湖北省恩施土家族苗族自治州巴東縣2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

范圍：九上全冊考時：120分鐘滿分：120分
注意事項：
1.本試卷分試題卷和答題卷兩個部分.
2.答題前，請你務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷上，并填寫答題卷上的考生信息.
3.選擇題務(wù)必使用2B鉛筆在答題卷選擇題的答題區(qū)域內(nèi)填涂；非選擇題務(wù)必使用黑色簽字筆在答題卷非選擇題各題指定的答題區(qū)域內(nèi)作答.填涂、書寫在試題卷上的一律無效，
4.考試結(jié)束，試題卷、答題卷一并上交.
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1. 中國“二十四節(jié)氣”已被列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄，下列四幅作品分別代表“立春”“立夏”“芒種”“大雪”，其中是中心對稱圖形的是（）
A. B.
C. D.
2. 方程的解是（）
A. B. C. D.
3. 下列關(guān)于拋物線的說法正確的是（）
A. 圖象開口向下B. 對稱軸是軸
C. 有最高點D. 隨的增大而增大
4. 下列事件是不可能事件的是（）
A. 射擊運動員射擊一次，命中靶心
B. 投一枚圖釘，釘尖朝上
C. 把一粒種子種在花盆中，種子發(fā)芽
D. 水中撈月
5. 已知⊙O的半徑為4，，則點A在（）
A ⊙O內(nèi)B. ⊙O上C. ⊙O外D. 無法確定
6. 一次函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象大致為（）
A B.
C. D.
7. 設(shè)，，其中為實數(shù)，則與大小關(guān)系是（）
A. B. C. D.
8. 如圖，已知點，，與關(guān)于軸對稱，連結(jié)，現(xiàn)將線段以點為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得，點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（）
A. B. C. D.
9. 趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為，拱高約為，則趙州橋主橋拱半徑R約為（）

A. B. C. D.
10. 已知二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中：：：若為任意實數(shù)，則有：點在拋物線上時，方程的兩根為，則，其中正確的結(jié)論的個數(shù)為（）
A. B. C. D.
二、填空題（每小題3分，共15分）
11. 拋物線與軸沒有交點，則的取值范圍是_____.
12. 在一幅長為，寬為的矩形掛畫四周鑲上相同寬度的金色紙邊，設(shè)金色紙邊的寬為，如果要使鑲邊后整個掛畫的面積是，那么滿足的方程是_____．
13. 如圖是的正方形網(wǎng)格飛鏢游戲板，假設(shè)飛鏢擊中游戲板的每一處是等可能的（擊中邊界或沒有擊中游戲板，則重投一次），任意投擲飛鏢一次，飛鏢擊中陰影部分的概率是_____
14. 如圖，四邊形是內(nèi)接四邊形，是的直徑，弦平分，若，則_____．
15. 如圖，在等邊中，，是邊上一動點，連接，把線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，點的對應(yīng)點為點，連接，當(dāng)線段最小時，的長為_____．
三、解答題（共75分）
16. 請閱讀下列解方程的過程：
解方程：，
原方程變形為：，
兩邊同除以，得：，
解這個方程，，
所以，原方程的解為，
上述解答是否正確?若有錯誤，請你指出錯誤的步驟并說明理由，然后寫出正確的解答過程.
17. 如圖，已知四邊形是矩形．
（1）尺規(guī)作圖：將矩形繞著點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到矩形，使點落在邊上（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）連接，若旋轉(zhuǎn)角，則_____（用含的代數(shù)式表示）．
18. 巴東有很多旅游景點是人們假期游玩的好去處.甲、乙兩人計劃，今年寒假從：神農(nóng)溪，：巫峽口，：綠蔥坡滑雪場三個景點中隨機(jī)選擇一個景點游玩.請用畫樹狀圖或列表的方法，求兩人都選擇去綠蔥坡滑雪場的概率．
19. 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，與軸交于點.
（1）求，的值，并在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)的圖象；
（2）若為二次函數(shù)的圖象對稱軸上的一動點，當(dāng)?shù)闹底钚r，求點的坐標(biāo).
20. 關(guān)于的方程.
（1）若方程有兩個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若方程的兩個實數(shù)根為，，求的最小值．
21. 如圖，在中，，是的中點，與相切于點，與交于點是的直徑，弦的延長線交于點，且．
（1）求證：是的切線；
（2）若，求的長．
22. 2023年亞運會在杭州舉行，在這期間某網(wǎng)絡(luò)經(jīng)銷商購進(jìn)一批以亞運會為主題的文化衫進(jìn)行銷售，文化衫的進(jìn)價為每件40元，當(dāng)銷售單價定為80元時，每天可售出50件．為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價每降低1元，則每天可多售出5件，若設(shè)這款文化衫降低了x（元），每天的銷售量為y（件）．
（1）請直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)銷售單價為多少元時，銷售每天所獲得的利潤為3000元？
（3）當(dāng)銷售單價定為多少元時，每天銷售這款文化衫獲得利潤w最大？最大利潤是多少元？
23. 如圖，已知，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，點恰好落在邊上
（1）求證：平分；
（2）當(dāng)時，其它條件不變，如圖，連接，判斷線段與線段的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖，請連接，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（4）如圖，當(dāng)，，時，求的長.
24. 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，且關(guān)于直線對稱.

圖1 圖2
（1）求線段的長；
（2）當(dāng)時，求的取值范圍；
（3）如圖2，點為拋物線對稱軸上的點，點，在對稱軸右側(cè)拋物線上，若為等腰直角三角形，，試證明：為定值.
2024年秋季學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測
九年級數(shù)學(xué)試題卷
范圍：九上全冊考時：120分鐘滿分：120分
注意事項：
1.本試卷分試題卷和答題卷兩個部分.
2.答題前，請你務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷上，并填寫答題卷上的考生信息.
3.選擇題務(wù)必使用2B鉛筆在答題卷選擇題的答題區(qū)域內(nèi)填涂；非選擇題務(wù)必使用黑色簽字筆在答題卷非選擇題各題指定的答題區(qū)域內(nèi)作答.填涂、書寫在試題卷上的一律無效，
4.考試結(jié)束，試題卷、答題卷一并上交.
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1. 中國“二十四節(jié)氣”已被列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄，下列四幅作品分別代表“立春”“立夏”“芒種”“大雪”，其中是中心對稱圖形的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進(jìn)行逐一判斷即可．本題主要考查了中心對稱圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握中心對稱圖形的定義．
【詳解】解：A．不是中心對稱圖形，故A選項不合題意；
B．不是中心對稱圖形，故B選項不合題意；
C．不是中心對稱圖形，故C選項不合題意；
D．是中心對稱圖形，故D選項合題意；
故選：D．
2. 方程的解是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握以上知識點是解答本題的關(guān)鍵．
運用直接開方法即可解答．
【詳解】解：，
，
故選：B．
3. 下列關(guān)于拋物線的說法正確的是（）
A. 圖象開口向下B. 對稱軸是軸
C. 有最高點D. 隨的增大而增大
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)．
由拋物線解析式可求得其開口方向、對稱軸、最值及增減性，則可判斷四個選項，可求得答案．
【詳解】解：拋物線的開口向上，有最低點，對稱軸為y軸，
當(dāng)時，函數(shù)值隨x的增大而減小，
∴四個選項中只有B選項的說法正確，
故選：B．
4. 下列事件是不可能事件的是（）
A. 射擊運動員射擊一次，命中靶心
B. 投一枚圖釘，釘尖朝上
C. 把一粒種子種在花盆中，種子發(fā)芽
D. 水中撈月
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了隨機(jī)事件，掌握事先能肯定它一定會發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件，可以有發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機(jī)事件是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)不可能事件的定義判斷即可．
【詳解】解：A、“射擊運動員射擊一次，命中靶心”是隨機(jī)事件，不符合題意；
B、“投一枚圖釘，釘尖朝上”是隨機(jī)事件，不符合題意；
C、“把一粒種子種在花盆中，種子發(fā)芽”是隨機(jī)事件，不符合題意；
D、“水中撈月”是不可能事件，符合題意；
故選：D．
5. 已知⊙O的半徑為4，，則點A在（）
A. ⊙O內(nèi)B. ⊙O上C. ⊙O外D. 無法確定
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)⊙O的半徑r=4，且點A到圓心O的距離d=5知d>r，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：∵⊙O的半徑r=4，且點A到圓心O的距離d=5，
∴d>r，
∴點A在⊙O外，
故選：C．
【點睛】本題主要考查點與圓的位置關(guān)系，點與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有：①點P在圓外?d＞r；②點P在圓上?d=r；③點P在圓內(nèi)?d＜r．
6. 一次函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象大致為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握以上知識點是解答本題的關(guān)鍵．
根據(jù)一次函數(shù)的圖像即可求出、的取值范圍，進(jìn)而可大致判斷二次函數(shù)的圖象，即可解答．
【詳解】解：由一次函數(shù)的圖象可知，，，
二次函數(shù)的開口向下，頂點坐標(biāo)在軸的負(fù)半軸上，
故選：B．
7. 設(shè)，，其中為實數(shù)，則與的大小關(guān)系是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了整式減法的應(yīng)用，完全平方公式的應(yīng)用，利用作差法，用完全平方公式，得，即可得解．
【詳解】解：∵
，
∴，
故選：A．
8. 如圖，已知點，，與關(guān)于軸對稱，連結(jié)，現(xiàn)將線段以點為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得，點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形---軸對稱，全等三角形性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)知識．過點作軸于點，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明，再利用坐標(biāo)與圖形---軸對稱和全等三角形性質(zhì)求解，即可解題．
【詳解】解：過點作軸于點，
有，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，
，
，
，
，
點，，與關(guān)于軸對稱，
，，
，
點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為，
故選：A．
9. 趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為，拱高約為，則趙州橋主橋拱半徑R約為（）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意可知，，，主橋拱半徑R，根據(jù)垂徑定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【詳解】解：如圖，由題意可知，，，主橋拱半徑R，
，
是半徑，且，
，
在中，，
，
解得：，
故選B
【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解題關(guān)鍵．
10. 已知二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中：：：若為任意實數(shù)，則有：點在拋物線上時，方程的兩根為，則，其中正確的結(jié)論的個數(shù)為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解答本題的關(guān)鍵．
利用拋物線開口向上得到，利用拋物線的對稱軸方程得到，即可判斷；由時，得，再結(jié)合得，由于，所以，即可判斷；當(dāng)時，取得最小值，所以，化簡后即可判斷；根據(jù)對稱性得二次函數(shù)與直線的一個交點為，所以，，代入中即可判斷．
【詳解】解：拋物線開口向上，
，
二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，即，
，故正確；
時，，
，
而，
，
，
，故正確；
時，取得最小值，
（為任意實數(shù)），
即，故正確；
點在拋物線上時，方程的兩根為，
二次函數(shù)與直線的一個交點為，
二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，
二次函數(shù)與直線的一個交點為，
即，，
，故正確；
故選：D．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11. 拋物線與軸沒有交點，則的取值范圍是_____.
【答案】
【解析】
【分析】本題考查拋物線與軸的交點問題．根據(jù)拋物線與軸沒有交點，可知當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根，則，從而可以求得的取值范圍．
【詳解】解：拋物線與軸沒有交點，
當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根，
，，
解得，，
故答案為：．
12. 在一幅長為，寬為的矩形掛畫四周鑲上相同寬度的金色紙邊，設(shè)金色紙邊的寬為，如果要使鑲邊后整個掛畫的面積是，那么滿足的方程是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．設(shè)金色紙邊的寬度為，則掛圖的長為，寬為，根據(jù)整個掛圖的面積是列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)金色紙邊的寬為，則掛圖的長為，寬為，
根據(jù)題意得：，
故答案為：．
13. 如圖是的正方形網(wǎng)格飛鏢游戲板，假設(shè)飛鏢擊中游戲板的每一處是等可能的（擊中邊界或沒有擊中游戲板，則重投一次），任意投擲飛鏢一次，飛鏢擊中陰影部分的概率是_____
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了幾何概率，掌握幾何概率的計算方法是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)幾何概率的計算方法解答即可．
【詳解】解：由題意得：一個陰影小三角形的面積為，
則陰影部分面積為，
正方形網(wǎng)格的面積為，
任意投擲飛鏢一次，飛鏢擊中陰影部分的概率是，
故答案為：．
14. 如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是的直徑，弦平分，若，則_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)等知識．根據(jù)是的直徑得到，進(jìn)而求出，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)即可求出，再利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．
【詳解】解：∵是的直徑，
∴，
∴，
∵弦平分，
∴，
∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，
∴，
∴．
故答案為：．
15. 如圖，在等邊中，，是邊上一動點，連接，把線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，點的對應(yīng)點為點，連接，當(dāng)線段最小時，的長為_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，垂線段最短，求出當(dāng)最小時，、的長度，的度數(shù)，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，
當(dāng)最小時最小，
∵點到直線距離，垂線段最短，
∴當(dāng)時，、最小，
∵等邊，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴．
三、解答題（共75分）
16. 請閱讀下列解方程的過程：
解方程：，
原方程變形為：，
兩邊同除以，得：，
解這個方程，，
所以，原方程的解為，
上述解答是否正確?若有錯誤，請你指出錯誤的步驟并說明理由，然后寫出正確的解答過程.
【答案】不正確，錯誤的步驟是，理由：時，兩邊不能同時除以，正確的解答過程見解析
【解析】
【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握以上知識點是解答本題的關(guān)鍵．
根據(jù)解一元二次方程的方法解答即可．
【詳解】解：不正確，錯誤的步驟是，理由：時，兩邊不能同時除以，
正確過程如下：
解：，
原方程變形為：，
移項得：，
因式分解得：，
化簡得：，
或，
解得：，
方法二：，
原方程變形為：，
當(dāng)時，
兩邊同除以，得：，
解這個方程，，
當(dāng)時，所以，，
所以，原方程的解為，．
17. 如圖，已知四邊形矩形．
（1）尺規(guī)作圖：將矩形繞著點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到矩形，使點落在邊上（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）連接，若旋轉(zhuǎn)角，則_____（用含的代數(shù)式表示）．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
【分析】本題主要考查尺規(guī)作圖，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．
（1）用圓規(guī)以點為圓心，為半徑畫圓，交于點，再過點作的垂線，在上截取，再分別以點為圓心，為半徑畫弧，再以A為圓心，為半徑畫弧，兩弧交于點，則四邊形即為所作；
（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到且，利用等腰三角形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)即可求解．
【小問1詳解】
解：四邊形如圖所示：
；
【小問2詳解】
解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，
∴，，
，
，
∵四邊形是矩形,
∴，
∴，
故答案為：．
18. 巴東有很多旅游景點是人們假期游玩的好去處.甲、乙兩人計劃，今年寒假從：神農(nóng)溪，：巫峽口，：綠蔥坡滑雪場三個景點中隨機(jī)選擇一個景點游玩.請用畫樹狀圖或列表的方法，求兩人都選擇去綠蔥坡滑雪場的概率．
【答案】
【解析】
【分析】用樹狀圖列舉出可能出現(xiàn)的情況，再求出概率，即可求解．
本題考查了概率的計算，熟練掌握樹狀圖法或列表法求概率是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的結(jié)果：、、、、、、、、，
其中甲、乙兩人都決定去：綠蔥坡滑雪場的結(jié)果有1種，
兩人都決定去綠蔥坡滑雪場的概率．
19. 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，與軸交于點.
（1）求，的值，并在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)的圖象；
（2）若為二次函數(shù)的圖象對稱軸上的一動點，當(dāng)?shù)闹底钚r，求點的坐標(biāo).
【答案】（1），圖象見解析
（2）
【解析】
【分析】題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，作函數(shù)圖象，點的對稱性等．
（1）由待定系數(shù)法求解即可得，的值，再根據(jù)拋物線的解析式畫出圖象即可；
（2）根據(jù)拋物線的解析式得對稱軸為直線，，連接交直線于點，點即為所求，設(shè)直線的解析式為，用待定系數(shù)法求出直線的解析式，將代入得y的值，即可得點的坐標(biāo)．
【小問1詳解】
解：將，代入二次函數(shù)得：
，
解得：，
拋物線的解析式為：，
根據(jù)拋物線的解析式和，，畫出圖象如圖所示：
【小問2詳解】
解：拋物線的解析式，
對稱軸為直線，
∴，關(guān)于直線對稱，
在中，當(dāng)時，，
，
連接交直線于點，點即為所求，
設(shè)直線解析式為，
，
解得：，
直線的解析式為，
當(dāng)時，，
．
20. 關(guān)于的方程.
（1）若方程有兩個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若方程的兩個實數(shù)根為，，求的最小值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，完全平方公式的變形．
（1）根據(jù)一元二次方程有兩個根，可以知道其判別式大于或等于0，據(jù)此作答即可；
（2）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式，將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合m的取值范圍，即可求解．
【小問1詳解】
解：∵關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，
，
即：，
解得：；
【小問2詳解】
解：，是方程的兩個實數(shù)根，
，，
，
，
，，
時取最小值，
此時．
21. 如圖，在中，，是的中點，與相切于點，與交于點是的直徑，弦的延長線交于點，且．
（1）求證：是的切線；
（2）若，求的長．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
【分析】（1）連接，過作于點，首先得到平分，由切線得到，然后得出，即可證明是的切線；
（2）過點作，垂足為，得四邊形為矩形，且，然后得到為等邊三角形，得到，進(jìn)而求解即可．
小問1詳解】
證明：連接，過作于點
且為的中點
平分
與相切于點
是的切線；
【小問2詳解】
解：過點作，垂足為．
得四邊形為矩形，且
，
又
為等邊三角形
為等邊三角形
，
．
【點睛】此題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握切線的判定和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
22. 2023年亞運會在杭州舉行，在這期間某網(wǎng)絡(luò)經(jīng)銷商購進(jìn)一批以亞運會為主題的文化衫進(jìn)行銷售，文化衫的進(jìn)價為每件40元，當(dāng)銷售單價定為80元時，每天可售出50件．為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價每降低1元，則每天可多售出5件，若設(shè)這款文化衫降低了x（元），每天的銷售量為y（件）．
（1）請直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)銷售單價為多少元時，銷售每天所獲得的利潤為3000元？
（3）當(dāng)銷售單價定為多少元時，每天銷售這款文化衫獲得的利潤w最大？最大利潤是多少元？
【答案】（1）．
（2）銷售單價為元時，銷售每天所獲得的利潤為元；
（3）銷售單價為元，每天銷售這款文化紀(jì)念冊獲得的利潤最大，最大利潤是元．
【解析】
【分析】本題考主要查了二次函數(shù)及其應(yīng)用問題．
（1）依據(jù)題意，根據(jù)銷售量與的關(guān)系進(jìn)行分析計算可以得解；
（2）依據(jù)題意，根據(jù)利潤（售價進(jìn)價）銷售量進(jìn)行計算可以得解；
（3）依據(jù)題意，結(jié)合（2）可得利潤與降價之間的關(guān)系，然后配方后計算可以得解．
【小問1詳解】
解：由題意得：，此時，即．
與之間的函數(shù)表達(dá)式為．
【小問2詳解】
解：由題意，利潤（售價進(jìn)價）銷售量，
∴．
∴解得：，．
∵為了擴(kuò)大銷售，
∴．
∴銷售單價為（元．
答：銷售單價為元時，銷售每天所獲得的利潤為元；
【小問3詳解】
解：由題意，結(jié)合（2）可得利潤與降價的函數(shù)關(guān)系式為
．
∴當(dāng)時，每天銷售這款文化紀(jì)念冊獲得的利潤最大，最大利潤是元．
∴此時銷售單價為（元．
答：銷售單價為元，每天銷售這款文化紀(jì)念冊獲得的利潤最大，最大利潤是元．
23. 如圖，已知，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到，點恰好落在邊上
（1）求證：平分；
（2）當(dāng)時，其它條件不變，如圖，連接，判斷線段與線段的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖，請連接，猜想與數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（4）如圖，當(dāng)，，時，求的長.
【答案】（1）見解析（2），見解析
（3），見解析
（4）
【解析】
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，所以，求得，即可得證；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，進(jìn)而可得，由得，所以，即，即可求解；
（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到：，，，進(jìn)而可得，由三角形內(nèi)角和定理得：，再結(jié)合，即可求解；
（4）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到：，，，，進(jìn)而得到，所以，由（3）可知，，求得，在中,求得，設(shè)，則，在中，，所以，解出的值即可．
【小問1詳解】
證明：由旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，
，
，
平分；
【小問2詳解】
解：，理由：
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，
，，
，
在中，，
，
，即，
；
【小問3詳解】
解：，理由：
由旋轉(zhuǎn)得到，
，，，
，
在中：，
，
；
【小問4詳解】
解：由旋轉(zhuǎn)得到
，，，，
，
，
由（3）可知，，
又，
在中，，則，
設(shè)，則，
在中，，
，
，
．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊對等角、三角形的內(nèi)角和定理、解直角三角形，熟練掌握以上知識是解答本題的關(guān)鍵．
24. 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，且關(guān)于直線對稱.

圖1 圖2
（1）求線段的長；
（2）當(dāng)時，求的取值范圍；
（3）如圖2，點為拋物線對稱軸上的點，點，在對稱軸右側(cè)拋物線上，若為等腰直角三角形，，試證明：為定值.
【答案】（1）
（2）當(dāng)時，
（3）見解析
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)圖象得性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的對稱性，等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)對稱性求出點B的坐標(biāo)，即可求出的長；
（2）由A、B的坐標(biāo)求出拋物線解析式，求出頂點，可得y的取值范圍；
（3）分別過、作直線的垂線，垂直為、，根據(jù)為等腰直角三角形，可得，得到，，得根據(jù)，即得．
【小問1詳解】
拋物線與軸交于、兩點，且對稱軸為直線，
；
【小問2詳解】
∵拋物線與軸交于，兩點，
．
∴．
．
．
當(dāng)時，．
∵當(dāng)時，，
當(dāng)時，．
【小問3詳解】
分別過、作直線的垂線，垂直為、．
則，．
．
又為等腰直角三角形，
，．
．
．
．
，．
，，
，．
．
∵，，
∴．
．
．
．

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