2022-2023學(xué)年江西省撫州市高二上學(xué)期學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知直線平分圓，且與直線垂直，則直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意可知直線過(guò)圓心，斜率為，即可得到直線的方程．【詳解】因?yàn)橹本€平分圓，且與直線垂直，所以直線過(guò)圓心，斜率為，即直線的方程是．故選：D．2．3名同學(xué)分別從5個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同的選法種數(shù)是(    )A．10 B．60 C．125 D．243【答案】C【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可計(jì)算．【詳解】3名同學(xué)均各自有5種選擇方法，彼此之間互不影響，故由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的選法種數(shù)為：．故選：C．3．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)，均在軸上，的面積為，且短軸長(zhǎng)為，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)“逼近法”求橢圓的面積公式，及短軸長(zhǎng)為，即可求得的值，進(jìn)而由焦點(diǎn)在軸上可得的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題意可得解得，，因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)文化，橢圓的幾何性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程求法，屬于基礎(chǔ)題.4．已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)，為的邊上一動(dòng)點(diǎn)，則直線斜率的變化范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】作出圖象，求出的斜率，再結(jié)合圖象即可得解.【詳解】如圖所示，，因?yàn)?/span>為的邊上一動(dòng)點(diǎn)，所以直線斜率的變化范圍是.故選：D.5．已知圓，過(guò)點(diǎn)（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為（    ）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【分析】當(dāng)直線和圓心與點(diǎn)的連線垂直時(shí)，所求的弦長(zhǎng)最短，即可得出結(jié)論.【詳解】圓化為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線和直線垂直時(shí)，圓心到過(guò)點(diǎn)的直線的距離最大，所求的弦長(zhǎng)最短，此時(shí)根據(jù)弦長(zhǎng)公式得最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，以及幾何法求弦長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.6．在正方體中，是底面的中心，分別是棱的中點(diǎn)，則直線（　　）A．和都垂直B．垂直于，但不垂直于C．垂直于，但不垂直于D．與都不垂直【答案】A【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示可證得與都垂直.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)?/span>軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，，，，，，，，，，，.故選：A.7．如圖，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，延長(zhǎng)與橢圓交于點(diǎn)Q．若，則直線的斜率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，設(shè)（），則.利用橢圓的定義表示出，由勾股定理求出，即可得到，進(jìn)而求出直線的斜率.【詳解】如圖，連接，，設(shè)（），則.因?yàn)?/span>，，所以，.在中，，所以，即，整理得，所以，所以直線的斜率為．故選：A.8．楊輝是我國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他在《詳解九章算法》一書中，畫了一個(gè)由二項(xiàng)式展開式的系數(shù)構(gòu)成的三角形數(shù)陣，稱作“開方作法本源”，這就是著名的“楊輝三角”．在“楊輝三角”中，從第2行開始，除1以外，其他每一個(gè)數(shù)值都是它上面的兩個(gè)數(shù)值之和，每一行第k（，）個(gè)數(shù)組成的數(shù)列稱為第k斜列．該三角形數(shù)陣前5行如圖所示，則該三角形數(shù)陣前2022行第k斜列與第斜列各項(xiàng)之和最大時(shí)，k的值為（    ）第1行          1   1第2行        1   2  1第3行      1   3  3  1第4行    1  4   6   4  1第5行  1  5  10  10  5  1A．1009 B．1010 C．1011 D．1012【答案】C【分析】根據(jù)題意可得第k斜列各項(xiàng)之和為，第k+1斜列各項(xiàng)之和為，結(jié)合組合數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，第k斜列各項(xiàng)之和為，同理，第k+1斜列各項(xiàng)之和為，所以，當(dāng)?shù)?/span>k斜列與第k+1斜列各項(xiàng)之和最大時(shí)，，解得.故選：C. 二、多選題9．（多選）點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則的取值不可能是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】求出實(shí)數(shù)的取值范圍，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】由已知條件可得，即，解得.故選：AD.10．在的展開式中，下列說(shuō)法正確的有（    ）A．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128 B．所有項(xiàng)的系數(shù)和為0C．系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)和第5項(xiàng) D．存在常數(shù)項(xiàng)【答案】AB【分析】利用二項(xiàng)式定理以及展開式的通項(xiàng)，賦值法對(duì)應(yīng)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：選項(xiàng)A：所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故A正確；選項(xiàng)B：令，則，所以所有項(xiàng)的系數(shù)的和為0，故B正確；選項(xiàng)C：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，第四項(xiàng)為，第五項(xiàng)為，顯然第五項(xiàng)的系數(shù)最大，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：令，解得，故不存在常數(shù)項(xiàng)，故D錯(cuò)誤；故選：AB．11．已知、是雙曲線的上、下焦點(diǎn)，點(diǎn)是該雙曲線的一條漸近線上的一點(diǎn)，并且以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．雙曲線的漸近線方程為B．以為直徑的圓的方程為C．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為D．的面積為【答案】ACD【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出漸近線方程，以為直徑的圓的方程，點(diǎn)坐標(biāo)，的面積然后判斷各選項(xiàng)．【詳解】由雙曲線方程知，焦點(diǎn)在軸，漸近線方程為，A正確；，以為直徑的圓的方程是，B錯(cuò)；由得或，由對(duì)稱性知點(diǎn)橫坐標(biāo)是，C正確；，D正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，解題時(shí)可根據(jù)雙曲線方程確定，同時(shí)注意焦點(diǎn)據(jù)的軸，然后根據(jù)求解其他量．12．如圖，矩形ADFE、矩形CDFG、正方形ABCD兩兩垂直，且，若線段DE上存在點(diǎn)P，使得，則邊CG長(zhǎng)度的可能值為（    ）A．2 B． C．4 D．【答案】CD【分析】以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，即，再根據(jù)，得，結(jié)合二次函數(shù)得性質(zhì)即可得解.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，  設(shè)，則，即，又，所以，由，得，顯然且，則，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以.故選：CD. 三、填空題13．若直線：與：平行，則與之間的距離為______．【答案】【分析】先根據(jù)兩直線平行求得，再根據(jù)平行直線間的距離公式即可得解.【詳解】因?yàn)橹本€：與：平行，所以，解得，所以直線：與：平行，所以與之間的距離為.故答案為：.14．的展開式中的系數(shù)為______．【答案】40 【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，直接計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，令，則，所以的系數(shù)為．故答案為：40.15．如圖，三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為1，底面ABC，點(diǎn)M，N在直線SH上，且，若動(dòng)點(diǎn)P在底面ABC內(nèi)，且的面積為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為______．【答案】/【分析】由題得當(dāng)點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)時(shí)，其軌跡是以H為圓心，為半徑的圓．點(diǎn)P的軌跡為圓H位于底面ABC內(nèi)的三段相等的圓弧，再計(jì)算得解.【詳解】解：設(shè)P到直線MN的距離為d，由題得，易知H為的中心，又平面ABC，當(dāng)點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)時(shí)，其軌跡是以H為圓心，為半徑的圓．∵內(nèi)切圓的半徑為，∴圓H的一部分位于外，結(jié)合題意得，點(diǎn)P的軌跡為圓H位于底面ABC內(nèi)的三段相等的圓弧，如圖，過(guò)點(diǎn)H作，垂足為O，則，記圓H與線段OC的交點(diǎn)為K，連接HK，可得，∴，∴，∴點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為圓H周長(zhǎng)的，∴點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為．故答案為：16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，在雙曲線的右支上，，則雙曲線離心率的取值范圍是____________.【答案】【分析】結(jié)合已知條件與雙曲線的定義可得，再利用余弦定理得到，求出的范圍，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，由，得，由余弦定理得，因?yàn)?/span>，所以，即，又，所以.故答案為：. 四、解答題17．已知點(diǎn)，圓．(1)若直線過(guò)點(diǎn)，且圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)也在圓上，求直線的方程；(2)若直線過(guò)點(diǎn)，且直線與圓交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）由題意得到直線經(jīng)過(guò)圓的圓心，求得直線斜率為，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解；（2）根據(jù)題意得到圓心C到直線的距離為,設(shè)直線的方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，即可求解.【詳解】（1）解：由圓，可得圓心坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，且圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)也在圓上，可得直線經(jīng)過(guò)圓的圓心，所以直線斜率為，所以直線的方程為，整理得.（2）解：由及圓的半徑為，可得，圓心C到直線的距離為,設(shè)直線的斜率為m，則直線的方程為，圓心C到直線的距離，解得或，所以直線的方程為或．18．現(xiàn)要安排名醫(yī)護(hù)人員前往四處核酸檢測(cè)點(diǎn)進(jìn)行核酸檢測(cè)，每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)安排兩名醫(yī)護(hù)人員前往.已知甲?乙兩人不能安排在同一處檢測(cè)點(diǎn).(1)求不同的安排方法總數(shù)；(2)記四處檢測(cè)點(diǎn)分別為，若甲不能前往檢測(cè)點(diǎn)，乙不能前往檢測(cè)點(diǎn)，求不同的安排方法數(shù).【答案】(1)(2) 【分析】（1）先安排兩人與甲、乙前往兩個(gè)不同檢測(cè)點(diǎn)，再將剩余人平均分配到另外兩個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果；（2）將所有安排方法分為乙前往檢測(cè)點(diǎn)和不前往檢測(cè)點(diǎn)兩類，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算可求得每一類的方法數(shù)，由分類加法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果.【詳解】（1）第一步：選擇兩人與甲、乙前往兩個(gè)不同的檢測(cè)點(diǎn)，則共有種安排方法；第二步：將剩余人安排到剩余的兩處檢測(cè)點(diǎn)，共有種安排方法；由分步乘法計(jì)數(shù)原理得：不同的安排方法有種.（2）若乙前往檢測(cè)點(diǎn)，則有種安排方法；若乙不前往檢測(cè)點(diǎn)，則有種安排方法；由分類加法計(jì)數(shù)原理得：不同的安排方法有種.19．如圖在邊長(zhǎng)是2的正方體中，E，F分別為AB，的中點(diǎn)．（1）求異面直線EF與所成角的大?。?/span>（2）證明：平面．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用可得解；（2）利用和，可證得線線垂直，進(jìn)而得線面垂直.【詳解】據(jù)題意，建立如圖坐標(biāo)系．于是：，，，，，∴，，，．（1），∴∴異面直線EF和所成的角為．（2）∴，即，∴即．又∵，平面且∴平面．20．如圖，三棱柱中，側(cè)面BB1C1C是菱形，其對(duì)角線的交點(diǎn)為O，且AB=AC1，AB⊥B1C．(1)求證：AO⊥平面BB1C1C；(2)設(shè)∠B1BC=60°，若直線A1B1與平面BB1C1C所成的角為45°，求二面角的余弦值．【答案】(1)見解析(2) 【分析】（1）證明B1C⊥平面ABC1，可得AO⊥BC1，再證明AO⊥BC1，根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；（2）易得直線AB與平面BB1C1C所成的角即∠ABO，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量法即可得出答案.【詳解】（1）證明：∵四邊形BB1C1C是菱形，∴B1C⊥BC1，∵AB⊥B1C，AB∩BC1=B，平面ABC1，∴B1C⊥平面ABC1，又平面ABC1，∴B1C⊥AO，∵AB=AC1，O是BC1的中點(diǎn)，∴AO⊥BC1，又B1C∩BC1=O，平面BB1C1C，∴AO⊥平面BB1C1C；（2）解：∵AB∥A1B1，∴直線A1B1與平面BB1C1C所成的角等于直線AB與平面BB1C1C所成的角，∵AO⊥平面BB1C1C，∴直線AB與平面BB1C1C所成的角即∠ABO，∴∠ABO=45°，不妨設(shè)菱形BB1C1C的邊長(zhǎng)為2，則在等邊三角形BB1C中，BO=，CO=B1O=1，在Rt△ABO中，AO=BO=，如圖，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以OB，OB1，OA所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面A1B1C1的法向量為，則有，可取，因?yàn)?/span>AO⊥平面BB1C1C，所以即為平面BB1C1C的一個(gè)法向量，則，由圖可知二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為．21．已知拋物線上第一象限的一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為2．(1)求拋物線C的方程和點(diǎn)坐標(biāo)；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l交拋物線C于A、B，若的角平分線與y軸垂直，求弦AB的長(zhǎng)．【答案】(1)拋物線方程為：， 點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）(2)4 【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義可求出，則可得拋物線方程，再將代入拋物線方程可求出，從而可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，（2）由題意可得直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為，，，將直線方程代入拋物線方程化簡(jiǎn)利用根與系數(shù)的關(guān)系，再由的角平分線與y軸垂直，可得，化簡(jiǎn)可求出的值，再利用弦長(zhǎng)公式可求得弦AB的長(zhǎng).【詳解】（1）由可得：p＝2，故拋物線方程為：，當(dāng)y＝1時(shí)，，又因?yàn)?/span>x＞0，所以x＝2，所以點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）；（2）由題意可得直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為，，，由，得，所以，，，因?yàn)?/span>的角平分線與y軸垂直，所以，所以，即，即，所以，，，所以.22．已知是橢圓：上一點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且，，的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）直線過(guò)橢圓右焦點(diǎn)，交該橢圓于、兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，射線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交橢圓于，記的面積為，的面積為，若，求直線的方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理求得，，由此求得橢圓的方程．（2）解法一：由已知和三角形的面積公式得．分斜率不存在和斜率存在兩種情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，設(shè)點(diǎn)，，代入作差得，得直線的方程為：，分別與橢圓的方程和的直線方程聯(lián)立求得和，可求得斜率，從而得直線的方程．解法二：由已知和三角形的面積公式得．當(dāng)斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，，直線AB的方程與橢圓的方程聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入橢圓的方程可求得，從而得直線的方程．【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，設(shè)，，，因?yàn)?/span>，的面積為，所以，所以．在中，由余弦定理得：，即，解得，所以，，所以橢圓的方程是．（2）解法一：因?yàn)?/span>，所以，所以，所以．當(dāng)斜率不存在時(shí)，，不合題意，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，設(shè)點(diǎn)，，則，兩式作差得：，即，故直線的方程為：，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，因?yàn)?/span>，所以，即，解得：，所以直線的方程為．（2）解法二：因?yàn)?/span>，所以，所以，所以．當(dāng)斜率為0時(shí)，，兩點(diǎn)重合，不合題意，故設(shè)直線的方程為，，，，聯(lián)立得，所以，，所以，，所以，即，將代入得，即，解得：，所以直線的方程為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為或不存在等特殊情形．有時(shí)若直線過(guò)x軸上的一點(diǎn)，可將直線設(shè)成橫截式. 

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