一、選擇題
1．已知直線,設(shè)甲：;乙：,則甲是乙的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
2．直線與以點(diǎn)為圓心的圓相交于A,B兩點(diǎn),且,則圓C的方程為( )
A.B.
C.D.
3．與橢圓有相同焦點(diǎn),且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓的方程是( )
A.B.
C.D.
4．下列說(shuō)法中,正確的是( )
A.點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是
B.若直線l的方向向量為,平面的法向量為,則
C.已知O為空間中任意一點(diǎn),A、B、C、P四點(diǎn)共面,且,A、B、C、P中任意三點(diǎn)不共線,若,則
D.若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為,則直線l與平面所成的角為
5．已知平面,的法向量分別為,,則平面,的夾角的大小為( )
A.B.C.D.
6．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,若,,則( )
A.240B.225C.120D.30
7．已知拋物線,直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若弦的長(zhǎng)為8,則直線l的方程為( )
A.或B.或
C.或D.或
8．空間直角坐標(biāo)系中,過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為.已知平面的方程為,直線l是平面與平面的交線,則直線l與平面所成角的大小為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,,且,則( )
A.公差B.
C.D.當(dāng)時(shí),最大
10．雙曲線的焦點(diǎn)為,,過(guò)的直線與雙曲線的左支相交于A,B兩點(diǎn),過(guò)的直線與雙曲線的右支相交于C,D兩點(diǎn),若四邊形為平行四邊形,則( )
A.
B.
C.平行四邊形各邊所在直線斜率均不為
D.
11．如圖,在正方體中,P為棱的中點(diǎn),Q為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界）,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.三棱錐的體積為定值
B.若平面,則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一條線段
C.存在Q點(diǎn),使得平面
D.若直線與平面所成角的正切值為2,那么點(diǎn)Q的軌跡是以為圓心,半棱長(zhǎng)為半徑的圓弧
三、填空題
12．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足,則__________.
13．在平行六面體中,,,,點(diǎn)P在上,且,用,,表示,則________________.
14．已知橢圓,且,直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn).若點(diǎn)是線段的中點(diǎn),則橢圓C的半焦距___________.
四、解答題
15．已知直線l過(guò)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若直線l與直線垂直,求直線l的方程;
(2)若點(diǎn)O到直線l的距離為3,求直線l的方程.
16．如圖,在四棱柱中,四邊形是正方形,,,點(diǎn)G為的中點(diǎn).
(1)用向量,,表示;
(2)求線段的長(zhǎng)及直線與所成角的余弦值.
17．?dāng)?shù)列滿足,,,數(shù)列滿足,.
(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列并求其通項(xiàng)公式.
(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,問(wèn)是否存在最小值?若存在,求的最小值及取得最小值時(shí)n的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
18．如圖,在四棱錐中,平面平面,,,,M為棱的中點(diǎn).
(1)證明：平面;
(2)若,
（i）求二面角的余弦值;
（ii）在棱上是否存在點(diǎn)Q,使得點(diǎn)Q到平面的距離是？若存在,求出的長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由.
19．設(shè)，分別為橢圓:的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓C短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，已知的面積為，
(1)求橢圓C的方程；
(2)如圖，M，N，G是橢圓上不重合的三點(diǎn)，原點(diǎn)O是的重心
(i)當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，求點(diǎn)M到直線的距離；
(ii)求點(diǎn)M到直線的距離的最大值.
參考答案
1．答案：B
解析：由直線,,
當(dāng)兩條直線平行時(shí),解得或,
當(dāng)時(shí),,,,
當(dāng)時(shí),,,
所以甲是乙的必要不充分條件.
故選：B.
2．答案：A
解析：點(diǎn)到直線的距離為,
所以圓C的半徑為,
則圓C的方程為.
故選：A.
3．答案：C
解析：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,,所以所求橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,且.因?yàn)樗髾E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,即,所以,所以,
所以所求橢圓的方程是.
故選：C.
4．答案：B
解析：對(duì)于A選項(xiàng),點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是,A錯(cuò);
對(duì)于B選項(xiàng),若直線l的方向向量為,平面的法向量為,
則,所以,B對(duì);
對(duì)于C選項(xiàng),已知O為空間中任意一點(diǎn),A、B、C、P四點(diǎn)共面,且A、B、C、P中任意三點(diǎn)不共線,
則存在x、,使得,
即,
所以,
所以,,解得,C錯(cuò);
對(duì)于D選項(xiàng),若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為,則直線與平面所成的角為,D錯(cuò).
故選：B.
5．答案：C
解析：由向量與,
得,
又,則,所以平面,的夾角的大小為.
故選：C.
6．答案：A
解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d.因?yàn)?,即
解得所以,所以.
故選：A.
7．答案：B
解析：由拋物線的方程,得,拋物線的焦點(diǎn).根據(jù)題意可知直線l的斜率存在,且不為0,
設(shè)直線l的方程為,,.
由消去y,整理得,可得,所以.
因?yàn)?解得,,
所以直線l的方程為或.
故選：B.
8．答案：B
解析：依題意,平面的一個(gè)法向量為,平面的一個(gè)法向量為,平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)直線l的方向向量為,
,,,即令,則.
設(shè)直線l與平面所成的角為,則,.
故選：B.
9．答案：ACD
解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d,
由,得,
整理得,即,
因?yàn)?則,故A正確;
,故B錯(cuò)誤;
,故C正確;
因?yàn)?
,
所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
所以當(dāng)時(shí),最大,故D正確.
故選：ACD.
10．答案：BC
解析：由題意可得,,則,故A錯(cuò)誤.
由雙曲線的對(duì)稱性和平行四邊形的對(duì)稱性可知：,
則,B正確.
設(shè)任一邊所在直線為（斜率存在時(shí)）,聯(lián)立雙曲線,
聯(lián)立得,
則,即,C正確.
由,
設(shè);,,,
聯(lián)立得,
,,
則
,
設(shè),則,
,
又單調(diào)遞減,則, ,
故,D錯(cuò)誤.
故選：BC.
11．答案：ABD
解析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為.
對(duì)選項(xiàng)A,三棱錐的體積即三棱錐的體積,
因?yàn)榈拿娣e為定值,點(diǎn)Q到平面的距離為定值,
所以三棱錐的體積為定值.故A正確;
對(duì)選項(xiàng)B,如圖,分別取,的中點(diǎn)E,F,連接,,,.
由且,知四邊形是平行四邊形,
所以.因?yàn)槠矫?平面,所以平面.
同理可得平面,因?yàn)?,平面,
所以平面平面,則Q點(diǎn)的軌跡為線段,故B正確;
對(duì)選項(xiàng)C,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,.設(shè),,,
則,,.
設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則
即,得取,則.
若平面,則,即存在,使得,
則,解得,與,矛盾,
故不存在點(diǎn)Q使得平面,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)槠矫?
所以即為直線與平面所成的角.
因?yàn)橹本€與平面所成角的正切值為2,
所以.因?yàn)辄c(diǎn)Q為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界）,
所以點(diǎn)Q的軌跡是以為圓心,半棱長(zhǎng)為半徑的圓弧（正方形內(nèi)）,
且其圓心角為,故D正確.
故選：ABD.
12．答案：10
解析：由題得.
故答案為：10.
13．答案：
解析：在平行六面體中,點(diǎn)在上,且,
所以,
故答案為：.
14．答案：
解析：設(shè),,因?yàn)锳,B在橢圓上,
所以. 兩式相減得,
即.
因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn),所以,.
斜率,得,即,解得.
當(dāng)時(shí),橢圓方程為,可得,所以.
故答案為：.
15．答案：(1)
(2)或
解析：(1)因?yàn)辄c(diǎn),所以直線的斜率為.
因?yàn)橹本€l與直線垂直,所以直線l的斜率為.
又直線l過(guò)點(diǎn),則直線l的點(diǎn)斜式方程為,
整理得.
(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為,此時(shí)原點(diǎn)O到直線l的距離為3,滿足題意.
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為,即.
根據(jù)題意及點(diǎn)到直線的距離公式,得,所以.
兩邊平方,化簡(jiǎn)得,解得.
此時(shí)直線l的方程為,整理得.
綜上,直線l的方程為或.
16．答案：(1)
(2),
解析：(1)方法一：由題意知
.
方法二：因?yàn)镚為的中點(diǎn),
所以.
(2)因?yàn)樗倪呅问钦叫?,,
所以,,.
所以
,
即線段的長(zhǎng)為.
因?yàn)?
所以
,
又
,
所以,
即直線與所成角的余弦值為.
17．答案：(1)證明見(jiàn)解析,
(2)存在最小值,最小值為－9,此時(shí)
解析：(1)證明：因?yàn)?所以.
因?yàn)?所以,
所以.因?yàn)?所以,
所以數(shù)列是首項(xiàng),公差的等差數(shù)列.
所以.
(2)根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,得.
對(duì)于二次函數(shù),其圖象的對(duì)稱軸為直線,
所以當(dāng)時(shí),取得最小值.因?yàn)?
所以存在最小值,最小值為-9,此時(shí).
18．答案：(1)證明見(jiàn)解析
(2)（i）,（ii）存在,
解析：(1)取的中點(diǎn)N,連接,,如圖所示：
為棱的中點(diǎn),
,,,,,,
四邊形是平行四邊形,,
又平面,平面,
平面;
(2),,,
,,
平面平面,平面平面,
平面,
平面,
又,平面,,,由,
以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),,,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖：
則,,,,,,
（i）故,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則,令,則,,,
平面的一個(gè)法向量為,
,.
則,令,則,,故,
,,
由于二面角的平面角為銳角,故二面角的余弦值為;
（ii）假設(shè)在線段上是存在點(diǎn),使得點(diǎn)到平面的距離是,
設(shè),,則,0,,0,,
由(2)知平面的一個(gè)法向量為,
,
點(diǎn)Q到平面的距離是,
,.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)由題意得
整理得解得
所以橢圓得方程為.
(2)(i)設(shè)，根據(jù)題意有.
因?yàn)樵c(diǎn)O是的重心，
所以，
即，.
將，代入
解得，所以.
所以M到直線的距離為.
(ii)由(i)知當(dāng)直線斜率不存在時(shí)M到直線的距離為.
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)所在直線方程為，
，，
由
得，
且，即.
所以，
因?yàn)樵c(diǎn)O是的重心，
所以，
所以，
所以.
將點(diǎn)M代入橢圓方程得并整理可得
所以點(diǎn)M到直線的距離為
.
綜上所述，當(dāng)與x軸垂直時(shí)點(diǎn)M到直線的距離最大為

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