一、選擇題
1．若復(fù)數(shù),則z的虛部為( )
A.B.C.D.
2．的值為( )
A.B.C.D.
3．直線l與平面不平行,則( )
A.l與相交B.
C.l與相交或D.以上結(jié)論都不對(duì)
4．在中，若，，，則邊AC的長(zhǎng)為( )
A.B.C.D.
5．在中,邊上的中線與邊上的中線的交點(diǎn)為E,若,則( )
A.1B.-1C.D.
6．如圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖,則在該正方體中與底面的夾角的余弦值為( )
A.B.C.D.
7．如圖所示,為測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB,選取了與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D,現(xiàn)測(cè)得,,,,則塔高AB為( )
A.B.C.D.
8．如圖,在中,點(diǎn)D,D,E分別為BC和BA的三等分點(diǎn),點(diǎn)D靠近點(diǎn)B,AD交CE于點(diǎn)P,設(shè),,則( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知向量,,則的值可以是( )
A.1B.2C.D.3
10．如圖,正方體中,,P為線段上的動(dòng)點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是( )
A.B.平面
C.三棱錐的體積為定值D.的最小值為
11．設(shè)函數(shù)的最小正周期為,且過(guò)點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是( )
A.為偶函數(shù)
B.的一條對(duì)稱軸為
C.把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù),則
D.若在上單調(diào)遞減,則a的取值范圍為
三、填空題
12．計(jì)算:_____________.
13．已知,,,,則向量在向量上的投影向量為_(kāi)__________（用坐標(biāo)表示）
14．四面體中,,,,則該四面體的體積____________.
四、解答題
15．如圖,在圓錐中,已知,的直徑,點(diǎn)C是的中點(diǎn),點(diǎn)D為的中點(diǎn).
(1)證明：平面平面;
(2)求直線與平面夾角的正弦值.
16．已知函數(shù)的圖象與x軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為,且.
（1）求的解析式;
（2）將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.
17．若的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足.
（1）求角A；
（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍.
18．如圖,設(shè)Ox,Oy是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸,,分別是與x軸,y軸正方向同向的單位向量.若向量,則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在斜坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo).設(shè)向量,在斜坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)分別為,.
（1）求;
（2）求向量在向量上的投影向量在斜坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo).
19．如圖所示,四棱錐中,四邊形是菱形,棱長(zhǎng)為2,,,.
(1)證明：
(2)若,求
(3)若,M為邊的中點(diǎn),G為四棱錐表面上一動(dòng)點(diǎn)且恒有,求動(dòng)點(diǎn)G的軌跡長(zhǎng).
參考答案
1．答案：B
解析：由復(fù)數(shù),所以z的虛部為.
故選：B.
2．答案：A
解析：,
故選：A
3．答案：C
解析：由直線與平面的位置關(guān)系概念,可得直線在平面內(nèi)、直線與平面平行、直線與平面相交三種位置關(guān)系,
因?yàn)橹本€l與平面不平行,所以l與相交或.
故選：C.
4．答案：B
解析：因?yàn)?，，，所以由正弦定理得?br>5．答案：D
解析：由題可知E為三角形的重心,
則,
,,
.
故選：D.
6．答案：D
解析：由展開(kāi)圖可得如下直觀圖,由正方體的性質(zhì)可知平面,則即為與底面的夾角,
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則,,
所以,即與底面的夾角的余弦值為.
故選：D.
7．答案：C
解析：在中,,,,
所以,
所以,
由正弦定理,
可得,
在直角中,因?yàn)?br>所以,
即塔高為.
故選:C.
8．答案：B
解析：設(shè),,
所以,
又,所以,
因?yàn)?
所以,
所以,解得,
所以,
故選：B.
9．答案：BC
解析：由題知,
,
因?yàn)?,
所以,,
即的范圍為.
故選：BC
10．答案：ACD
解析：對(duì)于A中,如圖(1)所示,在正方體中,連接,,
連接,在正方形中,可得,
由平面,平面,所以,
因?yàn)榍?平面,所以平面,
又因?yàn)槠矫?所以,
連接,同理可證平面,因?yàn)槠矫?所以,
因?yàn)榍?平面,所以平面,
因?yàn)槠矫?所以,所以A正確;
對(duì)于B中,當(dāng)點(diǎn)P不與B重合時(shí),過(guò)點(diǎn)P作,
因?yàn)?所以,所以平面即為平面,
如圖所示,在正方形中,與不垂直,
所以與平面不垂直,所以B不正確;
對(duì)于C中,分別連接,,
在正方體,因?yàn)?平面,平面,
所以平面,同理可證：平面,
因?yàn)榍?平面,所以平面平面,
因?yàn)槠矫?所以平面,
又因?yàn)镻是上的一動(dòng)點(diǎn),
所以點(diǎn)P到平面的距離等于點(diǎn)B到平面的距離,且為定值,
因?yàn)榈拿娣e為定值,所以三棱錐的體積為定值,所以C正確;
對(duì)于D中,將繞著展開(kāi),使得平面與平面重合,
如圖(2)所示,連接,當(dāng)P為和的交點(diǎn)時(shí),
即P為的中點(diǎn)時(shí),即時(shí),取得最小值,
因?yàn)檎襟w中,,可得,,
在等邊中,可得,在直角中,可得,
所以的最小值為,所以D正確.
故選：ACD.

11．答案：ABD
解析：,
因?yàn)楹瘮?shù)最小正周期為,,所以,則,
又函數(shù)過(guò)點(diǎn),所以,即,
所以,,
所以,,又,所以,
所以,易知函數(shù)的定義域?yàn)镽,且,所以為偶函數(shù),故A正確;
令,,則,,當(dāng)時(shí),的一條對(duì)稱軸為,故B正確;
令,,則,,
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,若在上單調(diào)遞減,則a的取值范圍為,故D正確;
把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù),
則,故C錯(cuò)誤.
故選：ABD.
12．答案：
解析：
.
故答案為：.
13．答案：
解析：因?yàn)?,,
所以,
所以向量在向量上的投影向量為.
故答案為：.
14．答案：8
解析：如圖所示,把四面體放置在一個(gè)如圖所示的長(zhǎng)方體中,
設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬和高分別為a,b,c,
可得,解得,,所以長(zhǎng)方體的體積為,
又由,
所以四面體的體積為.
故答案為：8.
15．答案：(1)證明見(jiàn)解析
(2)
解析：(1)證明：連接,因?yàn)?D為的中點(diǎn),所以.
又因?yàn)榈酌?底面,所以,
因?yàn)?且,面,所以平面,
又因?yàn)槠矫?所以平面平面.
(2)連接并延長(zhǎng),與過(guò)點(diǎn)B且與平行的直線交于點(diǎn)E,可得,
由(1)知平面,所以面,
所以直線與平面的夾角即為,
又由,,
在直角中,可得,
即直線與平面的夾角的正弦值為.
16．答案：（1）
（2）,.
解析：（1）由已知得的最小正周期,所以,
從而,又,,所以,
所以.
（2）由已知得.
故,
令,,得,,
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由正弦定理可得：，
，
（2）因?yàn)椋?，所以，?br>由正弦定理得：
所以，
所以周長(zhǎng)
因?yàn)?，則，所以
故
所以周長(zhǎng)的取值范圍為.
18．答案：（1）3
（2）
解析：（1）由題可知:,,,
則.
（2）
記與的夾角為,
則向量在向量上的投影向量為,
所以向量在向量上的投影向量在斜坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)為.
19．答案：(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)
解析：(1)連接,依題意O為的中點(diǎn),
, ,
又四邊形是菱形,所以,
因?yàn)?,平面,
平面,平面, .
(2)取中點(diǎn)F,連接并與交于點(diǎn)E,
四邊形是菱形,,
為等邊三角形,所以E為其重心,
為的三等分點(diǎn)且,,
又,
,又,所以,,,平面,
平面,又平面, ,
由(1)知平面,平面,
,又,,平面,
平面,平面,
,
,所以,
,
又,,則,
,又,
;
(3)作,與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N,與延長(zhǎng)線交于點(diǎn),
作于H,連接,作,則,
與交于點(diǎn)S,與交于點(diǎn),
,,,,平面
平面,
,, 平面,平面,所以平面,
同理可證平面,
又,,平面,所以平面平面,
平面,
五邊形即為動(dòng)點(diǎn)G的軌跡,
易知,,,
又, ,,
,,
,,
, ,
,
由對(duì)稱性易知,
,
,,
所以軌跡長(zhǎng)
.

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