一、填空題
1．設(shè)集合，，則 ．
2．不等式的解集為 ．
3．直線的傾斜角為 ．
4．已知正實數(shù)、滿足，則的最小值為 ．
5．已知圓錐的高為8，底面半徑為6，則該圓錐的側(cè)面積為 ．
6．的二項展開式中，項的系數(shù)為 ．
7．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則 .
8．從10名數(shù)學(xué)老師中選出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老師甲必須參加且不安排在假期第一天值班，則不同的值班安排方法種數(shù)為 ．
9．已知（i為虛數(shù)單位，為正整數(shù)），當(dāng)、取遍所有正整數(shù)時，的值中不同虛數(shù)的個數(shù)為 ．
10．已知、分別為橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于、兩點．若，則 ．
11．如圖，某小區(qū)內(nèi)有一塊矩形區(qū)域，其中米，米，點、分別為、的中點，左右兩個扇形區(qū)域為花壇（兩個扇形的圓心分別為、，半徑均為20米），其余區(qū)域為草坪．現(xiàn)規(guī)劃在草坪上修建一個三角形的兒童游樂區(qū)，且三角形的一個頂點在線段上，另外兩個頂點在線段上，則該游樂區(qū)面積的最大值為 平方米．（結(jié)果保留整數(shù)）
12．已知，若存在、，且，使得成立，則的取值范圍是 ．
二、單選題
13．在空間中，“a、b為異面直線”是“a、b不相交”的（ ）．
A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分又非必要條件
14．下列函數(shù)中，在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)的為（ ）
A．B．C．D．
15．設(shè)，若、為同一象限的角，且不存在、，使得，則、所在的象限為（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
16．已知數(shù)列滿足，其中為常數(shù)．對于下述兩個命題：
①對于任意的，任意的，都有是嚴格增數(shù)列；
②對于任意的，存在，使得是嚴格減數(shù)列．
以下說法正確的為（ ）
A．①真命題；②假命題B．①假命題；②真命題
C．①真命題；②真命題D．①假命題；②假命題
三、解答題
17．在直三棱柱中，，，，連接，、分別為和的中點．
(1)證明：直線平面；
(2)求二面角的大?。?br>18．已知
(1)若，求函數(shù)的值域；
(2)若存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．
19．為了解某市高三學(xué)生的睡眠時長，從該市6.6萬名高三學(xué)生中隨機抽取600人，統(tǒng)計他們的日均睡眠時長及分布人數(shù)如下表所示：
注：睡眠時長在的為睡眠充足，在的為睡眠良好，在的為睡眠不足．
(1)估計該市6.6萬名高三學(xué)生中日均睡眠時長大于等于6小時的人數(shù)約為多少？
(2)估計該市高三學(xué)生日均睡眠時長；
(3)若從這600名學(xué)生中利用分層抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機抽取4人做進一步訪談?wù){(diào)查，求這4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足學(xué)生的概率．
20．已知圓，雙曲線，直線，其中．
(1)當(dāng)時，求雙曲線的離心率；
(2)若與圓相切，證明：與雙曲線的左右兩支各有一個公共點；
(3)設(shè)與軸交于點，與圓交于點、，與雙曲線的左右兩支分別交于點、，四個點從左至右依次為、、、．當(dāng)時，是否存在實數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
21．設(shè)函數(shù)的定義域為，集合．若中有且僅有一個元素，則稱為函數(shù)的一個“值”
(1)設(shè)，求的值；
(2)設(shè)，且，若的函數(shù)值中不存在值，求實數(shù)取值的集合；
(3)已知定義域為的函數(shù)的圖象是一條連續(xù)曲線，且函數(shù)的所有函數(shù)值均為值，若，證明：在上為嚴格增函數(shù)的一個充要條件是．
睡眠時長（小時）
人數(shù)
150
270
180
參考答案：
1．/
【分析】根據(jù)交集的定義計算可得.
【詳解】因為，，
所以.
故答案為：
2．
【分析】將分式不等式等價轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，解得即可.
【詳解】不等式等價于，解得，
所以不等式的解集為.
故答案為：
3．
【分析】把直線方程化為斜截式，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得出．
【詳解】設(shè)直線的傾斜角為．
由直線化為，故，
又，故，故答案為．
【點睛】一般地，如果直線方程的一般式為，那么直線的斜率為，且，其中為直線的傾斜角，注意它的范圍是．
4．2
【分析】利用基本不等式求出最小值即可.
【詳解】正實數(shù)、滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以的最小值為2.
故答案為：2
5．
【分析】根據(jù)勾股定理求出母線長，再根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求解即可.
【詳解】因為圓錐的高為8，底面半徑為，
所以圓錐的母線長為，
則圓錐的側(cè)面積.
故答案為：.
6．28
【分析】利用二項式定理求出含的項，進而求出其系數(shù).
【詳解】在的二項展開式中，含的項為，
所以項的系數(shù)為28.
故答案為：28
7．
【分析】首先求出當(dāng)時的函數(shù)值，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得解.
【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，
當(dāng)時，
所以.
故答案為：
8．144
【分析】利用分步乘法計數(shù)原理及排列應(yīng)用問題列式計算得解.
【詳解】依題意，安排老師甲有種，從除甲外的9名老師中任選2人并安排值班有種，
所以不同的值班安排方法種數(shù)為（種）.
故答案為：144
9．6
【分析】由的整數(shù)次冪的周期性求出的取值集合，進而列舉出所有結(jié)果即可得解.
【詳解】依題意，，，則，
因此，，
所以的值中不同虛數(shù)有：，共6個.
故答案為：6
10．
【分析】首先求出、，設(shè)Ax0,y0，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示及，求出點坐標，從而求出的方程，再聯(lián)立直線與橢圓方程，求出點坐標，最后由數(shù)量積的坐標表示計算可得.
【詳解】橢圓，則、，
設(shè)Ax0,y0，因為，即，
即，又，解得，不妨取，
則的方程為，由，解得或，
所以，
所以，，
所以.
故答案為：.
11．137
【分析】根據(jù)已知條件知，當(dāng)三角形的兩邊分別與圓弧相切時，三角形的面積最大，設(shè)切點為，，由三角形全等得到，將三角形面積的表達式用表示，從而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，利用換元法轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值即可求解.
【詳解】設(shè)游樂區(qū)所在的三角形為，在線段上，在線段上，如圖所示，
當(dāng)分別于圓弧相切時，取得最大值，
由對稱性，只討論，
設(shè)與圓弧相切于點，連接，
設(shè)，因為≌，≌，
則，，
因為，所以，，
，，
所以
，
因為，所以，
令，則，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以平方米，
即該游樂區(qū)面積的最大值為137平方米．
故答案為：137.
12．
【分析】根據(jù)的值域得到，則成立的必要條件是，當(dāng)時必然成立，討論時是否滿足條件即可.
【詳解】因為，所以，，
因為，所以，所以，
即，，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，成立，
所以，
必要條件：，解得；
若，即時，必然成立；
若，因為，，不妨設(shè)，
則，，且，
所以，，
所以①，②，
①②兩式聯(lián)立得，即，
所以，又，所以，，
當(dāng)時，，不符合條件；
當(dāng)時，，則，此時；
當(dāng)時，，則或，此時或，
因為，所以；
綜上，或，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點之一在于根據(jù)的值域得到，將問題轉(zhuǎn)化為；關(guān)鍵點之二在于討論時是否滿足條件.
13．A
【分析】利用異面直線的定義及充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【詳解】直線a、b為異面直線，則直線a、b不相交，
反之，直線a、b不相交，直線a、b可能平行，也可能是異面直線，
所以在空間中，“a、b為異面直線”是“a、b不相交”的充分非必要條件.
故選：A
14．B
【分析】利用解析式直接判斷各選項中函數(shù)在上的單調(diào)性即可.
【詳解】對于A，函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)，A不是；
對于B，函數(shù)在上是嚴格減函數(shù)，B是；
對于C，函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)，C不是；
對于D，當(dāng)時，在上是嚴格增函數(shù)，D不是.
故選：B.
15．D
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合同角公式，逐項分析確定的取值的正負情況即可判斷得解.
【詳解】對于A，若，，
由，解得，顯然，
令方程的根為，，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，而當(dāng)時，，
當(dāng)時，，取，則，A不是；
對于B，當(dāng)為第二象限時，，，
取，，
則，B不是；
對于C，當(dāng)為第三象限時，，取，
，，C不是；
對于D，當(dāng)為第四象限時，，，
則，當(dāng)為第四象限時，，D正確.
故選：D
16．A
【分析】對于①，當(dāng)時，，然后作差證明數(shù)列的單調(diào)性；對于②，當(dāng)時，容易發(fā)現(xiàn)無論為何值，最終恒為常數(shù).
【詳解】對于①，時，，，
時，；時，，也有，故①為真命題.
對于②，時，，，
當(dāng)時，，，不嚴格遞減；
當(dāng)時，，，不嚴格遞減；
當(dāng)時，，
若，則，
同理當(dāng)時，，
則存在，使得，
則，，不嚴格遞減.
綜上所述，時，不可能是嚴格遞減數(shù)列.故②為假命題.
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題對①的分析得關(guān)鍵是對分類討論，分和研究即可.
17．(1)證明見解析；
(2)
【分析】（1）連接，易得，再利用線面平行的判定定理證明；
（2）建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量m=x,y,z，易知平面ABC的一個法向量，設(shè)二面角的大小為，由 求解.
【詳解】（1）證明：如圖所示：
連接，因為、分別為和的中點，
所以，又平面，平面，
所以直線平面；
（2）建立如圖所示空間直角坐標系，
則，
所以，
設(shè)平面的一個法向量為m=x,y,z，
則 ，即 ，
令 ，得 ，則 ，
易知平面ABC的一個法向量為： ，
設(shè)二面角的大小為，
則 ，
二面角的大小為.
18．(1)；
(2).
【分析】（1）把代入，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)及對勾函數(shù)的單調(diào)性分段求出求出值域即可得解.
（2）由給定條件，可得，再代入化簡并結(jié)合輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)求出范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時，函數(shù)，
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
所以函數(shù)的值域是.
（2）當(dāng)時，，由，得，
則，整理得，
而，，因此，
所以實數(shù)的取值范圍.
19．(1)4.95（萬人）
(2)（小時）
(3)
【分析】（1）由樣本中日均睡眠時長大于等于6小時的頻率估計總體即可；
（2）用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)即可；
（3）由古典概型結(jié)合組合數(shù)公式即可求解.
【詳解】（1）由題知，隨機抽取的600人中日均睡眠時長大于等于6小時的人數(shù)為（人），
所以估計該市6.6萬名高三學(xué)生中日均睡眠時長大于等于6小時的人數(shù)約為（萬人）；
（2）隨機抽取的600人的日均睡眠時長為（小時），
所以估計該市高三學(xué)生日均睡眠時長約為（小時）；
（3）從這600名學(xué)生中利用分層抽樣的方法抽取20人，抽樣比例為，
所以睡眠時長在抽?。ㄈ耍?，
睡眠時長在抽?。ㄈ耍?br>睡眠時長在抽?。ㄈ耍?，
則從這20人中隨機抽取4人，這4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足學(xué)生的概率為.
20．(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)離心率公式即可；
（2）聯(lián)立雙曲線和直線方程，根據(jù)韋達定理即可證明；
（3）聯(lián)立圓和直線方程，得到韋達定理式和判別式，再聯(lián)立雙曲線方程和直線方程，得到韋達定理和判別式，再將向量點乘式化成橫坐標關(guān)系，再代入化簡即可.
【詳解】（1）由題意，，所以，，
因此，雙曲線的離心率.
（2）由直線與圓相切，得，即，
聯(lián)立得，
即，
該一元二次方程的判別式，
因此有兩個不相等的實數(shù)根，
且兩根之積為，因此兩根一正一負，
即與雙曲線的左右兩支各有一個公共點.
（3）設(shè)，
聯(lián)立，得，得，
由可得.
聯(lián)立得，得
且分別交于左右兩支可得
又，又、、、四個點在同一直線上，
，
，還可得，
，
即，化簡后可得:，
代入后化簡可得:，解得，由，得.
經(jīng)檢驗，此時與兩支分別有交點，
為唯一滿足條件的實數(shù).

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問的關(guān)鍵是多次聯(lián)立，得到韋達定理，再將向量式化簡得，即，再代入韋達定理式計算即可.
21．(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意可知有唯一解，由可求出結(jié)果；
（2）求以及，研究的單調(diào)性，分析的圖像，可得出的函數(shù)值中不存在值時的情況，列出等式可解出的取值；
（3）從充分性以及必要性兩種情況來證.
【詳解】（1）由題設(shè)知：有唯一解，
即有唯一解，所以，解得：.
所以的值為.
（2），
當(dāng)時，由可得：或，由可得：或，
所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，且，，畫簡圖如下：
若的函數(shù)值中不存在值，則不存在唯一解，即，
解得：；
當(dāng)時，，令，則，令，則，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時存在有唯一解，不符合題意，所以，實數(shù)取值的集合為.
（3）由函數(shù)的圖象是一條連續(xù)曲線，且函數(shù)的所有函數(shù)值均為值可知，的任一解均唯一，即是單調(diào)函數(shù).
充分性：若在上為嚴格增函數(shù)，則對，
有，即成立，則有；
必要性：若在上不為嚴格增函數(shù)，因為是單調(diào)函數(shù)，則假設(shè)是單調(diào)減函數(shù)，
則對，都有，即成立，
與矛盾，所以假設(shè)不成立，即在上為嚴格增函數(shù).
得證.
【點睛】思路點睛：若集合中有且僅有一個元素，等價于有唯一解，研究函數(shù)的單調(diào)性以及圖像，判斷有唯一解的情況即可.
題號
13
14
15
16






答案
A
B
D
A






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