2024.12
注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置.
2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.
3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.
1. 復數的共軛復數是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，
的共軛復數是.
故選：A.
2. 已知，，若，則實數的取值構成的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由得.
當時，，滿足；
當時，因為，
所以或，
解得或.
故選：C.
3. 已知數列為等差數列，，為函數的兩個極值點，則（ ）
A. 1B. 3
C. D.
【答案】B
【解析】由得，，
令，得，且不是該方程的根.易知判別式大于0，
因為為函數的兩個極值點，
是方程的兩正根，由韋達定理可得，
，因為為等差數列，所以.
故選：B.
4. 已知點為外接圓的圓心，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因為，所以，，即，
即為的中點，所以是圓的直徑.
又因為，所以是以為直角的等腰直角三角形.
所以，，所以在上的投影向量為.
故選：B.
5. 已知為兩個不同的平面，為兩條不同的直線，則的一個充分不必要條件可以是（ ）
A. 與內所有的直線都垂直B. ，，
C. 與內無數條直線垂直D. ，，
【答案】D
【解析】A項，由直線與平面垂直的定義可知與內所有的直線都垂直是的充要條件，選項A錯；
B項，根據面面垂直的性質定理，缺少條件，
如圖長方體中，
設平面為平面，設平面為平面，直線為，
則，滿足，，，
但，不與平面垂直，故不能推出，
故條件“，，”也不是的充分不必要條件，選項B錯；

C項，如圖長方體中，
設平面為平面，直線為，
則直線與平面內無數條與垂直的直線都垂直，但，不與平面垂直，
故由與內無數條直線垂直不能推出，所以不是的充分不必要條件，選項C錯；

D項，由，，得，又因為，所以；
反之，由推不出，，，
所以，，是的一個充分不必要條件，選項D正確.
故選：D.
6. 把函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把所得曲線向左平移個單位長度，得到函數的圖象，且的圖象關于點中心對稱，則函數的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】對于選項A，若，
則把函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，
可得到，
再把所得曲線向左平移個單位長度，
得到，
由，故圖象不關于點中心對稱，故A錯；
對于選項B，若，
則把函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，
可得到，
再把所得曲線向左平移個單位長度，得到，
由，故圖象不關于點中心對稱，故B錯；
對于選項C，若，
則把函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，
可得到，
再把所得曲線向左平移個單位長度，得到，
由，可知圖象關于點中心對稱，故C正確；
對于選項D，若，
則把函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，
可得到，
再把所得曲線向左平移個單位長度，得到，
由，
故圖象不關于點中心對稱，故D錯.
故選：C.
7. 已知函數，則（ ）
A. B. C. D. 253
【答案】A
【解析】因為，所以，
則，，，
所以.
故選：A.
8. 已知函數的定義域是，其導函數滿足，且有，，則（ ）
A. 1022B. 1024C. 2046D. 2048
【答案】C
【解析】由可得，其中為常數，
令得，又已知，，
則有，即，故，
令，則，.
故數列是以為首項，為公差的等差數列.
所以，
故.
故選：C.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知，為實數，則下列不等式正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】A項，由單調遞增，知，故選項A正確；
B項，時選項B不正確；
C項，由，則，當且僅當時等號成立，
因為，所以等號不成立，故選項C正確；
D項，構造函數，，
所以單調遞增，
又，得，故選項D不正確.
故選：AC.
10. 已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A. 是偶函數B. 是周期函數
C. 關于直線對稱D. 當時，
【答案】BCD
【解析】A項，，
，
得，所以不是偶函數，故選項A錯誤；
B項，，
所以是以為周期的周期函數，故選項B正確；
C項，，
所以關于直線對稱，故選項C正確；
D項，由關于直線對稱，只需看當時，是否成立.
當時，，
所以，即；
又因為，
所以，
所以，即，
所以，故選項D正確.
故選：BCD.
11. 如圖，在三棱錐中，兩兩垂直且，分別為線段上異于端點的動點，滿足，，下列說法正確的是（ ）
A. 三棱錐的外接球的表面積是
B. 當時，線段的最小值是
C. 當時，三棱錐的體積是定值
D. 若空間中的點滿足且，則滿足條件的點所形成的軌跡長度為
【答案】ACD
【解析】A項，三棱錐的外接球即邊長為1的正方體的外接球，其直徑，
所以表面積為，故A正確；
B項，在三棱錐中，
因為兩兩垂直，平面，且，
所以平面.
如圖1所示，在線段上取一點D，使得，
即得且，
再由平面可得平面，而平面，
故.
又因為，所以且，
所以可得，故B錯誤；
C項，因為，所以，即，
又因為，所以，
再由可得，點N到平面的距離等于點D到平面的距離，
故有，
因為平面，所以即為三棱錐的高，
從而，
故三棱錐的體積是定值，故C正確；
D項，由可知動點在以為直徑的球上，
由可知動點也在以為直徑的球上，
故點的軌跡是分別以為直徑的兩球相交所得的圓，設圓心為.
取中點，中點，則即為兩球球心.
則垂直于相交圓所在的平面，由球的對稱性可知，垂足為.
如圖2，如圖在過兩球心的軸截面中，
兩圓相交弦即為相交圓的直徑，則.
其中，，
如圖3，連接，
由平面，平面，則，即.
中，，
所以，則，
所以，如圖2在中，，即相交圓半徑為.
所以點P所形成的軌跡長度即圓周長為，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，則_____.
【答案】
【解析】因為，所以，
所以.
故答案為：.
13. 已知圓錐的表面積為，且它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的體積為_____.
【答案】
【解析】設圓錐底面圓半徑為，母線長為，高為.
如圖，
由側面展開圖是一個半圓可知，，得，即，
又圓錐的表面積為，則得，
故高，
所以圓錐體積.
故答案為：.
14. 已知外接圓的半徑為2，是的面積，分別是三個內角的對邊，若不等式恒成立，則的最大值為_____；點為外接圓上的任意一點，當取得最大值時，的取值范圍是_____.
【答案】①. ②.
【解析】由題意要使不等式恒成立，
則，
由外接圓半徑為，可知當為等邊三角形時，，
且，則有.
下面證明對于任意的三角形都有.
證明過程如下：
由余弦定理與，
則
，即.
當且時等號成立，即為等邊三角形時等號成立，
故.
所以，當取得最大值，為等邊三角形.
如圖所示，取AB的中點D，且，
則有，
由圖可得，
所以的取值范圍是.
故答案為：；.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知數列為正項數列，且，.
（1）求數列的通項公式；
（2）令，求數列的前項和.
解：（1）解法一（構造常數列）：由，且，
可得，
故數列是恒為的常數列，所以，
又因為數列為正項數列，所以.
解法二（累加法）：由題意得：且，
有，，，，
將以上各式相加，得，
將代入上式即得，且當時也成立，所以，
又因為數列為正項數列，所以.
（2）由（1）可得，令，其前項和為，
對任意的，，則，
又因為，
所以.
16. 已知分別為三個內角的對邊，且.
（1）求；
（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
解：（1）根據正弦定理，可化為，
由
.
因，所以，
故有，即有，
因為，所以，
故有，所以.
（2）因為為銳角三角形，由（1）已得，
則有，解得.
由正弦定理可得，
所以有，
所以，
因為，所以，
所以，
所以面積的取值范圍是.
17. 如圖，在正四棱柱中，底面邊長是1，點，，分別在側棱，，上，且，，，四點共面.設直線、與平面所成的角分別為、.
（1）設平面與平面相交于直線，求證：當時，；
（2）當時，求平面與平面所成角的余弦值的最大值.
（1）證明：由，平面，平面
可得，平面，
再由平面，平面平面，
所以，
又因為，
所以四邊形為平行四邊形，
所以.
在正四棱柱中，，均垂直于平面，
所以直線、與平面所成的角分別為，，
即，，
又因為，，
所以，
從而；
（2）解：以為坐標原點，分別以，，的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系.

則，，所以，，
設平面的法向量，則有，
令，則有，，所以，
平面的法向量，平面與平面所成角為，
則
當且僅當，即時等號成立，
即平面與平面所成角的余弦值的最大值為.
18. 已知函數，.
（1）求函數的圖象經過的所有的定點坐標，并寫出函數的一條以上述一個定點為切點的切線；
（2）討論函數的單調性；
（3）當時，證明：.
（1）解：因為，，其他函數值均與a有關，
所以的圖象經過的所有定點的坐標為和，
又因為，
若以為切點，則切線斜率為，切線方程為；
若以為切點，則切線斜率為，切線為；
所以切線方程為（或）.
（2）解：因為，
①當時，恒成立，
所以當時，，在單調遞減，
當時，，在單調遞增；
②當時，由，得或.
當，即時，恒成立，則在上單調遞增，
當時，即時，當時，，在單調遞增；
當時，，在單調遞減；
當時，，在單調遞增；
當時，即時，
當時，，在單調遞增；
當時，，在單調遞減；
當時，，在單調遞增；
綜上所述：當時，在單調遞減，在單調遞增；
當時，在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增；
當時，在上單調遞增；
當時，在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增.
（3）證明：當時，.
令，
則
令，，則在上單調遞增.
又因為，，
所以存在，使得，即，即.
當時，，，單調遞減；
當時，，，單調遞增.
所以.
所以也即.
19. 一般地，對于無窮數列，我們稱冪級數即為無窮數列的母函數，例如：數列的母函數為.
附公式：，其中.
（1）已知數列，，，求無窮數列母函數；
（2）已知無窮數列的母函數為，記，請用表示數列的母函數（注：不必考慮的范圍）；
（3）已知數列，，記，求.
解：（1）由可得，且，
故，所以數列為公比是2的等比數列，
所以，即得，
所以數列的母函數為.
（2）由題意得①
那么②
①②得，
，
所以.
（3）由公式
令得，
令得，
令得，
所以，
數列的母函數為，
由（2）結論知數列的母函數為，
令，
則，
令，得，解得；
令，得，解得；
又由系數為可得，則，故；
令，得，則，故；
綜上，.
所以
.
所以.

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