)多久后甲、乙相遇？設(shè)乙出發(fā)x分鐘時(shí)，甲、乙相遇，則可列方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】∵甲騎自行車從A地到B地需4分鐘，乙騎自行車從B地到A地需6分鐘，
∴甲的速度是，乙的速度是，
由題意得．故選：A．
7．《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，其譯文為：有人合伙買(mǎi)羊，每人出5錢(qián)，還缺45錢(qián)；每人出7錢(qián)，還缺3錢(qián)，問(wèn)合伙人數(shù)是多少？為解決此問(wèn)題，設(shè)合伙人數(shù)為x人，可列方程為 ．
【答案】5x+45＝7x+3．
【解析】設(shè)合伙人數(shù)為x人，根據(jù)羊的總價(jià)錢(qián)不變，即可得出關(guān)于x的一元一次方程即可．
設(shè)合伙人數(shù)為x人，
依題意，得：5x+45＝7x+3．
故答案為：5x+45＝7x+3．
本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
8．對(duì)聯(lián)是中華傳統(tǒng)文化的瑰寶，對(duì)聯(lián)裝裱后，如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白處統(tǒng)稱為邊．一般情況下，天頭長(zhǎng)與地頭長(zhǎng)的比是6：4，左、右邊的寬相等，均為天頭長(zhǎng)與地頭長(zhǎng)的和的．某人要裝裱一副對(duì)聯(lián)，對(duì)聯(lián)的長(zhǎng)為100cm，寬為27cm．若要求裝裱后的長(zhǎng)是裝裱后的寬的4倍，求邊的寬和天頭長(zhǎng)．
【答案】邊的寬為4cm，天頭長(zhǎng)為24cm．
【解析】設(shè)天頭長(zhǎng)為6x cm，地頭長(zhǎng)為4x cm，則左、右邊的寬為x cm，根據(jù)題意得列方程即可得到結(jié)論．
設(shè)天頭長(zhǎng)為6x cm，地頭長(zhǎng)為4x cm，則左、右邊的寬為x cm，
根據(jù)題意得，100+（6x+4x）＝4×[27+（6x﹣4x）]，
解得x＝4，
答：邊的寬為4cm，天頭長(zhǎng)為24cm．
本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確地理解題意列出方程是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)2. 二元一次方程(組)及其解法
1. 已知關(guān)于x，y的方程組的解滿足x﹣y＝4，則a的值為 ．
【答案】2
【解析】利用方程①﹣方程②，可得出x﹣y＝a+2，結(jié)合x(chóng)﹣y＝4，可得出a+2＝4，解之即可得出a的值．
，
①﹣②得：x﹣y＝a+2，
又∵關(guān)于x，y的方程組的解滿足x﹣y＝4，
∴a+2＝4，
∴a＝2．
本題考查了解二元一次方程組以及解一元一次方程，根據(jù)二元一次方程組的解滿足x﹣y＝4，找出關(guān)于a的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
2．解方程組．
【答案】．
【解析】利用加減消元法解方程組即可．
，
①+②得：5x＝15，
解得：x＝3，
將x＝3代入①得：3×3+y＝8，
解得：y＝﹣1，
故原方程組的解為：．
考查解二元一次方程組，解二元一次方程組的基本方法為代入消元法和加減消元法，必須熟練掌握．
3．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組，給出下列結(jié)論中正確的是（ ）
①當(dāng)這個(gè)方程組的解x，y的值互為相反數(shù)時(shí)，a＝﹣2；
②當(dāng)a＝1時(shí)，方程組的解也是方程x+y＝4+2a的解；
③無(wú)論a取什么實(shí)數(shù)，x+2y的值始終不變；
④若用x表示y，則y＝﹣；
A．①②B．②③C．②③④D．①③④
【答案】D
【解答】關(guān)于x，y的二元一次方程組，
①+②得，2x+2y＝4+2a，
即：x+y＝2+a，
（1）①當(dāng)方程組的解x，y的值互為相反數(shù)時(shí)，即x+y＝0時(shí)，即2+a＝0，
∴a＝﹣2，故①正確，
（2）②原方程組的解滿足x+y＝2+a，
當(dāng)a＝1時(shí)，x+y＝3，
而方程x+y＝4+2a的解滿足x+y＝6，
因此②不正確，
（3）方程組，解得，
∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3，
因此③是正確的，
（4）方程組，
由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得，
x﹣y＝3（4﹣x﹣3y），
即；y＝﹣+
因此④是正確的，
故選：D．
考點(diǎn)3. 二元一次方程(組)的實(shí)際應(yīng)用
1．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書(shū)中有一個(gè)問(wèn)題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問(wèn)金、銀各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計(jì)），問(wèn)黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩．根據(jù)題意得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)“甲袋中裝有黃金9枚，乙袋中裝有白銀11枚，稱重兩袋相等；兩袋互相
交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩”，即可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．
∵甲袋中裝有黃金9枚，乙袋中裝有白銀11枚，稱重兩袋相等，
∴9x＝11y；
∵兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩，
∴（10y+x）﹣（8x+y）＝13．
根據(jù)題意可列方程組．
故選：C．
本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組以及數(shù)學(xué)常識(shí)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
2.某船的載重量為300噸，容積為1200立方米，現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運(yùn)，其中甲種貨物每噸體積為6立方米，乙種貨物每噸的體積為2立方米，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩重貨物應(yīng)各裝多少噸？
【答案】甲、乙兩重貨物應(yīng)各裝150噸．
【解析】設(shè)甲種貨物裝x噸，乙種貨物裝y噸，則
，整理，得，解得，
因此，甲、乙兩重貨物應(yīng)各裝150噸．
考點(diǎn)4. 列一次方程(組)解應(yīng)用題的常用分析
1.某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務(wù)，要求在規(guī)定期限內(nèi)完成，按照這個(gè)服裝廠原來(lái)的生產(chǎn)能力，每天可生產(chǎn)這種服裝150套，按這樣的生產(chǎn)進(jìn)度在客戶要求的期限內(nèi)只能完成訂貨的；現(xiàn)在工廠改進(jìn)了人員組織結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)流程，每天可生產(chǎn)這種工作服200套，這樣不僅比規(guī)定時(shí)間少用1天，而且比訂貨量多生產(chǎn)25套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？
【答案】3375,18.
【解析】設(shè)訂做的工作服是x套，要求的期限是y天，依題意，得
，解得.
2.亞洲文明對(duì)話大會(huì)召開(kāi)期間，大批的大學(xué)生志愿者參與服務(wù)工作．某大學(xué)計(jì)劃組織本校全體志愿者統(tǒng)一乘車去會(huì)場(chǎng)，若單獨(dú)調(diào)配36座新能源客車若干輛，則有2人沒(méi)有座位；若只調(diào)配22座新能源客車，則用車數(shù)量將增加4輛，并空出2個(gè)座位．
（1）計(jì)劃調(diào)配36座新能源客車多少輛？該大學(xué)共有多少名志愿者？
（2）若同時(shí)調(diào)配36座和22座兩種車型，既保證每人有座，又保證每車不空座，則兩種車型各需多少輛？
【答案】見(jiàn)解析。
【解析】（1）設(shè)計(jì)劃調(diào)配36座新能源客車x輛，該大學(xué)共有y名志愿者，則需調(diào)配22座新能源客車（x+4）輛，
依題意，得：，
解得：．
答：計(jì)劃調(diào)配36座新能源客車6輛，該大學(xué)共有218名志愿者．
（2）設(shè)需調(diào)配36座客車m輛，22座客車n輛，
依題意，得：36m+22n＝218，
∴n＝．
又∵m，n均為正整數(shù)，
∴．
答：需調(diào)配36座客車3輛，22座客車5輛．
考點(diǎn)分布
考查頻率
命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 一元一次方程的解法及解的應(yīng)用
☆☆
數(shù)學(xué)中考中，有關(guān)一次方程（組）的部分，每年考查1道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題、解答 題的形式考察。若以解答題出現(xiàn)，考法基本上是兩種類型：一是根據(jù)題意列出一次方程（組），解方程求解，給出結(jié)論；二是根據(jù)題意列出一次方程，結(jié)合不等式，函數(shù)來(lái)確定作答思路。考查列方程解應(yīng)用題是每年全國(guó)各省市必考內(nèi)容，需要學(xué)生深入系統(tǒng)掌握列各種應(yīng)用題類型的等量關(guān)系，考查知識(shí)比較綜合。
考點(diǎn)2 二元一次方程(組)及其解法
☆☆
考點(diǎn)3 二元一次方程(組)的實(shí)際應(yīng)用
☆☆☆
考點(diǎn)4 列一次方程(組)解應(yīng)用題的常用分析
☆☆☆
甲型客車
乙型客車
載客量（人/輛）
45
60
租金（元/輛）
200
300
郵購(gòu)數(shù)量
100以上（含100）
郵寄費(fèi)用
總價(jià)的
免費(fèi)郵寄
折扇價(jià)格
不優(yōu)惠
打九折
農(nóng)作物品種
每公頃所需人數(shù)
每公頃所需投入資金（萬(wàn)元）

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