一、單項(xiàng)選擇題：共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，僅有一項(xiàng)符合題目要求．
1. 已知，則下列說法正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋?br>所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)椋訠錯(cuò)誤，
對(duì)于C，因?yàn)?，所以集合不是集合的子集，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以D正確.
故選：D.
2. 若，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】，
當(dāng)時(shí)，，但不成立.
故選：B.
3. 設(shè)則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故選：A.
4. 已知函數(shù)y=fx的圖象為折線，則（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】因?yàn)樵诤瘮?shù)y=fx的圖象上，
當(dāng)時(shí)，設(shè)解析式為，，即，
當(dāng)時(shí)，設(shè)解析式為，，即，
，即.
故選：B.
5. 從甲袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從乙袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從兩袋各摸出一個(gè)球，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A. 2個(gè)球都是紅球的概率為 B. 2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為
C. 至少有1個(gè)紅球的概率為 D. 2個(gè)球不都是紅球的概率為
【答案】D
【解析】記從甲袋中摸出一個(gè)紅球事件為，從乙袋中摸出一個(gè)紅球的事件為，
且，，相互獨(dú)立，
對(duì)于A選項(xiàng)，2個(gè)球都是紅球的事件為，則有，
故A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的事件為，
則，故B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，至少有1個(gè)紅球的事件的對(duì)立事件是，
則，
所以至少有1個(gè)紅球的概率為，故C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，2個(gè)球不都是紅球的事件是事件的對(duì)立事件，其概率為，
故D不正確．
故選：D.
6. 若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，所以，即?br>所以函數(shù)的定義域是.
又，即，所以函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?
故選：B.
7. 若函數(shù)且在區(qū)間上的最大值比最小值多2，則（ ）
A. 4或 B. 4或 C. 2或 D. 2或
【答案】A
【解析】由題意解得或（舍去），
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，
則由題意得，
所以即，解得或（舍去）；
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，
則由題意得，
所以即，解得；
綜上可得：或．
故選：A.
8. 已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，若存在時(shí)，成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由題意知．設(shè)．
則．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增．
設(shè)．
若，則可得在區(qū)間有解．
在區(qū)間上有解，
且在區(qū)間上有解，
且在區(qū)間恒成立，．
故選：D.
二、多項(xiàng)選擇題：共4小題，每小題5分，共20分．每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，不選或有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列選項(xiàng)中說法正確的是（ ）
A. 若用分層隨機(jī)抽樣的方法抽得兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為8，12，若這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是10，則這兩組數(shù)據(jù)的權(quán)重比值為1
B. 一組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是6，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
C. 一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)都加2，所得的一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為
D. 一組數(shù)據(jù)的方差為，將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)都乘2，所得的一組新數(shù)據(jù)的方差為
【答案】AC
【解析】A選項(xiàng)：設(shè)兩組數(shù)據(jù)的權(quán)重為，由，
又，可解得，
所以這兩組數(shù)據(jù)的權(quán)重比值為1，故A正確；
B選項(xiàng)：因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是從小到大第5項(xiàng)數(shù)據(jù)6，
則，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)都加2，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為原來數(shù)據(jù)平均數(shù)加2，
故C正確；
D選項(xiàng)：將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)都乘2，則新數(shù)據(jù)的方差為原來數(shù)據(jù)方差的倍，
故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10. 若方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值可以是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】BCD
【解析】由題意在上有解，
.
故選：BCD．
11. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 函數(shù)且的圖象過定點(diǎn)
B. 是方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根的充分不必要條件
C. 的反函數(shù)是，則
D. 定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則
【答案】AC
【解析】函數(shù)，令，可得，
故函數(shù)的圖象過定點(diǎn)，故A正確；
根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得，即，
故是方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根的必要不充分條件，故B錯(cuò)誤；
的反函數(shù)是，故C正確；
在上是奇函數(shù)，，
解得，又時(shí)，fx=x2-2x，
，故D錯(cuò)誤．
故選：AC.
12. 若正實(shí)數(shù)滿足，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A. 的最小值為8．
B. 的最小值為
C. 的最大值為．
D. 的最小值為．
【答案】ABC
【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；
B選項(xiàng)，因?yàn)?br>，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故B項(xiàng)正確；
C選項(xiàng)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以的最大值為，故C項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)，因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：ABC.
三、填空題：共4小題，每題5分，共20分．
13. 冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的值為________．
【答案】
【解析】為冪函數(shù)，或，
又在區(qū)間0，+∞上單調(diào)遞增，.
14. 在用二分法求方程的正實(shí)數(shù)跟的近似解（精確度）時(shí)，若我們選取初始區(qū)間是，為達(dá)到精確度要求至少需要計(jì)算的次數(shù)是________．
【答案】7
【解析】設(shè)至少需要計(jì)算次，則滿足，即，
由于，故要達(dá)到精確度要求至少需要計(jì)算7次.
15. 若，且，則稱是“伙伴關(guān)系集合”在集合所有非空子集中任選一個(gè)集合，則該集合是“伙伴關(guān)系集合”的概率為________．
【答案】
【解析】，集合的所有非空子集的個(gè)數(shù)為，
若，則；
若，則；
若，則與成對(duì)出現(xiàn)；
若，則與成對(duì)出現(xiàn)，
集合的所有非空子集中，“伙伴關(guān)系集合”共有（個(gè)）．
在集合的所有非空子集中任選一個(gè)集合，則該集合是“伙伴關(guān)系集合”的概率為．
16. 已知函數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，．
當(dāng)x∈1，+∞時(shí)，，
當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，．
令gx=0，即，
或，如圖可知，要使有個(gè)零點(diǎn)，
則方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，結(jié)合函數(shù)的圖象可得.
四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)．
17. 已知函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）若，試用表示．
解：（1）因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，，；
經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，故.
（2）由（1）可知，
根據(jù)，可得，
則，故，
又，.
18. 2023年9月23日，中國(guó)農(nóng)歷象征收獲的秋分時(shí)節(jié)，第19屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)在浙江杭州隆重開幕．杭州基礎(chǔ)設(shè)施全面升級(jí)、城市面貌煥然一新、民生服務(wù)格局大變．為了解杭州老百姓對(duì)城市基礎(chǔ)設(shè)施升級(jí)工作滿意度，從該地的A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40戶居民，根據(jù)大家對(duì)城市基礎(chǔ)設(shè)施升級(jí)工作的滿意度評(píng)分（單位：分），得到地區(qū)的居民滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖（如圖）和地區(qū)的居民滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表（如表1）．
表2
（1）根據(jù)居民滿意度評(píng)分，將居民的滿意度分為三個(gè)等級(jí)（如表2），估計(jì)哪個(gè)地區(qū)的居民滿意度等級(jí)為不滿意的可能性大，說明理由.
（2）將頻率看作概率，從A，B兩地區(qū)居民中各隨機(jī)抽查1戶居民進(jìn)行調(diào)查，求至少有一戶居民評(píng)分滿意度等級(jí)為“非常滿意”的概率
解：（1），，
地區(qū)的居民滿意度等級(jí)為不滿意的頻率為，
由表1可知地區(qū)的居民滿意度等級(jí)為不滿意的頻率為，
故地區(qū)居民的滿意度等級(jí)為不滿意的可能性更大．
（2）記事件表示“從地區(qū)隨機(jī)抽取一戶居民滿意度評(píng)級(jí)為非常滿意”，
則．
記事件表示“從地區(qū)隨機(jī)抽取一戶居民滿意度評(píng)級(jí)為非常滿意”，
則．
事件和事件相互獨(dú)立，則事件和事件相互獨(dú)立，
，
記事件表示“至少有一戶居民評(píng)分滿意度等級(jí)為非常滿意”，
則.
19. 已知函數(shù)
（1）是否存在實(shí)數(shù)使得關(guān)于的不等式的解集為，若存在．求實(shí)數(shù)的值或取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（2）若關(guān)于的不等式的解集是，集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解：（1）設(shè)在恒成立，
顯然當(dāng)，即時(shí)不滿足在上恒成立；
當(dāng)時(shí)，
，
綜上，存在使得的解集為.
（2）由題意可設(shè)在上恒成立，
當(dāng)，即時(shí)，，滿足在上恒成立；
當(dāng)，即時(shí)，
在上恒成立；
，；
當(dāng)，即時(shí)，可得，，
綜上．
20. 臨川菜梗是江西臨川的傳統(tǒng)民間特產(chǎn)，以“不怕辣”而著稱，相傳宋神宗熙寧年間王安石出任平章事（宰相），平時(shí)愛以家鄉(xiāng)菜梗招待同僚進(jìn)餐，美譽(yù)傳至宋神宗，于是命（再想）家鄉(xiāng)進(jìn)貢來，嘗后大悅御批為“天下一絕”．近日，臨川一家食品店的店員對(duì)每天的萊梗銷售情況盤點(diǎn)后發(fā)現(xiàn)：該商品在過去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)），每件的銷售價(jià)格（單位：元）與時(shí)間（單位：天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足，日銷售量（單位：件）與時(shí)間（單位：天）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：
（1）給出以下四種函數(shù)模型：①；②；③；④．請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量與時(shí)間的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)該店臨川菜梗的日銷售收入為（單位：元），求的最小值．
解：（1）由表中的數(shù)據(jù)知，當(dāng)時(shí)間變化時(shí)，先增后減，
而函數(shù)模型①；③；④都是單調(diào)函數(shù)，
所以選擇函數(shù)模型②，
根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知，解得，
所以.
（2），
即，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
最小值為，
，所以最小值為1681元.
21. 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足對(duì)任意，都有
（1）求證：是奇函數(shù)；
（2）設(shè)，且當(dāng)時(shí)，，求不等式的解集．
解：（1）證明：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又對(duì)任意，都有，
令，得f1=0，
令，得，
令，
得，
∴fx是奇函數(shù).
（2），，
，
設(shè)，則，所以，
在0，+∞上是減函數(shù)，
因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br>又，所以是偶函數(shù)，
因?yàn)椋?br>，則，解得，
不等式的解集為或.
22. 對(duì)于區(qū)間，若函數(shù)同時(shí)滿足：①在上是單調(diào)函數(shù)，②函數(shù)的定義域?yàn)闀r(shí)，值域也為，則稱區(qū)間為函數(shù)的“保值”區(qū)間．
（1）求函數(shù)的所有“保值”區(qū)間．
（2）函數(shù)的一個(gè)“保值”區(qū)間為，當(dāng)變化時(shí)，求的最大值．
解：（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
令區(qū)間為函數(shù)的“保值”區(qū)間，則在上單調(diào)，
即有或，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則，即，
于是是方程，即的兩個(gè)不同的非正實(shí)根，
顯然，方程兩根異號(hào)，與矛盾，即不符合題意；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，即，
則有，所以函數(shù)的“保值”區(qū)間為.
（2）令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由是函數(shù)的一個(gè)“保值”區(qū)間，得或，
且在上單調(diào)遞增，
則，即是方程，即的兩個(gè)同號(hào)的不等根，
于是，解得，且，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.滿意度評(píng)分
頻數(shù)
2
8
14
10
6
滿意度評(píng)分
低于70分
滿意度等級(jí)
不滿意
滿意
非常滿意
10
15
20
25
30
170
175
180
175
170

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