注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名，考生號，考場號，座位號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊．
一、選擇題：本題共8小題．每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知直線與直線平行，則（ ）
A. 1B. 3C. D.
【答案】A
【解析】根據(jù)直線與直線平行，
則，
故.
故選：A
2. 已知是空間的一個基底，則可以與向量，構(gòu)成空間另一個基底的向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】對于A，根據(jù)題意，故A錯誤.
對于B，設(shè)，則不存在，故B正確.
對于C，，故C錯誤；
對于D，由，
則，所以，
所以，故D錯誤；
故選：B.
3. 直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】圓M的半徑，圓心，則圓心M到直線l的距離，
故．
故選：D．
4. 過點(diǎn)且與拋物線只有1個公共點(diǎn)的直線有（ ）
A. 0條B. 1條C. 2條D. 3條
【答案】C
【解析】因點(diǎn)A在C上，
所以過點(diǎn)A且與C相切的直線只有1條，該切線滿足題意．
過點(diǎn)A且斜率為0的直線與C也只有1個公共點(diǎn)，
所以滿足題意的直線有2條．
故選：C
5. 如圖，二面角的大小為，點(diǎn)A，B分別在半平面，內(nèi)，于點(diǎn)C，于點(diǎn)D．若，，．則（ ）

A. B. 6C. D.
【答案】C
【解析】解法一：作于點(diǎn)C，且，
連接，，

，
；
解法二：由，，
得，，．
因?yàn)椋?br>所以，
則，
解得，．
故選：C.
6. 動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是，則動點(diǎn)M的軌跡方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由題意可得，化簡得．
故選：B
7. 已知A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，D為C的上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，E為C上一點(diǎn)，且位于第二象限,直線AE，BE分別與y軸交于點(diǎn)H，G．若D為線段OH的中點(diǎn)，G為線段OD的中點(diǎn)．則點(diǎn)E到x軸的距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】過點(diǎn)E作軸，垂足為F．由題意可得，，
所以，，兩式相乘可得
所以，則．
故選：D
8. 如圖，正方形的棱長為4，G，E分別是，AB的中點(diǎn)，是四邊形內(nèi)一動點(diǎn)，，若直線與平面沒有公共點(diǎn)，則線段的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
，．
設(shè)平面EFG的法向量為，
則，即
令，可得．設(shè)，
則．
因?yàn)橹本€AP與平面EFG沒有公共點(diǎn)，所以平面EFG，則，
所以，
即．
，
當(dāng)時，AP取得最小值，最小值為．
故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知空間內(nèi)三點(diǎn)，，，則（ ）
A. B.
C. D. 的面積為
【答案】ABD
【解析】因?yàn)榭臻g內(nèi)三點(diǎn)，，，
所以，，，
則，，，A正確．
因?yàn)椋?，B正確．
，C錯誤．
的面積為，D正確．
故選：ABD.
10. 已知是雙曲線的上焦點(diǎn)，是上的兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若是的中點(diǎn)，則
B. 的最小值為4
C. 點(diǎn)到的兩條漸近線的距離的乘積為12
D. 若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率為
【答案】ACD
【解析】由雙曲線，可得焦點(diǎn)在軸上，，
若是的中點(diǎn)，則直線軸，，A正確．
的最小值為，B錯誤．
由題意得，，
所以雙曲線的漸近線方程為或，
所以點(diǎn)到的兩條漸近線的距離乘積為，C正確．
設(shè)，，則
兩式相減得．
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，
所以，
即，
所以直線的斜率為，D正確．
故選：ACD.
11. 笛卡爾葉形線是一個代數(shù)曲線，首先由笛卡兒在1638年提出．如圖，葉形線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)Px0,y0在C上，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 直線與C有3個公共點(diǎn)
B. 若點(diǎn)P在第二象限，則
C.
D.
【答案】BCD
【解析】因?yàn)槿~形線經(jīng)過點(diǎn)，所以．
聯(lián)立，解得，所以直線與C只有1個公共點(diǎn)，A錯誤．
．
因?yàn)辄c(diǎn)P在第二象限，所以，，
所以，B正確．
若點(diǎn)P在第四象限，則，可推出 ．
因?yàn)?br>，
所以．當(dāng)點(diǎn)P在第二、四象限時，，
所以．當(dāng)點(diǎn)P原點(diǎn)或在第一象限時，易得，
所以，C正確．
由，
可得，解得，所以，D正確．
故選：BCD
三、填空題：本題共3小題．每小題5分，共15分．
12. 與圓，都相切的直線有______條．
【答案】3
【解析】圓的圓心為，半徑為，
的圓心為，半徑為，因?yàn)椋?br>所以圓與圓外切，與圓，都相切的直線有3條．
故答案為：3
13. 已知地球運(yùn)行的軌道是橢圓，且太陽在這個橢圓的一個焦點(diǎn)上，若地球到太陽的最大和最小距離分別為，，則這個橢圓的離心率為______．
【答案】0.02
【解析】設(shè)該橢圓的長軸長為2a，焦距為2c，
由題意，得，，解得，，
所以這個橢圓的離心率．故答案為：0.02
14. 在正六棱柱中，，M，N分別為，的中點(diǎn)，平面CMN與直線交于點(diǎn)G，則______；點(diǎn)A到平面CMN的距離為___.
【答案】4；
【解析】連接AD，BF，設(shè)其交點(diǎn)為O．由正六棱柱的性質(zhì)知，，且，
取中點(diǎn)P，連接OP，則平面ABCDEF．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OD，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
因?yàn)?，M，N分別為，的中點(diǎn)，
所以，，，，則，，．
設(shè)平面CMN的一個法向量為n=x,y,z，
則令，則．
設(shè)，則．
由，解得，又，所以．
點(diǎn)A到平面CMN的距離．
故答案為：4，
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知點(diǎn),,點(diǎn)C在x軸上,且是直角三角形，．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求的面積；
（3）求斜邊上的中線所在直線的方程．
解：（1）設(shè)．因?yàn)?，所以?br>顯然，則．
因?yàn)?，?br>所以，解得，則．
（2），，
的面積為．
（3）記AC的中點(diǎn)為E，則．
直線BE的斜率為，
直線BE的方程為，即，
所以斜邊上的中線所在直線的方程為．
16. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，，E為線段PC上一點(diǎn)，，且該四棱錐的體積為.
（1）求AE的長度；
（2）求二面角的正弦值.
解：（1）設(shè)，則，該四棱錐的體積為，
解得，即，．
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B1,0,0，，，
，，，，
設(shè)，
則，．
若，則，
解得，
即E為PC的中點(diǎn)．
連接AC，在中，；
（2）由（1）得，，．
設(shè)平面ABE的法向量為，
則即取，得n=0,1,-1．
設(shè)平面PBE的法向量為，
則即取，得．
設(shè)二面角的大小為，
則，所以，
所以二面角的正弦值為．
17. 已知雙曲線的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，拋物線的焦點(diǎn)與F重合，是與的一個公共點(diǎn)．
（1）求與的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)A的直線l與交于D，E兩點(diǎn)，若E是AD的中點(diǎn)，求直線l的斜率．
解：（1）因?yàn)?，所以?br>解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)與F重合，
所以，．
又，解得，
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由（1）知．設(shè)直線l的方程為，，．
因?yàn)镋是的中點(diǎn)，所以①．
聯(lián)立，得，
則，②，．
由①②解得，，
所以，解得，即，
經(jīng)驗(yàn)證，此時滿足，所以直線的斜率為．
18. 已知，分別為橢圓的上、下焦點(diǎn)，是橢圓的一個頂點(diǎn)，是橢圓C上的動點(diǎn)，，，三點(diǎn)不共線，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，其為等邊三角形．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，證明：．
解：（1）因?yàn)槭菣E圓C的一個頂點(diǎn)，所以．
當(dāng)點(diǎn)與的左頂點(diǎn)或右頂點(diǎn)重合時，的面積最大，其為等邊三角形，滿足，又因?yàn)?，所以，?br>故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)直線的方程為，，Px1,y1．
由得，
，，
所以，，
即點(diǎn)，
所以直線的方程為．
令，得．
又，所以直線的方程為．
令，得．
延長交于，延長交于．
由，得，則．
同理由，得，則．
因?yàn)?，，顯然，
所以．
19. 空間直角坐標(biāo)系中，任意直線l由直線上一點(diǎn)及直線的一個方向向量唯一確定，其標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為.若平面以為法向量且經(jīng)過點(diǎn),則平面的點(diǎn)法式方程可表示為，整理成一般式方程為．特殊地，平面xOy的一般式方程為，其法向量為．若兩個平面相交，則交線的一般式方程可以表示為
（1）若集合，記集合M中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為S，求S的體積；
（2）已知點(diǎn)，直線．若平面，，求的一般式方程；
（3）已知三棱柱的頂點(diǎn),平面ABC的方程為，直線的方程為，平面的方程為．求直線與直線BC所成角的余弦值．
解：（1）由條件知，S是一個長為2，寬為5，高為2的長方體，
則體積．
（2）直線過點(diǎn)，方向向量為，．
設(shè)平面的法向量為，
則，即，取，得，
所以平面的點(diǎn)法式方程為，
一般式方程為．
（3）聯(lián)立
解得即．
又，所以．
由平面的方程知，其法向量為．因?yàn)槠矫妫?br>所以，即，解得，
所以平面的方程為．
直線BC上的點(diǎn)滿足化簡得，
所以直線BC的一個方向向量為，
取直線BC的一個方向向量為．
則，即直線與直線BC所成角的余弦值為．

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