2024~2025學(xué)年廣東省揭陽市榕城區(qū)九年級上學(xué)期期末綜合訓(xùn)練題數(shù)學(xué)試卷（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．
1. 先賢孔子曾說過“鼓之舞之”，這是“鼓舞”一詞最早的起源，如圖，這是喜慶集會(huì)時(shí)擊鼓瞬間的情景及鼓的立體圖形，該立體圖形的俯視圖是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】從上面看到的圖形為：
故選：D．
2. 已知關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，
∴，
故遷：D.
3. 如圖，在矩形中，對角線，交于點(diǎn)O，若，則的長為（）
A. 3B. 6C. D.
【答案】B
【解析】∵在矩形中，對角線，交于點(diǎn)O，
∴，，
∵，
∴．
故選：B．
4. 已知，，在雙曲線上，則的大小關(guān)系是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴雙曲線雙曲線在一、三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，
∵，
∴點(diǎn)，在第三象限，在第一象限，
∴．
∵，
∴．
故選：C．
5. 大自然鬼斧神工，一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”的美．如圖，為線段的黃金分割點(diǎn)（）．如果的長度為，那么的長度是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵P為的黃金分割點(diǎn)，，
∴，
∵的長度為，
∴，
∴，
∴的長度是，
故選：A．
6. 在中，，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如圖，
∵在中，，
∴設(shè)，
∴，
∴．
故選：B．
7. 在一個(gè)不透明的盒子中裝有顆黑、白兩種顏色的棋子，除顏色外其他都相同，攪勻后從中隨機(jī)摸出一顆棋子，記下顏色后放回盒子中，記為一次試驗(yàn)，通過大量試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)摸到黑色棋子的頻率穩(wěn)定在，則盒子中黑色棋子可能有（）
A. 5顆B. 10顆C. 18顆D. 26顆
【答案】C
【解析】設(shè)盒子中黑色棋子可能有x顆，
，
，
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．
∴盒子中黑色棋子可能有顆．
故選：C．
8. 若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的最小整數(shù)值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
即，
解得：，
又∵方程是一元二次方程，
∴，
即，
故的取值范圍為：且，
∴的最小整數(shù)值為．
故選：A．
9. 數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明為了測量學(xué)校旗桿的高度，在他腳下放了一面鏡子，然后向后退，直到他剛好在鏡子中看到旗桿頂端，此時(shí)，小明畫出如圖所示的示意圖，并估計(jì)他的眼睛與地面的距離為，同時(shí)測得，，則旗桿的高度為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】已知，，，
故，
根據(jù)光的反射定律，，
又，
∴，
∴，即，
解得：，
故選：A．
10. 如圖，四邊形是邊長為2的正方形，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，射線交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)、交的延長線于點(diǎn)，則以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)；④當(dāng)時(shí)，；⑤當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，，成立的個(gè)數(shù)是（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正確；
∵，，
∴，故②正確；
當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖2，
∵E是中點(diǎn)，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，則，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴，
∴，故③正確；
如圖3所示，
∵，即P是中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
同理可得，
∴，
∴，故④正確；
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，
同理可證明，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，∴，
∴，
∴，故⑤錯(cuò)誤；
∴正確的有4個(gè)，
故選：C．
二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．
11. 已知，則______．
【答案】
【解析】設(shè)，
則，
∴．
故答案為：．
12. 如圖，菱形的對角線交于坐標(biāo)原點(diǎn)．已知點(diǎn)，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．
【答案】
【解析】∵菱形的對角線交于坐標(biāo)原點(diǎn)O．點(diǎn)，
∴，
故答案為：．
13. 某公司今年1月份的利潤為100萬元，3月份的利潤上升到144萬元，若1至3月利潤的增長率相同，則每月增長的百分率是____________．
【答案】
【解析】設(shè)平均每月利潤增長的百分率為x，
根據(jù)題意，得，
解得，（舍去），
∴平均每月利潤增長的百分率為．
故答案為：．
14. 如圖，，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，，，，則______．
【答案】9
【解析】在中，，D是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，∴，∴，
又∵，∴，
∴，
∵，∴，∴．
故答案為：9．
15. 如圖，射線與函數(shù)圖象相交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分別與相交于點(diǎn)；再分別以點(diǎn)為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)部相交于點(diǎn)，作射線，交函數(shù)圖象于點(diǎn)，連接，則的面積是______．
【答案】1
【解析】把點(diǎn)代入，得，
∴，∴，設(shè)點(diǎn)，
如圖，過點(diǎn)C作軸于E，于F，過點(diǎn)A作軸于G，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
由作圖方法可知，是的平分線，
∴，
∴，
∴，
∵點(diǎn)C在第一象限，
∴，
∴，
∴，
∵軸于E，于F，是的平分線，
∴，
∴，
故答案為：1．
三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分．
16. 計(jì)算：．
解：
．
17. 圖①、圖②、圖③均是8×8的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，小正方形的邊長為1，點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上．在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，不要求寫出畫法，保留作圖痕跡．
（1）在圖①中畫出的中線；
（2）在圖②的邊上找到一點(diǎn)E，使；
（3）在圖③的邊上找到一點(diǎn)F，使．
解：（1）如圖，即為所求，
（2）如圖，點(diǎn)E即為所求，
找出格點(diǎn)G、H，與交于點(diǎn)E，由圖知
∴∽
∴
∴點(diǎn)E即所求；
（3）如圖，點(diǎn)F即為所求，
找到格點(diǎn)M、N，與交于點(diǎn)F，由圖知
∴∽
∴
∴
∴點(diǎn)F即為所求．
18. 小宇和小輝所在的科學(xué)社團(tuán)研究了四種生活現(xiàn)象，先將“A．冰雪融化”“B．鏡花水月”“C．光合作用”“D．葡萄釀酒”的圖案制成顏色、質(zhì)地、大小都相同的4張卡片（為物理現(xiàn)象，主要為化學(xué)變化），卡片背面朝上洗勻放置在桌面上．活動(dòng)規(guī)則：小宇先從中隨機(jī)抽取一張，記錄下抽取的卡片，放回洗勻，小輝再從中隨機(jī)抽取一張．若他們抽取的兩張卡片上都是物理現(xiàn)象，則由小宇分享所抽取的卡片的相關(guān)科學(xué)知識(shí)；若他們抽取的兩張卡片上都是化學(xué)變化，則由小輝分享所抽取的卡片的相關(guān)科學(xué)知識(shí)；其他情況重抽．
（1）小宇隨機(jī)抽取一張卡片，正面圖案是化學(xué)變化的概率是______；
（2）這個(gè)活動(dòng)規(guī)則對他們雙方公平嗎？請用列表或畫樹狀圖的方法說明你的理由．
解：（1）小宇隨機(jī)抽取一張卡片，正面圖案是化學(xué)變化的概率是；
故答案為：；
（2）公平，理由如下：
將冰雪融化、鏡花水月、光合作用、冰雪消融、葡萄釀酒分別用表示，列表如下：
由表可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中他們抽取的兩張卡片上都是化學(xué)變化的有4種，他們抽取的兩張卡片上都是物理變化的有4種．
（抽取的兩張卡片正面圖案均為化學(xué)變化），
（抽取的兩張卡片上都是物理變化），
故這個(gè)規(guī)則對他們雙方公平是公平的．
四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．
19. 如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組借助無人機(jī)測量一條河流的寬度CD．如圖所示，一架水平飛行的無人機(jī)在處測得正前方河流的左岸處的俯角為，無人機(jī)沿水平線方向繼續(xù)飛行50米至處，測得正前方河流右岸處的俯角為30°．線段的長為無人機(jī)距地面的鉛直高度，點(diǎn)在同一條直線上．其中，米．
（1）求無人機(jī)的飛行高度；（結(jié)果保留根號）
（2）求河流的寬度CD．（結(jié)果保留根號）
解：（1）由題意得，，，
∴，，
∴，∴米；
（2）如圖，過點(diǎn)作于，則米，米，，
在中，，
∴，
∴米，
∴米，
∴米．
20. 如圖1，在正方形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且點(diǎn)不與、重合，過點(diǎn)作的垂線交延長線于點(diǎn)，連接．
（1）計(jì)算的度數(shù)；
（2）如圖2，過點(diǎn)作，垂足為，連接．求證：．
（1）解：四邊形是正方形，
，，
，，
，
，即
，
，，
是等腰直角三角形．；
（2）證明：如圖2，連接，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∵四邊形是正方形，是對角線，
∴等腰直角三角形，，，
∴，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∴．
21. 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實(shí)配方法還有其他重要應(yīng)用．
例如：已知x可取任何實(shí)數(shù)，試求二次三項(xiàng)式的最小值．
解：
無論取何實(shí)數(shù)，都有，
，即的最小值為2．
試?yán)门浞椒ń鉀Q下列問題：
（1）直接寫出的最小值；
（2）比較代數(shù)式與的大小，并說明理由；
（3）如圖，在四邊形中，．若，求四邊形面積的最大值．
解：（1）
無論取何實(shí)數(shù)，都有，
，即的最小值為3．
故答案為：3．
（2）
（3）四邊形面積為：
四邊形面積的最大值為．
五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分．
22. 如圖，在中，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），，交于點(diǎn)，且．
（1）求證：
（2）若，求的值
（3）若為直角三角形時(shí)，求的值
（1）證明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）如圖，過作于，
∵，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
結(jié)合（2）可得，
當(dāng)時(shí)，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴為直角三角形時(shí)，為8或．
23. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）請直接寫出不等式的解集；
（3）若點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q，使得以A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？如果存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
解：（1）將代入得：，解得：，
∴反比例函數(shù)的解析式為；
將代入反比例函數(shù)解析式可得，∴，
將，代入反比例函數(shù)解析式可得，解得：，
∴一次函數(shù)解析式為；
（2）由圖象可得：不等式的解集為或；
（3）∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
∴，
設(shè)點(diǎn)，
∵以A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，
∴當(dāng)為對角線時(shí)，與互相平分，
∴，∴，
∴；
當(dāng)為對角線時(shí)，與互相平分，
∴，解得：，∴；
當(dāng)為對角線時(shí)，與互相平分，
∴，解得：，∴；
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．小輝
小宇
A
B
C
D
A
B
C
D

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