1.2 代數(shù)式與整式
☆☆☆ 代表必考點(diǎn)，☆☆代表?？键c(diǎn)，☆星表示中頻考點(diǎn)。

夯實(shí)基礎(chǔ)
考點(diǎn)1 代數(shù)式
1. 代數(shù)式概念
用基本的運(yùn)算符號(hào)(運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方與開方)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來(lái)的式子叫做代數(shù)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式.
（1）代數(shù)式中除了含有字母、數(shù)字、運(yùn)算符號(hào)外還可以有括號(hào)。
（2）代數(shù)式中不含有=、、≠ 等
（3）對(duì)于用字母表示的數(shù)，如果沒(méi)有特別說(shuō)明，就應(yīng)理解為它可以表示任何一個(gè)數(shù)。
2.代數(shù)式的分類
代數(shù)式分為有理式和無(wú)理式。有理式分為整式和分式，其中整式分為單項(xiàng)式和多項(xiàng)式。
3.列代數(shù)式方法
列代數(shù)式首先要確定數(shù)量與數(shù)量的運(yùn)算關(guān)系，其次應(yīng)抓住題中的一些關(guān)鍵詞語(yǔ)，如和、差、積、商、平方、倒數(shù)以及幾分之幾、幾成、倍等等.抓住這些關(guān)鍵詞語(yǔ)，反復(fù)咀嚼，認(rèn)真推敲，列好一般的代數(shù)式就不太難了.
【易錯(cuò)點(diǎn)提示】列式（或者說(shuō)列代數(shù)式）注意：
①數(shù)與字母、字母與字母相乘省略乘號(hào)；
②數(shù)與字母相乘時(shí)數(shù)字在前；
③式子中出現(xiàn)除法運(yùn)算時(shí)，一般按分?jǐn)?shù)形式來(lái)寫；
④帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí)，把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)；
⑤帶單位時(shí)，適當(dāng)加括號(hào).
4.代數(shù)式的值
（1）一般地，用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出的結(jié)果，叫做代數(shù)式的值.
（2）求代數(shù)式的值分兩步：第一步，代數(shù)；第二步，計(jì)算.要充分利用“整體”思想求代數(shù)式的值?！痉椒偨Y(jié)】求代數(shù)式的一般方法
1.直接代入法:用數(shù)值代替代數(shù)式中的對(duì)應(yīng)字母,然后計(jì)算結(jié)果
2.化簡(jiǎn)求值法:先化簡(jiǎn)代數(shù)式,再代入字母的值,然后進(jìn)行計(jì)算
3. 整體代入法:當(dāng)給出代數(shù)式中所含幾個(gè)字母之間的關(guān)系,不直接給出字母的值時(shí),一般是把所要求的代數(shù)式通過(guò)恒等變形,轉(zhuǎn)化成為用已知關(guān)系表示的形式,再代入計(jì)算。
考點(diǎn)2 整式及其運(yùn)算
1. 整式的有關(guān)概念
（1）整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式．
（2）單項(xiàng)式：?jiǎn)雾?xiàng)式是指由數(shù)字或字母的乘積組成的式子；單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)；單項(xiàng)式中所有字母指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)．
【注意】單項(xiàng)式的系數(shù)包括它前面的符號(hào)
（3）多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式；多項(xiàng)式中，每一個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)；多項(xiàng)式中次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)．
（4）同類項(xiàng)：多項(xiàng)式中所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng).
2. 整式的運(yùn)算
（一）冪的運(yùn)算
（1）同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.即. （m, n都是正整數(shù)）.
（2）冪的乘方：
1）冪的乘方是指幾個(gè)相同的冪相乘。
2）法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即（m，n都是正整數(shù)）．
（3）積的乘方：
1）積的乘方是指底數(shù)是乘積形式的乘方．
2）法則：積的乘方等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘（n是正整數(shù)）．
（4）同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.
(m,n都是正整數(shù),且m>n);
(a≠0).
【方法技巧】
（1）冪的乘方：（m，n，p都是正整數(shù)）．
例如：．這一性質(zhì)由乘方運(yùn)算降為乘法運(yùn)算（指數(shù)相乘）．
（2）注意逆用冪的乘方法則，例如：．
逆用積的乘方法則有，即指數(shù)相同的冪相乘，可將底數(shù)相乘，相同的指數(shù)作為共同的指數(shù).
（二）整式的加減
幾個(gè)整式相加減，如有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng)。
（三）整式的乘法
（1）單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式
運(yùn)算性質(zhì)：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．
注意：①在計(jì)算時(shí)，應(yīng)先進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算，積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積；②注意按順序運(yùn)算；③不要丟掉只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母因式；④此性質(zhì)對(duì)于多個(gè)單項(xiàng)式相乘仍然成立．
（2）單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：m（a+b+c）=ma+mb+mc.
（1）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．
（2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題：
①單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式；②用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)時(shí)，不能漏乘；③注意確定積的符號(hào)．
（3）多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb
（1）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：
多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另外一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．
（2）運(yùn)用法則時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：
①相乘時(shí)，按一定的順序進(jìn)行，必須做到不重不漏；②多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式，在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積．
（四）整式的除法
（1）單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，把系數(shù)、同底數(shù)的冪分別相除，作為商的因式。對(duì)于只在被除式含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的因式。
（2）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加。
考點(diǎn)3 乘法公式
1．完全平方公式
（1）完全平方公式：．
（2）完全平方公式有以下幾個(gè)特征：
①左邊是兩個(gè)數(shù)的和的平方；
②右邊是一個(gè)三項(xiàng)式，其中首末兩項(xiàng)分別是兩項(xiàng)的平方，都為正，中間一項(xiàng)是兩項(xiàng)積的2倍，其符號(hào)與左邊的運(yùn)算符號(hào)相同．
（3）完全平方公式的幾何背景
①運(yùn)用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對(duì)完全平方公式做出幾何解釋．
②常見驗(yàn)證完全平方公式的幾何圖形
．（用大正方形的面積等于邊長(zhǎng)為a和邊長(zhǎng)為b的兩個(gè)正方形與兩個(gè)長(zhǎng)寬分別是a，b的長(zhǎng)方形的面積和作為相等關(guān)系）
【溫馨提醒】應(yīng)用完全平方公式時(shí)，要注意：
①公式中的a，b可是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式；
②對(duì)形如兩數(shù)和（或差）的平方的計(jì)算，都可以用這個(gè)公式；
③對(duì)于三項(xiàng)的可以把其中的兩項(xiàng)看做一項(xiàng)后，也可以用完全平方公式。
2．平方差公式
（1）平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差．即：
（2）平方差公式的幾何背景
①常見驗(yàn)證平方差公式的幾何圖形（利用圖形的面積和作為相等關(guān)系列出等式即可驗(yàn)證平方差公式）．
②運(yùn)用幾何直觀理解、解決平方差公式的推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對(duì)平方差公式做出幾何解釋．
【溫馨提醒】應(yīng)用平方差公式計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題：
①左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；
②右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方；
③公式中的a和b可以是具體數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式；
④對(duì)形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘的算式，都可以運(yùn)用這個(gè)公式計(jì)算，且會(huì)比用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則簡(jiǎn)便。
考點(diǎn)4 因式分解
1. 定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)因式積的形式叫做因式分解，因式分解與整式乘法是互逆運(yùn)算。
2. 因式分解的基本方法
（1）提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
（2）公式法：；；。
（3）分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
（4）十字相乘法：
3. 分解因式的一般步驟
（1）如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，應(yīng)先提取公因式;
（2）如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，可以嘗試使用公式法：
為兩項(xiàng)時(shí)，考慮平方差公式；
為三項(xiàng)時(shí)，考慮完全平方公式（或者十字相乘法）；
為四項(xiàng)時(shí)，考慮利用分組的方法進(jìn)行分解;
（3）檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止.
以上步驟可以概括為“一提二套三檢查”.
【說(shuō)明】中考考查因式分解問(wèn)題，經(jīng)?？疾樘崛」蚴椒ê凸椒?。對(duì)于十字相乘法、分組法能夠熟練掌握學(xué)會(huì)這些額外方法對(duì)解決復(fù)雜問(wèn)題大有益處。
考點(diǎn)5 規(guī)律探索題
1.解決規(guī)律探索型問(wèn)題的策略是：
通過(guò)對(duì)所給的一組（或一串）數(shù)字或式子或圖形及結(jié)論，進(jìn)行全面細(xì)致地觀察、分析、比較，從中發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律，并由此猜想出一般性的結(jié)論，然后再給出合理的證明或加以應(yīng)用.
2.圖形固定累加規(guī)律：
(1)找關(guān)系：找后一個(gè)圖形所求元素個(gè)數(shù)與前一個(gè)圖形所求元素個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，一般通過(guò)作差的形式進(jìn)行觀察；
(2)找規(guī)律：若第一個(gè)圖形所求元素個(gè)數(shù)為a，第二個(gè)圖形所求元素個(gè)數(shù)比第一個(gè)圖形所求元素個(gè)數(shù)多b，且此后每一個(gè)圖形所求元素個(gè)數(shù)比前一個(gè)圖形所求元素個(gè)數(shù)多b，則第n個(gè)圖形所求元素個(gè)數(shù)為a＋b(n－1)；
(3)驗(yàn)證：代入序號(hào)驗(yàn)證所求代數(shù)式．
【易錯(cuò)點(diǎn)提示】解決代數(shù)式與整式問(wèn)題注意幾點(diǎn)
①仔細(xì)辨別詞義． 列代數(shù)式時(shí)，要先認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞語(yǔ)，仔細(xì)辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．
②分清數(shù)量關(guān)系．要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系．
③注意運(yùn)算順序．列代數(shù)式時(shí)，一般應(yīng)在語(yǔ)言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫，不同級(jí)運(yùn)算的語(yǔ)言，且又要體現(xiàn)出先低級(jí)運(yùn)算，要把代數(shù)式中代表低級(jí)運(yùn)算的這部分括起來(lái)．
④規(guī)范書寫格式．列代數(shù)時(shí)要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號(hào)不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號(hào)；除法可寫成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書寫單位名稱什么時(shí)不加括號(hào)，什么時(shí)要加括號(hào)．注意代數(shù)式括號(hào)的適當(dāng)運(yùn)用．
⑤正確進(jìn)行代換．列代數(shù)式時(shí)，有時(shí)需將題中的字母代入公式，這就要求正確進(jìn)行代換．
考點(diǎn)1 代數(shù)式
【例題1】（2024四川廣安） 代數(shù)式的意義可以是（ ）
A. 與x的和B. 與x的差C. 與x的積D. 與x的商
【答案】C
【解析】本題考查了代數(shù)式的意義，用語(yǔ)言表達(dá)代數(shù)式的意義，一定要理清代數(shù)式中含有的各種運(yùn)算及其順序．根據(jù)中的運(yùn)算關(guān)系解答即可．
【詳解】代數(shù)式的意義可以是與x的積．故選C．
【對(duì)點(diǎn)變式練1】（2024湖南一模）某商店舉辦促銷活動(dòng)．促銷的方法是將原價(jià)為x元的衣服以45x?7元出售，則下列關(guān)于代數(shù)式45x?7的含義的描述正確的是（ ）
A. 原價(jià)打8折后再減去7元B．原價(jià)減去7元后再打8折
C．原價(jià)減去7元后再打2折 D．原價(jià)打2折后再減去7元
【答案】A
【解析】根據(jù)代數(shù)式的實(shí)際意義進(jìn)行解答即可，準(zhǔn)確理解代數(shù)式的意義是解題的關(guān)鍵．
將原價(jià)x元的衣服以45x?7元出售就是把原價(jià)打8折后再減去7元．故選：A．
【對(duì)點(diǎn)變式練2】（2024長(zhǎng)沙一模）為落實(shí)“雙減”政策，某校利用課后服務(wù)開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動(dòng)．現(xiàn)需購(gòu)買甲，乙兩種讀本共100本供學(xué)生閱讀，其中甲種讀本的單價(jià)為10元/本，乙種讀本的單價(jià)為8元/本，設(shè)購(gòu)買甲種讀本x本，則購(gòu)買乙種讀本的費(fèi)用為（ ）
A．8x元B．10（100﹣x）元
C．8（100﹣x）元D．（100﹣8x）元
【答案】C
【解答】設(shè)購(gòu)買甲種讀本x本，則購(gòu)買乙種讀本的費(fèi)用為：8（100﹣x）元．故選：C．
【例題2】（2024廣州）如圖，把，，三個(gè)電阻串聯(lián)起來(lái)，線路上的電流為，電壓為，則．當(dāng)，，，時(shí)，的值為______．

【答案】220
【解析】本題考查了代數(shù)式求值，乘法運(yùn)算律，掌握相關(guān)運(yùn)算法則，正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．根據(jù)，將數(shù)值代入計(jì)算即可．
，
當(dāng)，，，時(shí)，
，
故答案為：220．
【對(duì)點(diǎn)變式練1】（2024沈陽(yáng)一模）當(dāng)a+b＝3時(shí)，代數(shù)式2（a+2b）﹣（3a+5b）+5的值為 ．
【答案】2
【解析】先將原式去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)可得﹣a﹣b+5，再把前兩項(xiàng)提取﹣1，然后把a(bǔ)+b的值代入可得結(jié)果．
2（a+2b）﹣（3a+5b）+5
＝2a+4b﹣3a﹣5b+5
＝﹣a﹣b+5
＝﹣（a+b）+5
當(dāng)a+b＝3時(shí)，原式＝﹣3+5＝2．
此題主要是考查了整式的化簡(jiǎn)求值，能夠熟練運(yùn)用去括號(hào)法則，合并同類項(xiàng)法則化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．
【對(duì)點(diǎn)變式練2】（2024吉林四平一模）當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為16，則當(dāng)時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值是（ ）
A．0B．-16C．32D．8
【答案】A
【解析】由當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為16，可得，再把代入代數(shù)式即可得到答案．
當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為16，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，




故選A．
【點(diǎn)撥】本題考查的是求解代數(shù)式的值，添括號(hào)的應(yīng)用，掌握“利用整體代入法求解代數(shù)式的值”是解本題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)2 整式及其運(yùn)算
【例題3】（2024福建?。┫铝羞\(yùn)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，合并同類項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，合并同類項(xiàng)運(yùn)算法則．
利用同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，合并同類項(xiàng)計(jì)算后判斷正誤．
【詳解】，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，B選項(xiàng)正確；
，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．
【對(duì)點(diǎn)變式練1】（2024湖北孝感一模）先化簡(jiǎn)，再求值：4xy－2xy－（－3xy），其中x＝2，
y＝－1．
【答案】，
【解析】根據(jù)整式的加減運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后將字母的值代入即可求解．
原式＝4xy－2xy+3xy
＝
＝5xy；
當(dāng)x＝2，y＝－1時(shí)，
原式＝．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式加減的化簡(jiǎn)求值，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【對(duì)點(diǎn)變式練2】（2024日照一模）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．（﹣2m2）3＝﹣8m6
C．（x+y）2＝x2+y2 D．2ab+3a2b＝5a3b2
【答案】B
【解析】分別根據(jù)同底數(shù)冪的乘法公式，積的乘方公式，完全平方公式，合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行計(jì)算可得結(jié)果．
A．a(chǎn)2?a3＝a2+3＝a5，所以A運(yùn)算錯(cuò)誤；
B．（﹣2m2）3＝（﹣2）3m6＝﹣8m6，所以B運(yùn)算正確；
C．（x+y）2＝x2+2xy+y2，所以C運(yùn)算錯(cuò)誤；
D．2ab與3a2b不是同類項(xiàng)，所以不能合并計(jì)算，所以D運(yùn)算錯(cuò)誤．
故選：B．
此題主要是考查了同底數(shù)冪的乘法公式，積的乘方公式，完全平方公式，合并同類項(xiàng)法則，能夠熟練運(yùn)用各種法則是解答此題的關(guān)鍵．
【對(duì)點(diǎn)變式練3】（2023畢節(jié)市一模）計(jì)算（2x2）3的結(jié)果，正確的是（ ）
A．8x5B．6x5C．6x6D．8x6
【答案】D
【解析】（2x2）3＝8x6．故選：D．
【對(duì)點(diǎn)變式練4】（2024淮安一模）計(jì)算a2?a3的結(jié)果是（ ）
A．a(chǎn)2B．a(chǎn)3C．a(chǎn)5D．a(chǎn)6
【答案】C
【解答】a2?a3＝a5．故選：C．
考點(diǎn)3 乘法公式
【例題4】（2024上海市）計(jì)算______．
【答案】
【解析】根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．
【對(duì)點(diǎn)變式練1】（2024湖州一模）計(jì)算：（a+1）（a﹣1）＝ ．
【答案】a2﹣1．
【解析】直接利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．
（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，
故答案為：a2﹣1．
本題主要考查了平方差公式，解題的關(guān)鍵是熟記平方差公式．
【對(duì)點(diǎn)變式練2】（2024棗莊一模）圖（1）是一個(gè)長(zhǎng)為2a，寬為2b（a＞b）的長(zhǎng)方形，用剪刀沿圖中虛線（對(duì)稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長(zhǎng)方形，然后按圖（2）那樣拼成一個(gè)正方形，則中間空余的部分的面積是（ ）
A．a(chǎn)bB．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a(chǎn)2﹣b2
【答案】C
【解析】中間部分的四邊形是正方形，邊長(zhǎng)是a+b﹣2b＝a﹣b，
則面積是（a﹣b）2．故選：C．
考點(diǎn)4 因式分解
【例題5】（2024甘肅臨夏）因式分解：______．
【答案】
【解析】本題考查因式分解，掌握公式法分解因式是解題關(guān)鍵．直接利用平方差公式分解因式即可．
．
故答案為：．
【對(duì)點(diǎn)變式練1】（2024廣西一模）分解因式：a2+5a＝ ．
【答案】a（a+5）．
【解析】由提公因式am+bm＝m（a+b），可直接得出結(jié)論．
∵a2+5a公有因式為a，
∴原式＝a（a+5），
故答案為：a（a+5）．
本題考查了因式分解的提公因式，能快速找出公有因式是解題的關(guān)鍵．
【對(duì)點(diǎn)變式練2】（2024遼寧一模）分解因式：2m2﹣18＝ ．
【答案】2（m+3）（m﹣3）．
【解析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
原式＝2（m2﹣9）
＝2（m+3）（m﹣3）．
故答案為：2（m+3）（m﹣3）．
此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
【對(duì)點(diǎn)變式練3】（2024濟(jì)寧一模）下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是（ ）
A．（a+3）2＝a2+6a+9
B．a(chǎn)2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y）
D．a(chǎn)2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）
【答案】C
【解析】本題考查因式分解﹣十字相乘，提公因式等相關(guān)知識(shí)．
A.（a+3）2＝a2+6a+9是完全平方公式，不是因式分解的形式，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
B.a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，
C.5ax2﹣5ay2＝5a（x2﹣y2）＝5a（x+y）（x﹣y），故選項(xiàng)C正確，
D.a2﹣2a﹣8＝（a+2）（a﹣4），故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故答案為：C．
本題考查因式分解，提公因式等相關(guān)知識(shí)．解題的關(guān)鍵是能夠熟悉因式分解的定義，熟練運(yùn)用因式分解中的提公因式，十字相乘等方法．
考點(diǎn)5 規(guī)律探索題
【例題6】（2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時(shí)，發(fā)現(xiàn)了如“花朵”形的美麗圖案，他們將等腰三角形OBC置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C在第一象限，．將沿x軸正方向作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，使它的三邊依次與x軸重合，第一次滾動(dòng)后，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，稱點(diǎn)為第一個(gè)“花朵”的花心，點(diǎn)為第二個(gè)“花朵”的花心；……；按此規(guī)律，滾動(dòng)2024次后停止?jié)L動(dòng)，則最后一個(gè)“花朵”的花心的坐標(biāo)為______．
【答案】
【解析】本題考查了解直角三角形，等腰直角的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索．連接，求得，，，分別得到，， ，，推導(dǎo)得到，滾動(dòng)一次得到，滾動(dòng)四次得到，滾動(dòng)七次得到，由此得到滾動(dòng)2024次后停止?jié)L動(dòng)，則，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：連接，
由題意得，，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
，
同理，
，
，
滾動(dòng)一次得到，滾動(dòng)四次得到，滾動(dòng)七次得到，
∴滾動(dòng)2024次后停止?jié)L動(dòng)，則時(shí)，，
故答案為：．
【對(duì)點(diǎn)變式練1】（2024西藏一模）按一定規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：，﹣，，﹣，，﹣，…．則按此規(guī)律排列的第10個(gè)數(shù)是（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
【答案】A
【解析】原數(shù)據(jù)可轉(zhuǎn)化為：，﹣，，﹣，，﹣，…，
∴＝（﹣1）1+1×，
﹣＝（﹣1）2+1×，
＝（﹣1）3+1×，
..．
∴第n個(gè)數(shù)為：（﹣1）n+1，
∴第10個(gè)數(shù)為：（﹣1）10+1×＝﹣．
故選：A．
【對(duì)點(diǎn)變式練2】（2024廣州一模）如圖，用若干根相同的小木棒拼成圖形，拼第1個(gè)圖形需要6根小木棒，拼第2個(gè)圖形需要14根小木棒，拼第3個(gè)圖形需要22根小木棒……若按照這樣的方法拼成的第n個(gè)圖形需要2022根小木棒，則n的值為（ ）
A．252B．253C．336D．337
【答案】B
【解析】由題意知，第1個(gè)圖形需要6根小木棒，
第2個(gè)圖形需要6×2+2＝14根小木棒，
第3個(gè)圖形需要6×3+2×2＝22根小木棒，
按此規(guī)律，第n個(gè)圖形需要6n+2（n﹣1）＝（8n﹣2）根小木棒，
當(dāng)8n﹣2＝2022時(shí)，
解得n＝253，故選：B．
【對(duì)點(diǎn)變式練3】（2024湖北孝感一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形①沿x軸正半軸滾動(dòng)并且按一定規(guī)律變換，每次變換后得到的圖形仍是等腰直角三角形．第一次滾動(dòng)后點(diǎn)A1（0，2）變換到點(diǎn)A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滾動(dòng)后點(diǎn)A2變換到點(diǎn)A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滾動(dòng)后點(diǎn)A3變換到點(diǎn)A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滾動(dòng)后點(diǎn)A4變換到點(diǎn)A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此規(guī)律…，則第2020個(gè)等腰直角三角形的面積是_____．
【答案】22020
【解析】根據(jù)A1（0，2）確定第1個(gè)等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面積，根據(jù)A2（6，0）確定第1個(gè)等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面積，…，同理，確定規(guī)律可得結(jié)論．
∵點(diǎn)A1（0，2），∴第1個(gè)等腰直角三角形的面積==2，
∵A2（6，0），∴第2個(gè)等腰直角三角形的邊長(zhǎng)為 =，
∴第2個(gè)等腰直角三角形的面積==4=，
∵A4（10，），∴第3個(gè)等腰直角三角形的邊長(zhǎng)為10?6=4，
∴第3個(gè)等腰直角三角形的面積==8=，…
則第2020個(gè)等腰直角三角形的面積是；故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查坐標(biāo)與圖形變化以及找規(guī)律，熟練掌握方法是關(guān)鍵.
考點(diǎn)1. 代數(shù)式
1. （2024山東煙臺(tái)）若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為________．
【答案】##
【解析】本題考查代數(shù)式有意義，根據(jù)分式的分母不為0，二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，進(jìn)行求解即可．
由題意，得：，
解得：．
2. （2024四川廣安）若，則______．
【答案】7
【解析】本題考查了求代數(shù)式的值．對(duì)已知等式變形得到，再整體代入計(jì)算求解即可．
∵，
∴，
∴，
∴．
3. （2024廣州）若，則______．
【答案】11
【解析】本題考查了已知字母的值求代數(shù)式的值，得出條件的等價(jià)形式是解題關(guān)鍵．
由，得，根據(jù)對(duì)求值式子進(jìn)行變形，再代入可得答案．
，
，
．
4. （2024廣西）如果，，那么的值為（ ）
A. 0B. 1C. 4D. 9
【答案】D
【解析】本題考查因式分解，代數(shù)式求值，先將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，利用整體代入法，求值即可．
∵，，
∴
；故選D．
考點(diǎn)2. 整式及其運(yùn)算
1. （2024貴州?。┯?jì)算的結(jié)果正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題主要考查合并同類項(xiàng)，根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變即可得．
，故選：A．
2. （2024四川德陽(yáng)）若一個(gè)多項(xiàng)式加上，結(jié)果是，則這個(gè)多項(xiàng)式為______．
【答案】
【解析】本題考查整式的加減運(yùn)算，根據(jù)題意“一個(gè)多項(xiàng)式加上，結(jié)果是”，進(jìn)行列出式子：，再去括號(hào)合并同類項(xiàng)即可．
依題意這個(gè)多項(xiàng)式為
．
3. （2024甘肅臨夏）下列各式運(yùn)算結(jié)果為的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題主要考查合并同類項(xiàng)，積的乘方，同底數(shù)冪的乘除法，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相關(guān)運(yùn)算法則對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算，并判斷，即可解題．
A、與不是同類項(xiàng)，不能合并，故不符合題意；
B、，符合題意；
C、，不符合題意；
D、，不符合題意；故選：B．
4. （2024河南省）計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查的是乘方的含義，冪的乘方運(yùn)算的含義，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，再利用冪的乘方運(yùn)算法則可得答案．
【詳解】，故選D
5. （2024湖北省）的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題主要考查單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法．運(yùn)用單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式運(yùn)算法則求出結(jié)果即可判斷．
，故選：D．
6. （2024天津市）計(jì)算結(jié)果為______．
【答案】
【解析】本題考查同底數(shù)冪的除法，掌握同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變，指數(shù)相減是解題的關(guān)鍵．
．
7. （2024河北?。┫铝羞\(yùn)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查整式的運(yùn)算，根據(jù)合并同類項(xiàng)，單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，積的乘方，同底數(shù)冪的除法依次對(duì)各選項(xiàng)逐一分析判斷即可．解題的關(guān)鍵是掌握整式運(yùn)算的相關(guān)法則．
A．，不是同類項(xiàng)，不能合并，故此選項(xiàng)不符合題意；
B．，故此選項(xiàng)不符合題意；
C．，故此選項(xiàng)符合題意；
D．，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．
8. （2024河北?。┤鬭，b是正整數(shù)，且滿足，則a與b的關(guān)系正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方的運(yùn)算的應(yīng)用，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
由題意得：，利用同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方化簡(jiǎn)即可．
【詳解】解：由題意得：，
∴，
∴，故選：A．
9. （2024吉林?。┫然?jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】，6
【解析】本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，平方差公式，先利用平方差公式化簡(jiǎn)，再進(jìn)行合并同類項(xiàng)，最后代入求值即可．
原式
，
當(dāng)時(shí)，
原式
．
10. （2024甘肅威武）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】本題主要考查了整式的化簡(jiǎn)求值，先根據(jù)平方差公式和完全平方公式去小括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)，再根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算法則化簡(jiǎn)，最后代值計(jì)算即可．
，
當(dāng)，時(shí)，原式．
11. （2024福建省）已知實(shí)數(shù)滿足．
（1）求證：為非負(fù)數(shù)；
（2）若均為奇數(shù)，是否可以都為整數(shù)？說(shuō)明你的理由．
【答案】（1）證明見解析； （2）不可能都為整數(shù)，理由見解析．
【解析】本小題考查整式的運(yùn)算、因式分解、等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)：考查運(yùn)算能力、推理能力、創(chuàng)新意識(shí)等，以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析、解決問(wèn)題的能力．
（1）根據(jù)題意得出，進(jìn)而計(jì)算，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（2）分情況討論，①都為奇數(shù)；②為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)，根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件分析即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：因?yàn)椋?br>所以．
則
．
因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，
所以為非負(fù)數(shù)．
【小問(wèn)2詳解】
不可能都為整數(shù)．
理由如下：若都為整數(shù)，其可能情況有：①都為奇數(shù)；②為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)．
①當(dāng)都為奇數(shù)時(shí)，則必為偶數(shù)．
又，所以．
因?yàn)闉槠鏀?shù)，所以必為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾．
②當(dāng)為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)時(shí)，則必為偶數(shù)．
又因?yàn)?，所以?br>因?yàn)闉槠鏀?shù)，所以必為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾．
綜上所述，不可能都為整數(shù)．
考點(diǎn)3. 乘法公式
1. （2024深圳）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了合并同類項(xiàng)，積的乘方，單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，完全平方公式．根據(jù)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，積的乘方，完全平方公式法則進(jìn)行計(jì)算即可求解．
A、，故該選項(xiàng)不符合題意；
B、，故該選項(xiàng)符合題意；
C、，故該選項(xiàng)不符合題意；
D、，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：B．
2. （2024四川成都市）下列計(jì)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本題主要考查了積的乘方運(yùn)算，同類項(xiàng)的合并，完全平方公式以及平方差公式，根據(jù)積的乘方運(yùn)算法則，同類項(xiàng)的合并法則以及完全平方公式以及平方差公式一一計(jì)算判斷即可．
A．，原計(jì)算錯(cuò)誤，故該選項(xiàng)不符合題意；
B．和不是同類項(xiàng)，不能合并，故該選項(xiàng)不符合題意；
C．，原計(jì)算錯(cuò)誤，故該選項(xiàng)不符合題意；
D．，原計(jì)算正確，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．
考點(diǎn)4. 因式分解
1. （2024吉林?。┮蚴椒纸猓篴2﹣3a=_______．
【答案】a（a﹣3）
【解析】直接把公因式a提出來(lái)即可．
a2﹣3a=a（a﹣3）．
2.（2024福建?。┮蚴椒纸猓簒2+x=_____．
【答案】
【解析】要將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的一般步驟是首先看各項(xiàng)有沒(méi)有公因式，若有公因式，則把它提取出來(lái)，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式．因此，直接提取公因式x即可．
3. （2024甘肅威武）因式分解：________．
【答案】
【解析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
本題考查了因式分解，熟練掌握先提取公因式，再套用公式分解是解題的關(guān)鍵．
．
4. （2024江蘇鹽城）分解因式：x2+2x+1=_______
【答案】##
【解析】本題中沒(méi)有公因式，總共三項(xiàng)，其中有兩項(xiàng)能化為兩個(gè)數(shù)的平方和，第三項(xiàng)正好為這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，直接運(yùn)用完全平方和公式進(jìn)行因式分解．
x2+2x+1=（x+1）2
【點(diǎn)睛】本題考查了公式法分解因式，熟記完全平方公式的結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．（1）三項(xiàng)式；（2）其中兩項(xiàng)能化為兩個(gè)數(shù)（整式）平方和的形式；（3）另一項(xiàng)為這兩個(gè)數(shù)（整式）的積的2倍（或積的2倍的相反數(shù)）．
5. （2024江蘇揚(yáng)州）分解因式：_____．
【答案】
【解析】先提取公因式2后繼續(xù)應(yīng)用完全平方公式分解即可：
原式．
6.（2024山東威海） 因式分解：________．
【答案】
【解析】本題主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式展開，然后利用完全平方公式分解因式即可．
．
7. （2024四川達(dá)州）分解因式：3x2﹣18x+27=________．
【答案】3（x﹣3）2
【解析】先提取公因式3，再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行二次分解．
3x2-18x+27，
=3（x2-6x+9），
=3（x-3）2．
8.（2024黑龍江齊齊哈爾）分解因式：
【答案】
【解析】先提公因式，進(jìn)而根據(jù)平方差公式因式分解，即可求解．
原式
考點(diǎn)5. 規(guī)律探索題
1. （2024江蘇揚(yáng)州）1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計(jì)算之書》中記載了一列數(shù)：1，1，2，3，5，……，這一列數(shù)滿足：從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都等于它的前兩個(gè)數(shù)之和．則在這一列數(shù)的前2024個(gè)數(shù)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 676B. 674C. 1348D. 1350
【答案】D
【解析】將這一列數(shù)繼續(xù)寫下去，發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的變化規(guī)律即可解答．
本題主要考查的是數(shù)字規(guī)律類問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【詳解】這一列數(shù)為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
可以發(fā)現(xiàn)每3個(gè)數(shù)為一組，每一組前2個(gè)數(shù)為奇數(shù)，第3個(gè)數(shù)為偶數(shù)．
由于，
即前2024個(gè)數(shù)共有674組，且余2個(gè)數(shù)，
∴奇數(shù)有個(gè)．故選：D
2. （2024山東煙臺(tái)）《周髀算經(jīng)》是中國(guó)現(xiàn)存最早的數(shù)理天文著作．書中記載這樣一道題：“今有女子不善織，日減功遲．初日織五尺，末日織一尺，今三十日織，問(wèn)織幾何？”意思是：現(xiàn)有一個(gè)不擅長(zhǎng)織布的女子，織布的速度越來(lái)越慢，并且每天減少的數(shù)量相同．第一天織了五尺布，最后一天僅織了一尺布，天完工，問(wèn)一共織了多少布？
A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺
【答案】C
【解析】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，由題意可知每天減少的量一樣，由數(shù)的規(guī)律求和即可，讀懂題意，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意得，第一天織布尺，第天織布尺，
∴一共織布（尺），故選：．
3. （2024重慶市A）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，下圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個(gè)氫原子，第2種如圖②有6個(gè)氫原子，第3種如圖③有8個(gè)氫原子，……按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 20B. 22C. 24D. 26
【答案】B
【解析】本題考查數(shù)字的變化類，根據(jù)圖形，可歸納出規(guī)律表達(dá)式的特點(diǎn)，再解答即可．
【詳解】解：由圖可得，
第1種如圖①有4個(gè)氫原子，即
第2種如圖②有6個(gè)氫原子，即
第3種如圖③有8個(gè)氫原子，即
，
第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是：；故選：B．
4. （2024重慶市B）用菱形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有2個(gè)菱形，第②個(gè)圖案中有5個(gè)菱形，第③個(gè)圖案中有8個(gè)菱形，第④個(gè)圖案中有11個(gè)菱形，…，按此規(guī)律，則第⑧個(gè)圖案中，菱形的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 20B. 21C. 23D. 26
【答案】C
【解析】本題考查了圖形類的規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律．利用規(guī)律求解．通過(guò)觀察圖形找到相應(yīng)的規(guī)律，進(jìn)行求解即可．
【詳解】第①個(gè)圖案中有個(gè)菱形，
第②個(gè)圖案中有個(gè)菱形，
第③個(gè)圖案中有個(gè)菱形，
第④個(gè)圖案中有個(gè)菱形，
∴第個(gè)圖案中有個(gè)菱形，
∴第⑧個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)為，故選：C．
5. （2024青海?。┤鐖D是由火柴棒擺成的圖案，按此規(guī)律擺放，第（7）個(gè)圖案中有________個(gè)火柴棒．

【答案】15
【解析】本題考查圖形類規(guī)律探究．根據(jù)題意得到第（1）、（2）、（3）個(gè)圖形中火柴棒的數(shù)量，由此可得第（n）個(gè)圖形有根火柴棒，即可．
根據(jù)題意得：第（1）個(gè)圖形有根火柴棒，
第（2）個(gè)圖形有根火柴棒，
第（3）個(gè)圖形有根火柴棒，
……
第（n）個(gè)圖形有根火柴棒，
∴第（7）個(gè)圖案中有根火柴棒，故答案為：15
6. （2024四川德陽(yáng)）將一組數(shù)，按以下方式進(jìn)行排列：
則第八行左起第1個(gè)數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．求出第七行共有28個(gè)數(shù)，從而可得第八行左起第1個(gè)數(shù)是第29個(gè)數(shù)，據(jù)此求解即可得．
由圖可知，第一行共有1個(gè)數(shù)，第二行共有2個(gè)數(shù)，第三行共有3個(gè)數(shù)，
歸納類推得：第七行共有個(gè)數(shù)，
則第八行左起第1個(gè)數(shù)是，故選：C．
7. （2024四川德陽(yáng)）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，甲組同學(xué)給乙組同學(xué)出示了一個(gè)探究問(wèn)題：把數(shù)字1至8分別填入如圖的八個(gè)圓圈內(nèi)，使得任意兩個(gè)有線段相連的圓圈內(nèi)的數(shù)字之差的絕對(duì)值不等于1．經(jīng)過(guò)探究后，乙組的小高同學(xué)填出了圖中兩個(gè)中心圓圈的數(shù)字a、b，你認(rèn)為a可以是______（填上一個(gè)數(shù)字即可）．
【答案】1##8
【解析】本題考查了數(shù)字規(guī)律，理解題意是解題的關(guān)鍵．由于兩個(gè)中心圓圈有6根連線，數(shù)字1至8，共有8個(gè)數(shù)字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一個(gè)數(shù)字填在中心位置，那么與其相鄰的2個(gè)數(shù)字均不能出現(xiàn)在與中心圓圈相連的6個(gè)圓圈中，否則不滿足任意兩個(gè)有線段相連的圓圈內(nèi)的數(shù)字之差的絕對(duì)值不等于1，故只剩下5個(gè)數(shù)字可選，不滿足6個(gè)空的圓圈需要填入，故中心圓圈只能是1或者8．
【詳解】 兩個(gè)中心圓圈分別有6根連線，數(shù)字1至8，共有8個(gè)數(shù)字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一個(gè)數(shù)字填在中心位置，那么與其相鄰的2個(gè)數(shù)字均不能出現(xiàn)在與中心圓圈相連的6個(gè)圓圈中，故只剩下5個(gè)數(shù)字可選，不滿足6個(gè)空的圓圈需要填入．
位于兩個(gè)中心圓圈的數(shù)字a、b，只可能是1或者8．
8. （2024四川成都市）在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)這個(gè)自然數(shù)中，任取兩數(shù)之和大于的取法種數(shù)進(jìn)行了探究．發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，只有一種取法，即；當(dāng)時(shí)，有和兩種取法，即；當(dāng)時(shí)，可得；……．若，則的值為______；若，則的值為______．
【答案】 ①9 ②144
【解析】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究，理解題意，能夠從特殊到一般，得到當(dāng)n為偶數(shù)或奇數(shù)時(shí)的不同取法是解答的關(guān)鍵．先根據(jù)前幾個(gè)n值所對(duì)應(yīng)k值，找到變化規(guī)律求解即可．
【詳解】當(dāng)時(shí)，只有一種取法，則；
當(dāng)時(shí)，有和兩種取法，則；
當(dāng)時(shí)，有，，，四種取法，則；
故當(dāng)時(shí)，有，，，，，六種取法，則；
當(dāng)時(shí)，有，，，，，，，，九種取法，則；
依次類推，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，
9. （2024江西?。┯^察a，，，，…，根據(jù)這些式子的變化規(guī)律，可得第100個(gè)式子為______．
【答案】
【解析】此題考查了單項(xiàng)式規(guī)律探究．分別找出系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律，據(jù)此判斷出第n個(gè)式子是多少即可．
∵a，，，，…，
∴第n個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是1；
∵第1個(gè)、第2個(gè)、第3個(gè)、第4個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)分別是1、2、3、4，…，
∴第n個(gè)式子是．
∴第100個(gè)式子是．
10. （2024云南?。┌匆欢ㄒ?guī)律排列的代數(shù)式：，，，，，，第個(gè)代數(shù)式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查了數(shù)列的規(guī)律變化，根據(jù)數(shù)列找到變化規(guī)律即可求解，仔細(xì)觀察和總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
∵按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：，，，，，，
∴第個(gè)代數(shù)式是，故選：．
11. （2024四川眉山）已知（且），，則的值為______．
【答案】
【解析】此題考查了分式的混合運(yùn)算，利用分式的運(yùn)算法則計(jì)算得到每三個(gè)為一個(gè)循環(huán)，分別為，，，進(jìn)一步即可求出．
【詳解】，
，
，
，
，
，
……，
由上可得，每三個(gè)為一個(gè)循環(huán)，
，
．
12. （2024重慶市B）已知整式，其中為自然數(shù)，為正整數(shù)，且．下列說(shuō)法：
①滿足條件的整式中有5個(gè)單項(xiàng)式；
②不存在任何一個(gè)，使得滿足條件的整式有且只有3個(gè)；
③滿足條件的整式共有16個(gè)．
其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】本題考查的是整式的規(guī)律探究，分類討論思想的應(yīng)用，由條件可得，再分類討論得到答案即可．
∵為自然數(shù)，為正整數(shù)，且，
∴，
當(dāng)時(shí)，則，
∴，，
滿足條件的整式有，
當(dāng)時(shí)，則，
∴，，，，
滿足條件的整式有：，，，，
當(dāng)時(shí)，則，
∴，，，，，，
滿足條件的整式有：，，，，，；
當(dāng)時(shí)，則，
∴，，，，
滿足條件的整式有：，，，；
當(dāng)時(shí)，，
滿足條件的整式有：；
∴滿足條件的單項(xiàng)式有：，，，，，故①符合題意；
不存在任何一個(gè)，使得滿足條件的整式有且只有3個(gè)；故②符合題意；
滿足條件的整式共有個(gè)．故③符合題意；故選D
13. （2024黑龍江大慶）如圖①，直角三角形的兩個(gè)銳角分別是40°和50°，其三邊上分別有一個(gè)正方形．執(zhí)行下面的操作：由兩個(gè)小正方形向外分別作銳角為40°和50°的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長(zhǎng)作正方形．圖②是1次操作后的圖形．圖③是重復(fù)上述步驟若干次后得到的圖形，人們把它稱為“畢達(dá)哥拉斯樹”．若圖①中的直角三角形斜邊長(zhǎng)為2，則10次操作后圖形中所有正方形的面積和為______．
【答案】48
【解析】本題主要考查了圖形規(guī)律，直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識(shí)．根據(jù)題意分別計(jì)算出圖①、圖②和圖③的面積，得出規(guī)律即可求解．
【詳解】解：圖①中，∵，
根據(jù)勾股定理得，，
∴圖①中所有正方形面積和為：，
圖②中所有正方形面積和，即1次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：
，
圖③中所有正方形面積和，即2次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：
，
?
∴n次操作后的圖形中所有正方形的面積和為，
∴10次操作后的圖形中所有正方形的面積和為
14. （2024黑龍江綏化）如圖，已知，，，，，，，…，依此規(guī)律，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．
【答案】
【解析】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意推導(dǎo)出一般性規(guī)律．根據(jù)題意可知個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為一個(gè)循環(huán)，的坐標(biāo)為，據(jù)此可求得的坐標(biāo)．
【詳解】∵，，，，，，，…，，
∴可知個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為一個(gè)循環(huán)，的坐標(biāo)為，
∵，
∴的坐標(biāo)為．
∴的坐標(biāo)為．
15. （2024武漢市）如圖，小好同學(xué)用計(jì)算機(jī)軟件繪制函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)它關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱．若點(diǎn)，，，……，，都在函數(shù)圖象上，這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)從開始依次增加，則的值是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】D
【解析】本題是坐標(biāo)規(guī)律題，求函數(shù)值，中心對(duì)稱的性質(zhì)，根據(jù)題意得出，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求，根據(jù)題意可得，，即可求解．
∵這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)從開始依次增加，
∴，
∴，
∴，而即，
∵，
當(dāng)時(shí)，，即，
∵關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)為，
即當(dāng)時(shí)，，
∴，故選：D．
16. （2024四川廣安）已知，直線與軸相交于點(diǎn)，以為邊作等邊三角形，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線與直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），以同樣的方式依次作等邊三角形，等邊三角形，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______．
【答案】
【解析】
直線直線可知，點(diǎn)坐標(biāo)為，可得，由于是等邊三角形，可得點(diǎn)，把代入直線解析式即可求得的橫坐標(biāo)，可得，由于是等邊三角形，可得點(diǎn)；同理，，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可得解，準(zhǔn)確發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)與字母的序號(hào)之間的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵直線l：與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，
過(guò)，，作軸交x軸于點(diǎn)M，軸交于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)N，

∵為等邊三角形，
∴ ∴，
∴ ∴，
當(dāng)時(shí)，，解得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，解得：，
∴；
而，
同理可得：的橫坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)，特殊圖形點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律，掌握探究的方法是解本題的關(guān)鍵.
考點(diǎn)1. 代數(shù)式
1．下列說(shuō)法中，不能表示代數(shù)式“5x”意義的是（ ）
A．x的5倍B．5個(gè)x相乘C．5個(gè)x相加D．5的x倍
【答案】B
【解析】本題考查了代數(shù)式的意義，代數(shù)式“5x”意義是5與x相乘，根據(jù)乘法的意義即可判斷．
代數(shù)式“5x”意義是5與x相乘，故選項(xiàng)A、C、D正確，
而5個(gè)x相乘表示x?x?x?x?x=x5，故選項(xiàng)B不能表示代數(shù)式“5x”的意義．故選：B．
2. 數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀起來(lái)并且具有可操作性，從而可以幫助我們進(jìn)行推理，獲得結(jié)論．初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)恒等式，很多都可以借助幾何圖形進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋．請(qǐng)結(jié)合相關(guān)知識(shí)，解答下列問(wèn)題：

(1)如圖1是由4個(gè)大小相同，長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形圍成的邊長(zhǎng)為的正方形，用含字母a，b的代數(shù)式表示出陰影部分的面積．
①通過(guò)計(jì)算陰影部分正方形的邊長(zhǎng)，求陰影部分的面積，可列代數(shù)式：________；
②通過(guò)用較大正方形的面積減去4個(gè)小長(zhǎng)方形的面積，求陰影部分的面積，可列代數(shù)式：_________；
(2)根據(jù)圖1中的陰影部分的面積關(guān)系寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：_____________；
(3)若，，求圖2中陰影部分的面積．
【答案】(1)①；②；；(2)；(3)．
【分析】（1）①根據(jù)題意，求得陰影部分正方形的邊長(zhǎng)，即可求解；②求得大正方形的面積和四個(gè)小長(zhǎng)方形的面積，即可求解；
（2）由（1）即可得出恒等式；
（3）利用正方形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積得到陰影部分的面積，將，代入，即可求解．
解：①由題意可得，陰影部分正方形的邊長(zhǎng)為，則面積為，
故答案為：
②大正方形的面積為，
四個(gè)長(zhǎng)方形的面積為：，
則陰影部分的面積為；
故答案為：；
（2）由（1）可得：，
故答案為：
（3）陰影部分的面積為：
將，代入可得：
原式
．
【點(diǎn)撥】此題考查了列代數(shù)式，代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是通過(guò)不同方式求解出陰影部分的面積．
3. 已知是八次單項(xiàng)式，求代數(shù)式3a+3b-12的值．
【答案】24
【解析】根據(jù)八次單項(xiàng)式的定義得到a+b﹣4=8，則a+b=12，將其整體代入所求的代數(shù)式進(jìn)行求值．
由題意得：a+b﹣4=8，則a+b=12，
所以3a+3b﹣12=3（a+b）﹣12=24．
4. 若x?2y=1，則代數(shù)式3x?6y+4的值為（ ）
A．7B．1C．?5D．13
【答案】A
【解析】本題主要考查了求代數(shù)式的值．根據(jù)題意可得3x?6y+4=3(x?2y)+4，整體代入即可求解．
3x?6y+4=3(x?2y)+4=3×1+4=7，故選A．
5. 閱讀材料：整體代值是數(shù)學(xué)中常用的方法．例如“已知3a﹣b＝2，求代數(shù)式6a﹣2b﹣1的值．”可以這樣解：6a﹣2b﹣1＝2（3a﹣b）﹣1＝2×2﹣1＝3．根據(jù)閱讀材料，解決問(wèn)題：若x＝2是關(guān)于x的一元一次方程ax+b＝3的解，則代數(shù)式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是 ．
【答案】14
【解析】∵x＝2是關(guān)于x的一元一次方程ax+b＝3的解，
∴2a+b＝3，
∴b＝3﹣2a，
∴4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1
＝4a2+4a（3﹣2a）+（3﹣2a）2+4a+2（3﹣2a）﹣1
＝4a2+12a﹣8a2+9﹣12a+4a2+4a+6﹣4a﹣1
＝14．
解法二：原式＝（2a+b）2+2（2a+b）﹣1＝32+2×3﹣1＝14
6. 若多項(xiàng)式是關(guān)于x、y的三次三項(xiàng)式；單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的次數(shù)相同，求代數(shù)式的值．
【答案】100
【解析】根據(jù)單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的次數(shù)的定義可知2a+2=1，b-1=2，求出a和b的值，將代數(shù)式化簡(jiǎn)后代入a和b的值計(jì)算即可．
∵是關(guān)于x、y的三次三項(xiàng)式，
∴2a+2=1，解得：a=，
∵與的次數(shù)相同，
∴b-1=2，解得：b=3，


=100．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的次數(shù)的定義，代數(shù)式的值，掌握“單項(xiàng)的次數(shù)是每個(gè)字母的指數(shù)和，多項(xiàng)式的次數(shù)是次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)”是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)2 整式及其運(yùn)算
1．設(shè)有邊長(zhǎng)分別為a和b（a＞b）的A類和B類正方形紙片、長(zhǎng)為a寬為b的C類矩形紙片若干張．如圖所示要拼一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b的正方形，需要1張A類紙片、1張B類紙片和2張C類紙片．若要拼一個(gè)長(zhǎng)為3a+b、寬為2a+2b的矩形，則需要C類紙片的張數(shù)為（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【解析】用長(zhǎng)乘寬，列出算式，根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則展開，然后根據(jù)A、B、C類卡片的形狀可得答案．
∵（3a+b）（2a+2b）
＝6a2+6ab+2ab+2b2
＝6a2+8ab+2b2，
∴若要拼一個(gè)長(zhǎng)為3a+b、寬為2a+2b的矩形，則需要C類紙片的張數(shù)為8張．
故選：C．
本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式在幾何圖形問(wèn)題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并明確多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)3 乘法公式
1．已知a+b＝4，a﹣b＝2，則a2﹣b2的值為 ．
【答案】8
【解析】∵a+b＝4，a﹣b＝2，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
＝4×2
＝8， 故答案為：8．
考點(diǎn)4 因式分解
1．下列因式分解正確的是（ ）
A．2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2
B．a(chǎn)2+ab+a＝a（a+b）
C．4a2﹣b2＝（4a+b）（4a﹣b）
D．a(chǎn)3b﹣ab3＝ab（a﹣b）2
【答案】A
【解析】利用提公因式法、公式法逐個(gè)分解得結(jié)論．
A選項(xiàng)，2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2，故該選項(xiàng)符合題意；
B選項(xiàng)，a2+ab+a＝a（a+b+1），故該選項(xiàng)不符合題意；
C選項(xiàng)，4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），故該選項(xiàng)不符合題意；
D選項(xiàng)，a3b﹣ab3＝ab（a2﹣b2）＝ab（a+b）（a﹣b），故該選項(xiàng)不符合題意．
故選：A．
本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解決本題的關(guān)鍵．
2．分解因式：4a2﹣1＝（ ）
A．（2a﹣1）（2a+1）B．（a﹣2）（a+2）
C．（a﹣4）（a+1）D．（4a﹣1）（a+1）
【答案】A
【解析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
4a2﹣1＝（2a）2﹣12
＝（2a﹣1）（2a+1）．
故選：A．
此題主要考查了公式法分解因式，正確運(yùn)用平方差公式分解因式是解題關(guān)鍵．
3. 把多項(xiàng)式4x2﹣2x﹣y2﹣y用分組分解法分解因式，正確的分組方法應(yīng)該是（ ）
A. （4x2﹣y）﹣（2x+y2） B. （4x2﹣y2）﹣（2x+y）
C. 4x2﹣（2x+y2+y） D. （4x2﹣2x）﹣（y2+y）
【答案】B
【解析】把第一、三項(xiàng)為一組，利用平方差公式分解因式，二四項(xiàng)為一組，整理后再利用提公因式法分解因式即可．
原式=4x2﹣2x﹣y2﹣y
=（4x2﹣y2）﹣（2x+y）
=（2x﹣y）（2x+y）﹣（2x+y）
=（2x+y）（2x﹣y﹣1）．
4. 分解因式：___．
【答案】
【解析】直接提取公因式即可
．
故答案為: .
5．分解因式：x2﹣9y2＝ ．
【答案】（x﹣3y）（x+3y）
【解析】原式＝（x﹣3y）（x+3y）．
故答案為：（x﹣3y）（x+3y）
6．把多項(xiàng)式m2n+6mn+9n分解因式的結(jié)果是 ．
【答案】n（m+3）2．
【解析】直接提取公因式n，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
原式＝n（m2+6m+9）
＝n（m+3）2．
7.分解因式：x2y﹣2xy2+y3＝
【答案】y（x﹣y）2
【解析】∵x2y﹣2xy2+y3＝y(tǒng)（x2﹣2xy+y2）＝y(tǒng)（x﹣y）2．
故答案為：y（x﹣y）2．
8.先閱讀以下材料，然后解答問(wèn)題．
分解因式mx+nxmy+ny=（mx+nx）+（my+ny）=x（m+n）+y（m+n）=（m+n）（x+y）；
也可以mx+nxmy+ny=（mx+my）+（ nx+ny）=m（x+y）+n（x+y）=（m+n）（x+y）．
以上分解因式的方法稱為分組分解法．請(qǐng)用分組分解法分解因式：a3﹣b3+a2b﹣ab2 ．
【答案】見解析。
【解析】a3﹣b3+a2b﹣ab2
=（a3+a2b）﹣（b3+ab2）
=a2（a+b）﹣b2（b+a）
=（a+b）（a2﹣b2）
=（a+b）2（a﹣b）．
9．x5﹣1＝ ．
【答案】(x﹣1)( x4+ x3+ x2+ x+1)
【解析】利用填項(xiàng)、分組、提出公因式法分解因式得出答案．
x5﹣1
＝x5﹣x4+x4﹣1
＝（x5﹣x4）+（x4﹣1）
＝x4（x﹣1）+（x2+1）（x2﹣1）
＝x4（x﹣1）+（x2+1）（x+1）（x﹣1）
=（x﹣1）[x4+（x2+1）（x+1）]
=（x﹣1）[x4+（x3+ x2+x+1）]
=（x﹣1）(x4+x3+ x2+x+1）
10. 八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：
將因式分解．
【觀察】經(jīng)過(guò)小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無(wú)法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）
【類比】
（1）請(qǐng)用分組分解法將因式分解；
【挑戰(zhàn)】
（2）請(qǐng)用分組分解法將因式分解；
【應(yīng)用】
（3）“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗(yàn)證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a和，斜邊長(zhǎng)是3，小正方形的面積是1．根據(jù)以上信息，先將因式分解，再求值．
【答案】（1）
（2）
（3），9
【解析】【分析】（1）直接將前兩項(xiàng)和后兩項(xiàng)組合，利用平方差公式再提取公因式，進(jìn)而分解因式即可；
（2）先分組，利用完全平方公式再提取公因式，進(jìn)而分解因式即可；
（3）分組，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面積得到，，整體代入得出答案即可．
【詳解】（1）
；
（2）
；
（3）
，
∴根據(jù)題意得，，
∴原式．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了分組分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的應(yīng)用，正確分組再運(yùn)用公式法分解因式是解題關(guān)鍵．
考點(diǎn)5 規(guī)律探索
1．相傳古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問(wèn)題．他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子來(lái)表示數(shù)，比如，他們研究過(guò)1、3、6、10、15、……，由于這些數(shù)可以用圖中所示的三角點(diǎn)陣表示，他們就將每個(gè)三角點(diǎn)陣中所有的點(diǎn)數(shù)和稱為三角數(shù)．若三角數(shù)為5050，則n的值為 ．
【答案】100
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用及數(shù)字規(guī)律，總結(jié)數(shù)字規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)第1個(gè)三角點(diǎn)數(shù)和為1=1×1+12，第2個(gè)三角點(diǎn)數(shù)和為3=2×2+12，第3個(gè)三角點(diǎn)數(shù)和為6=3×3+12，第4個(gè)三角點(diǎn)數(shù)和為10=4×4+12，第5個(gè)三角點(diǎn)數(shù)和為15=5×5+12，總結(jié)得到第n個(gè)三角形數(shù)和為n(n+1)2，從而列出一元二次方程求解即可．
【詳解】解：第1個(gè)三角點(diǎn)數(shù)和為1=1×1+12，
第2個(gè)三角點(diǎn)數(shù)和為3=2×2+12，
第3個(gè)三角點(diǎn)數(shù)和為6=3×3+12，
第4個(gè)三角點(diǎn)數(shù)和為10=4×4+12，
第5個(gè)三角點(diǎn)數(shù)和為15=5×5+12，
??
∴第n個(gè)三角形數(shù)和為n(n+1)2，
n(n+1)2=5050，
解得n=100或n=?101（舍去），
故答案為100．
2．如圖，某鏈條每節(jié)長(zhǎng)為2.8cm，每?jī)晒?jié)鏈條相連接部分重疊的圓的直徑為1cm，按這種連接方式，50節(jié)鏈條總長(zhǎng)度為 cm．
【答案】91
【解析】由題意得：
1節(jié)鏈條的長(zhǎng)度＝2.8cm，
2節(jié)鏈條的總長(zhǎng)度＝[2.8+（2.8﹣1）]cm，
3節(jié)鏈條的總長(zhǎng)度＝[2.8+（2.8﹣1）×2]cm，
..．
∴50節(jié)鏈條總長(zhǎng)度＝[2.8+（2.8﹣1）×49]＝91（cm），
故答案為：91．
3．1261年，我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數(shù)表，人們將這個(gè)數(shù)表稱為“楊輝三角”．
觀察“楊輝三角”與右側(cè)的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，（a+b）7展開的多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為 ．
【答案】128
【解析】根據(jù)圖示可得出一般規(guī)律，利用規(guī)律計(jì)算即可．
∵（a+b）0＝1，系數(shù)之和是20＝1；
（a+b）1＝a+b，系數(shù)之和是21＝2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，系數(shù)之和是22；
……
（a+b）n，展開各項(xiàng)系數(shù)之和是2n．
∴（a+b）7展開各項(xiàng)的系數(shù)之和為27＝128．
故答案為：128．
本題考查了完全平方公式的延伸應(yīng)用，屬于規(guī)律性探究題型，從特殊到一般規(guī)律的推出是數(shù)學(xué)探究的常用方法．
4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正方形OA1B1C1的兩邊在坐標(biāo)軸上，以它的對(duì)角錢OB1為邊作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的對(duì)角線OB2為邊作正方形OB2B3C3……以此類推，則正方形OB2020B2021C2021的頂點(diǎn)B2021的坐標(biāo)是________．
【答案】（-21011，-21011）
【分析】首先先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9、B10的坐標(biāo)，找出這些坐標(biāo)之間的規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律計(jì)算出點(diǎn)B2021的坐標(biāo)．
【詳解】∵正方形OA1B1C1的邊長(zhǎng)為2，∴OB1=2，點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（2，2）
∴OB2=2×=4 ∴B2（0，4），同理可知B3（-4，4），B4（-8，0），B5（-8，-8），B6（0，-16），B7（16，-16），B8（32，0），B9（32，32），B10（0，64）．
由規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)B1在第一象限角平分線上、B2在y軸正半軸上、B3在第二象限角平分線上、B4在x軸負(fù)半軸上、B5在第三象限角平分線上、B6在y軸負(fù)半軸上、B7在第四象限角平分線上、B8在x軸正半軸上、B9在第一象限角平分線上、B10在y軸正半軸上，每經(jīng)過(guò)8次作圖后，點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)與第一次坐標(biāo)的符號(hào)相同，每次正方形的邊長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，∵2021÷8=252??5，
∴B2021和B5都在第三象限角平分線上，且OB2021=2×=2×21010×=21011×
∴點(diǎn)B2021到x軸和y軸的距離都為21011×÷=21011．
∴B2021（-21011，-21011）故答案為：（-21011，-21011）．
【點(diǎn)睛】此題考查的是一個(gè)循環(huán)規(guī)律歸納的題目，解答此題的關(guān)鍵是確定幾個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為一個(gè)循環(huán)，再確定規(guī)律即可．
5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)O出發(fā)，按向上，向右，向下，向右的方向不斷地移動(dòng)，每移動(dòng)一個(gè)單位，得到點(diǎn)A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么點(diǎn)A2020的坐標(biāo)為________________．
【答案】(1010,0)
【解析】根據(jù)圖形分別求出n=1、2、3時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)An的坐標(biāo)，然后根據(jù)變化規(guī)律寫出即可．
觀察圖形，除A1、A2、A3外，每隔4次則循環(huán)出現(xiàn)在正方形的四個(gè)頂點(diǎn)處，故：
且(2020-3)÷4=504余1，故A2020位于正方形的左下角處。
由圖可知，點(diǎn)A4（2，0），點(diǎn)A8（4，0），點(diǎn)A12（6，1），…故A4n的坐標(biāo)為(2n，0).
所以，點(diǎn)A2020的坐標(biāo)為 (1010，0)，故答案為：(1010,0).
【點(diǎn)睛】本題考查了找規(guī)律中的周期問(wèn)題，周期問(wèn)題中余1則和周期中的第1個(gè)數(shù)相同，余2則和周期中的第2個(gè)數(shù)相同，……，整除則和周期中的最后一個(gè)數(shù)相同.
6．已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，按如圖所示擺放．點(diǎn)A2，A3，A5，…都在x軸正半軸上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，則點(diǎn)A2023的坐標(biāo)是 ．
【答案】（2023，）．
【解析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)以及三角形的排列規(guī)律可得點(diǎn)A1橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)A2橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)A3橫坐標(biāo)為3，點(diǎn)A4橫坐標(biāo)為4，…因此點(diǎn)A2023橫坐標(biāo)為2023，再根據(jù)這些正三角形的排列規(guī)律得出點(diǎn)A2023在第一象限，求出點(diǎn)A2023的縱坐標(biāo)為，得出答案．
如圖，過(guò)點(diǎn)A1，A4，A7，A10，A13，……A2023分別作x軸的垂線，
∵△A1A2O是邊長(zhǎng)為2正三角形，
∴OB＝BA2＝1，A1B＝＝，
∴點(diǎn)A1橫坐標(biāo)為1，
由題意可得，點(diǎn)A2橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)A3橫坐標(biāo)為3，點(diǎn)A4橫坐標(biāo)為4，…
因此點(diǎn)A2023橫坐標(biāo)為2023，
∵2023÷3＝674……1，而674是偶數(shù)，
∴點(diǎn)A2023在第一象限，
∴點(diǎn)A2023的縱坐標(biāo)為，
即點(diǎn)A2023（2023，），
故答案為：（2023，）．
考查正三角形的性質(zhì)以及點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律性，掌握正三角形的性質(zhì)和點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
7. 如圖，四邊形OABC1是正方形，曲線C1C2C3C4C5?叫作“正方形的漸開線”，其中C1C2，C2C3，C3C4，C4C5，…的圓心依次按O，A，B，C1循環(huán)．當(dāng)OA=1時(shí)，點(diǎn)C2023的坐標(biāo)是( )

A．(?1，?2022) B．(?2023，1)C．(?1，?2023)D．(2022，0)
【答案】A
【解析】由題得點(diǎn)的位置每4個(gè)一循環(huán)，經(jīng)計(jì)算得出C2023在第三象限，與C3，C7，C11，…符合同一規(guī)律，探究出C3，C7，C11，...的規(guī)律即可．
由圖得C1(0，1)，C2(1，0)，C3(?1，?2)，C4(?4，0)，C5(0，5)，C6(5，0)，C7(?1，?6)，…
點(diǎn)C的位置每4個(gè)一循環(huán)，
2023=505×4+3，
∴C2023在第三象限，與C3，C7，C11，…
符合規(guī)律(?1，?n+1)，
∴C2023坐標(biāo)為(?1，?2022)．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律的探究，理解題意求出坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．
考點(diǎn)分布
考查頻率
命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 代數(shù)式
☆☆
數(shù)學(xué)中考中，有關(guān)代數(shù)式與整式部分，每年考查2~3道題,分值為3~9分，通常以選擇題、填空題、解答題的形式考查。則5各考點(diǎn)在全國(guó)各省市真題試卷中都有體現(xiàn)，是必考內(nèi)容，有的省市把規(guī)律探索作為選擇題或者填空題的壓軸題出現(xiàn)，因式分解是中考熱點(diǎn)問(wèn)題，所以復(fù)習(xí)時(shí)要認(rèn)真對(duì)待，打牢基礎(chǔ)，掌握解題方法。
考點(diǎn)2 整式及其運(yùn)算
☆☆☆
考點(diǎn)3 乘法公式
☆☆
考點(diǎn)4 因式分解
☆☆☆
考點(diǎn)5 規(guī)律探索題
☆

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