2025屆上海市閔行區(qū)高三上學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研月考數(shù)學(xué)試卷（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 設(shè)集合，，則______．
【答案】
【解析】因?yàn)?，?br>所以.
故答案為：
2. 不等式的解集為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】不等式等價(jià)于，解得，
所以不等式的解集為.
故答案為：
3. 直線的傾斜角為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】設(shè)直線的傾斜角為．
由直線化為，故，
又，故，故答案為．
4. 已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為_(kāi)_____．
【答案】2
【解析】正實(shí)數(shù)、滿足，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為2.
故答案為：2
5. 已知圓錐的高為8，底面半徑為6，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】因?yàn)閳A錐的高為8，底面半徑為，
所以圓錐的母線長(zhǎng)為，
則圓錐的側(cè)面積.
故答案為：.
6. 的二項(xiàng)展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____．
【答案】28
【解析】在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，含的項(xiàng)為，
所以項(xiàng)的系數(shù)為28.
故答案為：28
7. 已知函數(shù)為奇函數(shù)，則______.
【答案】
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，
所以.
故答案為：
8. 從10名數(shù)學(xué)老師中選出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老師甲必須參加且不安排在假期第一天值班，則不同的值班安排方法種數(shù)為_(kāi)_____．
【答案】144
【解析】依題意，安排老師甲有種，從除甲外的9名老師中任選2人并安排值班有種.
所以不同的值班安排方法種數(shù)為（種）.
故答案為：144
9. 已知（i為虛數(shù)單位，為正整數(shù)），當(dāng)、取遍所有正整數(shù)時(shí)，的值中不同虛數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．
【答案】6
【解析】依題意，，，
則，
因此，，
所以的值中不同虛數(shù)有：，共6個(gè).
故答案為：6
10. 已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)．若，則______．
【答案】
【解析】橢圓，則、，
設(shè)Ax0,y0，因?yàn)椋矗?br>即，又，解得，不妨取，
則的方程為，由，解得或，
所以，
所以，，
所以.
故答案為：.
11. 如圖，某小區(qū)內(nèi)有一塊矩形區(qū)域，其中米，米，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，左右兩個(gè)扇形區(qū)域?yàn)榛▔▋蓚€(gè)扇形的圓心分別為、，半徑均為20米），其余區(qū)域?yàn)椴萜海F(xiàn)規(guī)劃在草坪上修建一個(gè)三角形的兒童游樂(lè)區(qū)，且三角形的一個(gè)頂點(diǎn)在線段上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在線段上，則該游樂(lè)區(qū)面積的最大值為_(kāi)_____平方米．（結(jié)果保留整數(shù)）
【答案】137
【解析】設(shè)游樂(lè)區(qū)所在的三角形為，在線段上，在線段上，
如圖所示，
當(dāng)分別于圓弧相切時(shí)，取得最大值，
由對(duì)稱性，只討論，
設(shè)與圓弧相切于點(diǎn)，連接，
設(shè)，因?yàn)椤?，≌?br>則，，
因?yàn)椋?，?br>，，
所以
，
因?yàn)?，所以?br>令，則，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以平方米，
即該游樂(lè)區(qū)面積的最大值為137平方米．
故答案為：137.
12. 已知，若存在、，且，使得成立，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】因?yàn)?，所以，?br>因?yàn)?，所以，所以?br>即，，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，
所以，
必要條件：，解得；
若，即時(shí)，必然成立；
若，因，，不妨設(shè)，
則，，且，
所以，，
所以①，②，
①②兩式聯(lián)立得，即，
所以，又，所以，，
當(dāng)時(shí)，，不符合條件；
當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，則或，
此時(shí)或，
因?yàn)?，所以?br>綜上，或，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）
13. 在空間中，“a、b為異面直線”是“a、b不相交”的（）．
A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件
C. 充要條件D. 既非充分又非必要條件
【答案】A
【解析】直線a、b為異面直線，則直線a、b不相交，
反之，直線a、b不相交，直線a、b可能平行，也可能是異面直線，
所以在空間中，“a、b為異面直線”是“a、b不相交”的充分非必要條件.
故選：A
14. 下列函數(shù)中，在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)的為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】對(duì)于A，函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，A不是；
對(duì)于B，函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，B是；
對(duì)于C，函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，C不是；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，在上是嚴(yán)格增函數(shù)，D不是.
故選：B.
15. 設(shè)，若、為同一象限的角，且不存在、，使得，則、所在的象限為（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】D
【解析】對(duì)于A，若，，
由，解得，顯然，
令方程的根為，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，取，
則，A不是；
對(duì)于B，當(dāng)為第二象限時(shí)，，，
取，，
則，B不；
對(duì)于C，當(dāng)為第三象限時(shí)，，
取，，，C不是；
對(duì)于D，當(dāng)為第四象限時(shí)，，，
則，當(dāng)為第四象限時(shí)，，D正確.
故選：D
16. 已知數(shù)列滿足，其中為常數(shù)．對(duì)于下述兩個(gè)命題：
①對(duì)于任意的，任意的，都有是嚴(yán)格增數(shù)列；
②對(duì)于任意的，存在，使得是嚴(yán)格減數(shù)列．
以下說(shuō)法正確的為（）
A. ①真命題；②假命題B. ①假命題；②真命題
C. ①真命題；②真命題D. ①假命題；②假命題
【答案】A
【解析】對(duì)于①，時(shí)，，，
時(shí)，；時(shí)，，也有，故①為真命題.
對(duì)于②，時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，不嚴(yán)格遞減；
當(dāng)時(shí)，，，不嚴(yán)格遞減；
當(dāng)時(shí)，，
若，則，
同理當(dāng)時(shí)，，
則存在，使得，
則，，不嚴(yán)格遞減.
綜上所述，時(shí)，不可能是嚴(yán)格遞減數(shù)列.故②為假命題.
故選：A.
三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟．
17. 在直三棱柱中，，，，連接，、分別為和的中點(diǎn)．
（1）證明：直線平面；
（2）求二面角的大小．
（1）證明：如圖所示：
連接，因?yàn)?、分別為和中點(diǎn)，
所以，又平面，平面，
所以直線平面；
（2）解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為m=x,y,z，
則，即，
令，得，則，
易知平面ABC的一個(gè)法向量為：，
設(shè)二面角的大小為，
則，
二面角大小為.
18. 已知
（1）若，求函數(shù)的值域；
（2）若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
所以函數(shù)的值域是.
（2）當(dāng)時(shí)，，
由，得，
則，整理得，
而，，因此，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍.
19. 為了解某市高三學(xué)生的睡眠時(shí)長(zhǎng)，從該市6.6萬(wàn)名高三學(xué)生中隨機(jī)抽取600人，統(tǒng)計(jì)他們的日均睡眠時(shí)長(zhǎng)及分布人數(shù)如下表所示：
注：睡眠時(shí)長(zhǎng)在的為睡眠充足，在的為睡眠良好，在的為睡眠不足．
（1）估計(jì)該市6.6萬(wàn)名高三學(xué)生中日均睡眠時(shí)長(zhǎng)大于等于6小時(shí)的人數(shù)約為多少？
（2）估計(jì)該市高三學(xué)生日均睡眠時(shí)長(zhǎng)；
（3）若從這600名學(xué)生中利用分層抽樣的方法抽取20人，再?gòu)倪@20人中隨機(jī)抽取4人做進(jìn)一步訪談?wù){(diào)查，求這4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足學(xué)生的概率．
解：（1）由題知，隨機(jī)抽取的600人中日均睡眠時(shí)長(zhǎng)大于等于6小時(shí)的人數(shù)為（人），
所以估計(jì)該市6.6萬(wàn)名高三學(xué)生中日均睡眠時(shí)長(zhǎng)大于等于6小時(shí)的人數(shù)約為（萬(wàn)人）；
（2）隨機(jī)抽取的600人的日均睡眠時(shí)長(zhǎng)為（小時(shí)），
所以估計(jì)該市高三學(xué)生日均睡眠時(shí)長(zhǎng)約為（小時(shí)）；
（3）從這600名學(xué)生中利用分層抽樣的方法抽取20人，抽樣比例為，
所以睡眠時(shí)長(zhǎng)在抽取（人），
睡眠時(shí)長(zhǎng)在抽?。ㄈ耍?br>睡眠時(shí)長(zhǎng)在抽?。ㄈ耍?，
則從這20人中隨機(jī)抽取4人，這4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足學(xué)生的概率為.
20. 已知圓，雙曲線，直線，其中．
（1）當(dāng)時(shí)，求雙曲線的離心率；
（2）若與圓相切，證明：與雙曲線的左右兩支各有一個(gè)公共點(diǎn)；
（3）設(shè)與軸交于點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)、，與雙曲線的左右兩支分別交于點(diǎn)、，四個(gè)點(diǎn)從左至右依次為、、、．當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．
（1）解：由題意，，所以，，
因此，雙曲線的離心率.
（2）證明：由直線與圓相切，得，即，
聯(lián)立得，
即，
該一元二次方程的判別式，
因此有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
且兩根之積為，因此兩根一正一負(fù)，
即與雙曲線的左右兩支各有一個(gè)公共點(diǎn).
（3）解：設(shè)，
聯(lián)立，得，得，
由可得.
聯(lián)立得，得
且分別交于左右兩支可得
又，又、、、四個(gè)點(diǎn)在同一直線上，
，
，還可得，
，
即，化簡(jiǎn)后可得:，
代入后化簡(jiǎn)可得:，解得，由，得.
經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)與兩支分別有交點(diǎn)，
為唯一滿足條件的實(shí)數(shù).

21. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋希糁杏星覂H有一個(gè)元素，則稱為函數(shù)的一個(gè)“值”
（1）設(shè)，求的值；
（2）設(shè)，且，若的函數(shù)值中不存在值，求實(shí)數(shù)取值的集合；
（3）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖象是一條連續(xù)曲線，且函數(shù)的所有函數(shù)值均為值，若，證明：在上為嚴(yán)格增函數(shù)的一個(gè)充要條件是．
（1）解：由題設(shè)知：有唯一解，
即有唯一解，所以，解得：.
所以的值為.
（2）解：，
當(dāng)時(shí)，
由可得：或，
由可得：或，
所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，，畫簡(jiǎn)圖如下：
若的函數(shù)值中不存在值，則不存在唯一解，即，
解得：；
當(dāng)時(shí)，，令，則，令，則，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)存在有唯一解，不符合題意，所以，實(shí)數(shù)取值的集合為.
（3）證明：由函數(shù)的圖象是一條連續(xù)曲線，且函數(shù)的所有函數(shù)值均為值可知，的任一解均唯一，即是單調(diào)函數(shù).
充分性：若在上為嚴(yán)格增函數(shù)，則對(duì)，
有，即成立，則有；
必要性：若在上不為嚴(yán)格增函數(shù)，因?yàn)槭菃握{(diào)函數(shù)，則假設(shè)是單調(diào)減函數(shù)，
則對(duì)，都有，即成立，
與矛盾，所以假設(shè)不成立，即在上為嚴(yán)格增函數(shù).
得證.睡眠時(shí)長(zhǎng)（小時(shí)）
人數(shù)
150
270
180

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多