一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知，則的虛部為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依題意，，
所以的虛部為.
故選：A
2. 中，，，，則=（ ）
A. B. 1C. D. 6
【答案】C
【解析】由知，，又，，
則，解得.
故選：C.
3. 四川耙耙柑以果肉飽滿圓潤，晶瑩剔透等特點深受民眾喜愛，某耙耙柑果園的質檢員對剛采摘下來的耙耙柑采用隨機抽樣的方式對成筐的耙耙柑進行質檢，記錄下了8筐耙耙柑中殘次品的個數為5，7，6，3，9，4，8，10，則該組樣本數據的第30百分位數為（ ）
A 5B. 5.5C. 6D. 6.5
【答案】A
【解析】殘次品的個數由小到大排列為：3，4，5，6，7，8，9，10，
由，得該組樣本數據的第30百分位數為5.
故選：A.
4. 集合的子集個數為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因為，
則，
所以集合只有一個元素，故集合的子集個數為，
故選：A.
5. 設公比不為1的等比數列的前n項和為，已知，則=（ ）
A. 55B. 65C. D.
【答案】C
【解析】由已知，分別令，
得，，，
則，
因為為公比不為1的等比數列，
則，所以有，
即，解得，或.
由等比數列各項均不，可知，則.
驗證：當時，，
當時，；
當時，；
當時也適合上式，故，
則，故是公比為的等比數列，滿足題意.
因此.
故選：C.
6. 已知橢圓C：的一個焦點為F，C上不與F共線的兩點A，B滿足周長的最大值為12，則C的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】設橢圓的另一個焦點為,根據橢圓的定義，
周長為,即，
當三點共線時，周長取最大值，此時所以，
解得，又已知，根據可得，
離心率.
故選：D
7. 已知圓臺的上、下底面圓的半徑分別為和，母線長為，且該圓臺上、下底面圓周上的點都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】取圓臺的一條母線，連接、，
過點在平面內作，垂足為點，如圖：
由題意可知，四邊形為直角梯形，且，，，
因為，，，
所以四邊形為矩形，所以，則，
所以，
設，則，
因為圓臺的上、下底面圓周上的點都在同一個球面上，
所以，解得，
則球的半徑為，
故該球的表面積為.
故選：D.
8. 已知函數在區(qū)間上單調，其中為大于1的整數，若是的一個零點，，要使通過平移成為偶函數，可以將其向右平移（ ）個單位
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因為函數在區(qū)間上單調，
所以最小正周期，
即，，
又已知其中為大于1的整數，所以.
因為是的一個零點，所以.
當時，，由，得，
所以，
驗證：，
且當，則，
函數在區(qū)間上單調遞減，滿足題意；
當時，，由，得，
所以，
驗證：，不滿足題意；
綜上可知，.
由是偶函數，
又不是偶函數；
不是偶函數；
不是偶函數；
綜上，將向右平移個單位，可成為偶函數，B項正確，其余選擇均錯誤；
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】由，得.
又，可得，即，故
A項，由，得，
兩邊同乘以得，，故A正確；
B項，構造函數，
則，故在單調遞增；
由得，
則有，即，故B錯誤；
C項，由，且，
則，
由，則，
所以，則，故C正確；
D項，由可得，故D正確.
故選：ACD.
10. 某高中開展一項課外實踐活動，參與活動并提交實踐報告可以獲得學分，且該校對報告的評定分為兩個等級：合格，不合格．評定為合格可以獲得0.2學分，評定為不合格不能獲得學分．若評定為不合格，則下一次評定為合格的概率為，若評定為合格，則下一次評定為合格的概率為．已知小李參加了3次課外實踐活動，則（ ）
A. “小李第一次評定合格”與“小李第一次評定不合格”是互斥事件
B. 若小李第一次評定為不合格，則小李獲得0.4學分的概率為
C. 若小李第一次評定為合格，則小李第三次評定為合格的概率為
D. “小李第一次評定合格”與“小李第三次評定合格”相互獨立
【答案】AB
【解析】A項，事件“小李第一次評定合格”與“小李第一次評定不合格”不可能同時發(fā)生，
所以互斥，故A正確；
B項，若第一次評定為不合格，設事件“第次評定為合格”，.
則事件“小李獲得0.4學分”即事件，
由概率乘法公式得，
，故B正確；
C項，若第一次評定為合格，設事件“第次評定為合格”，“第次評定為不合格”，.
則由全概率公式得，
，故C錯誤；
D項，由C項知；
若第一次評定為不合格，設事件“第次評定為合格”，“第次評定為不合格”，.
由全概率公式可得
；
即；
所以，即第一次評定是否合格對第三次評定合格的概率有影響，
故“小李第一次評定合格”與“小李第三次評定合格”不相互獨立，故D錯誤.
故選：AB.
11. 在平面直角坐標系xOy中，設雙曲線W：與圓E：交于A，B，C，D四個點，構成四邊形，則（ ）
A. W的兩條漸近線相互垂直
B. 當時，m的取值范圍是
C. 當時，n的取值范圍是
D. 四邊形的面積不超過8
【答案】ACD
【解析】對于A，雙曲線W：的漸近線方程為，兩條漸近線相互垂直，
故A正確；
對于B，當時，若，此時圓E：與雙曲線W：，
只有3個交點：，故B錯誤；
對于C，當時，圓E：，圓心為，半徑為2，
聯(lián)立，得，
由，解得，
此時方程存在兩個解，且對應兩個關于軸對稱的點，
對應兩個關于軸對稱的點，因此有4個交點，故C正確；
對于D，當圓心在四邊形的外部時，此時四邊形的面積，
顯然小于圓心在四邊形的內部的時候，
所以討論圓心在四邊形的內部，此時，
設，
由題設方程，當，時，圓E：，
聯(lián)立，解得或或或，
顯然四邊形不可能為正方形，
則四邊形的面積為
，故D正確.
故選：ACD.
12 已知，則______．
【答案】
【解析】由題意得，，
則，
化簡得，解得.
故答案為：.
13. 甲乙二人參加一種游戲：在一副撲克牌中取出5張數字分別為3，4，5，6，7的牌，隨后兩人分別從其中隨機取走一張．甲聲稱：我不知道誰牌上的數字更小，乙思考片刻后，作出了與甲同樣的判斷．在二人的判斷均準確的前提下，甲推斷出了乙手中牌上的數字，其為______．
【答案】5
【解析】依題意，由甲判斷知，甲手中牌上的數字不可能是最大和最小數字，即甲手中牌上的數字是4，5，6之一，
而乙聽到甲的判斷后作出判斷，于是乙手中牌上的數字不可能為4和6，
所以甲推斷出了乙手中牌上的數字是5.
故答案為：5
14. 已知函數的定義域為R，若，，，則=______．
【答案】2024
【解析】函數的定義域為R，由，
得，即；
由，得，
則，
因此，
所以
.
故答案為：2024
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 已知箱子中有除顏色外其他均相同的8個紅球，2個黃球，從中隨機連續(xù)抽取3次，每次取1個球．
（1）求有放回抽樣時，取到黃球的次數X的期望與方差；
（2）求不放回抽樣時，取到黃球的個數Y的分布列．
解：（1）有放回抽樣時，取到黃球的次數X可能的取值為.
每次抽到黃球的概率均為，3次取球可以看成3次獨立重復試驗，則，
則期望，方差.
（2）不放回抽樣時，取到的黃球個數Y可能的取值為.
，
故Y的分布列為：
16. 已知的內角的對邊分別為a,b,c，且．
（1）求；
（2）探究與的等量關系．
解：（1）在中，由及正弦定理
得，
令，則，
由余弦定理得，
因,則.
（2）由（1）得，，
而，
又，所以，
因為余弦函數在上單調遞減，所以.
17. 已知函數．
（1）若，證明：；
（2）若過坐標原點的直線能與曲線y=fx相切，求的取值范圍．
解：（1）當時，，
其中，，
因為函數、在上均為增函數，
所以，函數在上為增函數，且，
當時，；
當時，.
所以，函數的減區(qū)間為，增區(qū)間為，
所以，，
因此，對任意的，.
（2）設切點坐標為，
由題意可得，
所以，，
可得，即，其中，
當時，等式顯然不成立，
所以，，
所以，，
令，其中，
則實數的取值范圍即為函數的值域，，
當時，，函數單調遞增，
當時，，函數單調遞減，所以，，
當時，；當時，，
且當時，；當時，.
所以，函數的值域為，
由可得或，即實數的取值范圍是.
18. 空間直角坐標系中，點，過點的直線與過點的直線的傾斜角之和為π，且與平面xOy內的拋物線交于A，B兩點，與x軸交于F，D為z軸正半軸一點，且，（，均在平面xOy內）
（1）若的傾斜角為，求二面角的余弦值；
（2）求三棱錐體積的最大值．
解：（1）若的傾斜角為，則重合，，
由題意直線的傾斜角也為，
如圖空間直角坐標系中，
，
則，
設平面的法向量為，
則，令，則；
設平面的法向量為，
則，令，則；
設二面角的平面角為，
則，
由圖觀察知為銳角，故二面角的余弦值為.
（2）由題意可知，直線的斜率不為，
設直線，設，
聯(lián)立消得，
則，，又，
設直線與軸交于，，則，
又直線，直線與直線的傾斜角之和為π，且直線過，
則與x軸交于，
則.
設，由，
則，
則
，
且當時，，
故三棱錐體積的最大值為.
19. 已知數列的前項和為，且．記的前項積為，且當時，．
（1）求；
（2）求的通項公式；
（3）探究與的大小關系，并給出證明．
解：（1）當時，則，
對任意的，，則，
所以，；
當時，，
故當時，，也滿足，
故對任意的，，
所以，當時，，
不滿足，因此，.
（2）因為，，
當時，，
綜上所述，.
（3），
證明：易得，，
則，
令且，
則，
因為
，
所以，，
所以，數列單調遞增，且，所以，，
所以，，故.Y
0
1
2
P

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