1.4 二次根式
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表?？键c，☆星表示中頻考點。
夯實基礎(chǔ)
考點1. 二次根式的有關(guān)概念及性質(zhì)
1.二次根式的概念
我們把形如的式子叫做二次根式．其中符號“”叫做二次根號，二次根號下的數(shù)叫做_______．注意：a可以是數(shù)，也可以是式.
2.二次根式有意義的條件
要使二次根式eq \r(a)在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，即需滿足被開方數(shù)_____，列不等式求解即可.若二次根式為分母或二次根式為分式的分母時，應(yīng)同時考慮分母不為_____。
3. 最簡二次根式：_______所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．
4. 同類二次根式： 化成最簡二次根式后，被開方數(shù)______的幾個二次根式，叫做同類二次根式．
5．二次根式的性質(zhì)
（1）≥ 0（≥0）(二次根式雙重______)；
【解讀】二次根式eq \r(a)中,a≥0且eq \r(a) ≥0, 即為二次根式的雙重非負(fù)性。
1）正數(shù)和零叫做非負(fù)數(shù)．常見的非負(fù)數(shù)有|a|，a2，(a≥0)．
2）若幾個非負(fù)數(shù)的和等于零，則這幾個數(shù)都為零．
如：若a2+|b|+=0，則a2=0，|b|=0，=0，可得a=b=c=0．中考經(jīng)常出現(xiàn)利用這個性質(zhì)來解決問題。
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【方法總結(jié)】歸納總結(jié)二次根式問題考點類型及解題方法（十分重要）
【類型1】判斷根式是否是二次根式。判斷一個式子是不是二次根式，要看所給的式子是否具備以下條件：(1)帶二次根號“eq \r( )”；(2)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．
【類型2】 根據(jù)二次根式有意義求字母的取值范圍。含二次根式的式子有意義的條件：
(1)如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)；(2)如果所給式子中含有分母，則除了保證二次根式中的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．
【類型3】 利用二次根式的非負(fù)性求解。二次根式和絕對值都具有非負(fù)性，幾個非負(fù)數(shù)的和為0，這幾個非負(fù)數(shù)都為0.
【類型4】和二次根式有關(guān)的規(guī)律探究性問題。解答規(guī)律探究性問題，都要通過仔細(xì)觀察找出字母和數(shù)之間的關(guān)系，通過閱讀找出題目隱含條件并用關(guān)系式表示出來．
考點2. 二次根式的運算
1.二次根式的加減
（1）二次根式的加減：二次根式加減時，可以先將二次根式化為_____的二次根式，再將被開方數(shù)相同的根式進(jìn)行合并。
（2）二次根式的混合運算
1)明確運算的順序，即先乘方、開方，再乘除，最后算加減，有括號先算括號里；
2)整式、分式中的運算律、運算法則及乘法公式在二次根式的混合運算中也同樣適用。
2.二次根式的乘除
乘法法則：；
除法法則：．
3.二次根式的混合運算
二次根式的混合運算順序與實數(shù)的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號的先算括號內(nèi)的．在運算過程中，乘法公式和有理數(shù)的運算律在二次根式的運算中仍然適用．
【補充拓展】分母有理化
1.分母有理化的概念：
把分母中的______化去，叫做分母有理化。
2.常見類型：
常見類型一：．
常見類型二：．
其中，我們稱是的“有理化因子”，是的“有理化因子”．分母有理化的關(guān)鍵是找到分母的“有理化因子”．
3.有理化因式的概念：
兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式。
注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它們可以相差一個倍數(shù)。
4.熟記一些常見的有理化因式：
的有理化因式是；
的有理化因式是；
的有理化因式是；
的有理化因式是；
的有理化因式是。
5.分母有理化十法
分母有理化是一種極其重要的恒等變形，它廣泛應(yīng)用于根式的計算和化簡，除掌握基本方法外，需根據(jù)不同題的特點，靈活應(yīng)用解法，講求技巧，以達(dá)化難為易，化繁為簡的目的。
通常有約分法、通分法、平方法、配方法、拆解法等十種方法。
【二次根式加減乘除運算方法總結(jié)】
【類型1】被開方數(shù)相同的最簡二次根式。根據(jù)同類二次根式的概念求待定字母的值時，應(yīng)該根據(jù)同類二次根式的概念建立方程或方程組求解．
【類型2】 二次根式的加減運算。二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并時系數(shù)相加減，根式不變．
【類型3】 二次根式的化簡求值?；喦笾禃r一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時不能跨度太大，缺少必要的步驟易造成錯解．
【類型4】 二次根式加減運算在實際生活中的應(yīng)用。利用二次根式來解決生活中的問題，應(yīng)認(rèn)真分析題意，注意計算的正確性與結(jié)果的要求．
【二次根式的乘法類型題及解題方法總結(jié)】
【類型1】 二次根式的乘法法則成立的條件。運用二次根式的乘法法則：eq \r(a)·eq \r(b)＝eq \r(ab)(a≥0，b≥0)，必須注意被開方數(shù)均是非負(fù)數(shù)這一條件．
【類型2】 二次根式的乘法運算。在運算過程中要注意根號前的因數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時，必須化成假分?jǐn)?shù)，如果被開方數(shù)有能開得盡方的因數(shù)或因式，可先將二次根式化簡后再相乘．
【類型3】積的算術(shù)平方根的性質(zhì)。利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)可以對二次根式進(jìn)行化簡．
主要運用公式eq \r(ab)＝eq \r(a)·eq \r(b)(a≥0，b≥0)和eq \r(a2)＝a(a≥0)對二次根式進(jìn)行化簡．
【類型4】二次根式乘法的綜合應(yīng)用。把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，列出相應(yīng)的式子進(jìn)行計算，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．
【二次根式的除法問題類型及解題方法總結(jié)】
【類型1】 二次根式的除法運算。利用二次根式的除法法則進(jìn)行計算時，可以用“除以一個不為零的數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”進(jìn)行約分化簡．
【類型2】 二次根式的乘除混合運算。二次根式乘除混合運算的方法與整式乘除混合運算的方法相同，在運算時要注意運算符號和運算順序，若被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，要先將其化為假分?jǐn)?shù)．
【類型3】 利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)確定字母的取值范圍。運用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：eq \r(\f(b,a))＝eq \f(\r(b),\r(a))(a＞0，b≥0)，必須注意被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)且分母不等于零這一條件．
【類型4】 利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡二次根式。被開方數(shù)中的帶分?jǐn)?shù)要化為假分?jǐn)?shù)，被開方數(shù)中的分母要化去，即被開方數(shù)不含分母，從而化為最簡二次根式．
【類型5】最簡二次根式。解決此題的關(guān)鍵是掌握最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．
【類型6】二次根式除法的綜合運用。解決本題的關(guān)鍵是正確運用公式．用二次根式的除法進(jìn)行運算，解這類問題時要注意代入數(shù)據(jù)的單位是否統(tǒng)一．
考點3. 二次根式的估值
1．比較二次根式的大小方法
比較兩個二次根式大小的方法：可_____為比較兩個被開方數(shù)的大小，即將根號外的正數(shù)平方后移到根號內(nèi)，計算出被開方數(shù)后，再比較被開方數(shù)的大小被開方數(shù)大的，其算術(shù)平方根也大.也可以采用平方法.
2.用有理數(shù)估算二次根式的大致范圍
用有理數(shù)估算二次根式的大致范圍時,一般采用“______”法,即用兩個相鄰數(shù)的平方與被開方數(shù)比較,若被開方數(shù)介于這兩個相鄰數(shù)的平方之間,則這個二次根式的值就在這兩個相鄰數(shù)之間,估算的精確度可由相鄰數(shù)的精確度來確定.
3.二次根式估值一般步驟
（1）一般先對根式進(jìn)行平方，如；
（2）找出與平方后所得數(shù)相鄰的兩個完全平方數(shù)，如4

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