一、選擇題
1．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
2．已知復(fù)數(shù)，則( )
A.B.C.D.
3．已知命題p：，q：，則p是q的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.既不充分也不必要條件D.充要條件
4．已知一個(gè)圓柱形容器的軸截面是邊長(zhǎng)為3的正方形，往容器內(nèi)注水后水面高度為2，若再往容器中放入一個(gè)半徑為1的實(shí)心鐵球，則此時(shí)水面的高度為( )
A.B.C.D.
5．已知定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，，則( )
A.B.0C.1D.2
6．已知函數(shù)（）在點(diǎn)處的切線為直線l，若直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則實(shí)數(shù)( )
A.B.1C.2D.
7．十進(jìn)制計(jì)數(shù)法簡(jiǎn)單易懂，方便人們進(jìn)行計(jì)算.也可以用其他進(jìn)制表示數(shù)，如十進(jìn)制下，，用七進(jìn)制表示68這個(gè)數(shù)就是125，個(gè)位數(shù)為5，那么用七進(jìn)制表示十進(jìn)制的，其個(gè)位數(shù)是( )
A.1B.2C.5D.6
8．如圖，已知雙曲線（，）的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是雙曲線C的漸近線上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是雙曲線C左支上的一點(diǎn).若四邊形是一個(gè)平行四邊形，且，則雙曲線C的離心率是( )
A.B.2C.D.3
二、多項(xiàng)選擇題
9．若實(shí)數(shù)，則下列不等式一定成立的是( )
A.B.C.D.
10．在正三棱柱中，已知，點(diǎn)M，N分別為和的中點(diǎn)，點(diǎn)P是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的有( )
A.存在點(diǎn)P，使得平面B.直線與為異面直線
C.存在點(diǎn)P，使得D.存在點(diǎn)P，使得直線與平面的夾角為45°
11．已知函數(shù)，其中，，若直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則( )
A.B.
C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.在區(qū)間上單調(diào)遞減
三、填空題
12．若直線l：與圓C：交于A，B兩點(diǎn)，則________.
13．如圖是一個(gè)弓形（由弦與劣弧圍成）展臺(tái)的截面圖，A是弧上一點(diǎn)，測(cè)得，，，則該展臺(tái)的截面面積是________.
14．已知數(shù)列是有無(wú)窮項(xiàng)的等差數(shù)列，，公差，若滿足條件：①38是數(shù)列的項(xiàng)；②對(duì)任意的正整數(shù)m,n，都存在正整數(shù)k，使得.則滿足這樣的數(shù)列的個(gè)數(shù)是種________.
四、解答題
15．已知函數(shù)（，，），函數(shù)和它的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)已知，求的值.
16．已知四棱錐的底面是一個(gè)梯形，，，，，，.
(1)證明：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
17．已知函數(shù)（）.
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
18．某藥廠生產(chǎn)的一種藥品，聲稱對(duì)某疾病的有效率為80%.若該藥對(duì)患有該疾病的病人有效，病人服用該藥一個(gè)療程，有90%的可能性治愈，有10%的可能性沒(méi)有治愈；若該藥對(duì)患有該疾病的病人無(wú)效，病人服用該藥一個(gè)療程，有40%的可能性自愈，有60%的可能性沒(méi)有自愈.
(1)若該藥廠聲稱的有效率是真實(shí)的，利用該藥治療3個(gè)患有該疾病的病人，記一個(gè)療程內(nèi)康復(fù)的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望；
(2)一般地，當(dāng)n比較大時(shí)，離散型的二項(xiàng)分布可以近似地看成連續(xù)型的正態(tài)分布，若，則X可以近似看成隨機(jī)變量Y，，其中，，對(duì)整數(shù)，（），.現(xiàn)為了檢驗(yàn)此藥的有效率，任意抽取100個(gè)此種病患者進(jìn)行藥物臨床試驗(yàn)，如果一個(gè)療程內(nèi)至少有k人康復(fù)，則此藥通過(guò)檢驗(yàn).現(xiàn)要求：若此藥的實(shí)際有效率為，通過(guò)檢驗(yàn)的概率不低于0.9772，求整數(shù)k的最大值.（參考數(shù)據(jù)：若，則，，）
19．已知橢圓（）的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，的兩頂點(diǎn)P，Q是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)P為橢圓C的左頂點(diǎn)，Q為橢圓C的下頂點(diǎn)時(shí)，，且的面積為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若的平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，求面積的最大值.
參考答案
1．答案：C
解析：因?yàn)榭傻茫?br>由可得：或，解得：或
因?yàn)?，或，所?
故選：C.
2．答案：D
解析：因?yàn)?，所以?br>所以
故選：D
3．答案：B
解析：因?yàn)閜：，可得，解得，
又由，可得，所以p是q的必要不充分條件.
故選：B.
4．答案：C
解析：由已知可得圓柱的底面半徑為，往容器內(nèi)注水后水面高度為2，
此時(shí)放入一個(gè)半徑為1的實(shí)心鐵球，鐵球的直徑為2，所以鐵球完全沒(méi)入水中，
設(shè)此時(shí)水面的高度為h，則，解得.
故選：C
5．答案：A
解析：因?yàn)閷?duì)任意的x都有，且，
所以，
所以.
故選：A
6．答案：C
解析：易知，，且，
所以直線，
它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為和，
可得，又，
解得.
故選：C
7．答案：D
解析：由題意知個(gè)位數(shù)應(yīng)為除以的余數(shù)，
因?yàn)?，除?的余數(shù)為6.
故選：D.
8．答案：A
解析：因?yàn)樗倪呅问且粋€(gè)平行四邊形，且，可得，即，
由雙曲線，可得，漸近線方程為，即，
可得，且，
因?yàn)橹本€，可得，
又因?yàn)椋约矗?br>代入雙曲線C方程，可得，整理得，
所以，可得，即，
所以離心率.
故選：A.
9．答案：ABD
解析：因?yàn)樵诙x域R上單調(diào)遞減且，所以，故A正確；
因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增且，所以，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，故C不正確；
因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增且，所以，故D正確.
故選：ABD
10．答案：BCD
解析：A：如圖（1），因?yàn)榕c相交，所以與平面相交，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
B：如圖（1），因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以直線與為異面直線，故選項(xiàng)B正確；
C：如圖（2），當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，
因?yàn)?，面，面，所以?br>又，且都在面內(nèi)，
所以面，
又面，所以，故選項(xiàng)C正確；
D：當(dāng)時(shí)，此時(shí)為等腰直角三角形，
因?yàn)槊妫詾樵诿鎯?nèi)的投影，
所以為所求線面角，
所以直線與平面所成的角為，故選項(xiàng)D正確.
故選：BCD.
11．答案：AD
解析：對(duì)于A，由直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，得到.
又因?yàn)?，得到，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋趨^(qū)間上的值域?yàn)椋?br>所以或，且，
因此.
若，則，或.
因?yàn)?，得?br>此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，不符合條件.
若，則，或.
因?yàn)椋没蚧?
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，符合條件.
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，不符合條件.
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，不符合條件.
綜上，當(dāng)時(shí)，，符合條件，故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,，當(dāng)時(shí)，，
所以在區(qū)間上不是單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D正確.
故選：AD
12．答案：
解析：由圓，故圓心，半徑為，直線，
故圓心到直線l的距離為，
.
故答案為：.
13．答案：.
解析：
如圖：設(shè)展臺(tái)所在的圓的圓心為O，半徑為R，，
則，
即，，
所以展臺(tái)的面積為
故答案為：.
14．答案：
解析：設(shè)x是數(shù)列中的任意一項(xiàng)，則，均是數(shù)列中的項(xiàng)，由已知，設(shè),，則由等差數(shù)列定義得.
因?yàn)椋?，即?shù)列的每一項(xiàng)均是整數(shù)，所以數(shù)列的每一項(xiàng)均是自然數(shù)，且d是正整數(shù).
由題意，設(shè)，則是數(shù)列中的項(xiàng)，所以是數(shù)列中的項(xiàng).
設(shè)，則，即.
因?yàn)?，故d是的約數(shù).所以.
當(dāng)時(shí)，，得，故，共39種可能；
當(dāng)時(shí)，，得，故，共20種可能；
當(dāng)時(shí)，，得，故，共3種可能；
當(dāng)時(shí)，，得，故，共2種可能；
當(dāng)時(shí)，，得，故，共2種可能；
當(dāng)時(shí)，，得，故，共1種可能；
當(dāng)時(shí)，，得，故，共1種可能；
當(dāng)時(shí)，，得，故，共1種可能.
綜上，滿足題意的數(shù)列共有（種）.
經(jīng)檢驗(yàn)，這些數(shù)列均符合題意.
故答案為：69.
15．答案：(1)；
(2)
解析：（1），
由圖象可以得到：，，
因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn)，，
所以，所以，
所以.
（2）由，得，
，
.
16．答案：(1)證明見(jiàn)解析；
(2)
解析：（1）設(shè),的中點(diǎn)分別為O,E，連接,,.
因?yàn)?，所?
因?yàn)?，所?
在梯形中，，
所以，，
，因此，
所以，又，平面，
，所以平面.
又因?yàn)槠矫?，所以平面平?
（2）如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，,所在直線分別為y軸，z軸，作出x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,,,.
則,，，
設(shè)平面的法向量，
，即，
令，得到，，即.
設(shè)平面的法向量，則
，則，
令，得到，，即.
.
因?yàn)槎娼鞘卿J二面角，
所以二面角的余弦值是.
17．答案：(1)；
(2)
解析：（1）當(dāng)時(shí)，，
，
由得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；
（2），，
依題意，存在實(shí)數(shù)m，n且，
使得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
記，則（）.
記，.
①當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
存在實(shí)數(shù)m，n且，使得時(shí)，，
即，單調(diào)遞減，
因此當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在時(shí)取得極大值.
②當(dāng)時(shí)，，因此，
即，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，不是函數(shù)的極大值點(diǎn).
③當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞增，
即當(dāng)時(shí)，，因此，不是函數(shù)的極大值點(diǎn).
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
18．答案：(1)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為2.4；
(2)72
解析：（1）記“一個(gè)患有該疾病的病人服用該藥一個(gè)療程康復(fù)”為事件A，則
，
因此，
，，
，
則X的分布列為：
X的數(shù)學(xué)期望.
（2）若該藥品的有效率為，由（1）得，一個(gè)療程內(nèi)，使用該藥后的康復(fù)率也為，
記康復(fù)的人數(shù)為隨機(jī)變量，則，
設(shè),，設(shè)，
所以，即，
所以整數(shù)k的最大值為72
19．答案：(1)；
(2)
解析：（1）
由條件得，解得，，
所以橢圓C的方程為；
(2)
由的平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，得到,的斜率都存在，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，可設(shè),，
點(diǎn)F的坐標(biāo)為，所以，化簡(jiǎn)得到.
由已知得到直線的斜率存在，設(shè)的方程為，,，
聯(lián)立方程組，得，①
，
,，
由，得到，
所以，
得，
根據(jù)韋達(dá)定理得
，化簡(jiǎn)得，
即或.
又當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，不符合題意，
因此，，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，
將代入方程①得，
由，解得.
面積.
設(shè)，，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此面積的最大值為.
X
0
1
2
3
P

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