數(shù)學(xué)試卷
試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.
2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.
3.非選擇題必須用黑色宇跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.
4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在數(shù)軸上標(biāo)出集合和集合，即可求得
【詳解】
如圖，根據(jù)數(shù)軸可求得.
故選：A
2. 已知函數(shù)，則（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，所以，?br>所以.
故選：C
3. 已知直線，直線，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. 1B. C. 或1D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行時(shí)系數(shù)的關(guān)系求解即可.
【詳解】根據(jù)兩直線平行，可知，解得.
故選：C
4. 已知，則，（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則運(yùn)算即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以.
故選：B
5. 在一個(gè)箱子中放5個(gè)白球，3個(gè)紅球，搖勻后采用不放回方式隨機(jī)摸球3次，每次一個(gè)，第3次摸到紅球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】第次摸到紅球，則分三種情況討論：前次只有第次摸到紅球，前次有兩次摸到紅球、其中第次一定摸到紅球，前次摸到次紅球，利用排列數(shù)公式及古典概型的概率計(jì)算可得.
【詳解】記第次摸到紅球?yàn)槭录?，則.
故選：A.
6. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
【詳解】由，可得或，
即函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，
.
故選：D.
7. 在棱長為6的正方體中，，，過點(diǎn)的平面截該正方體所得截面的周長為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、，則五邊形為過點(diǎn)的截面，再計(jì)算截面周長即可.
【詳解】如圖取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、，
則五邊形為過點(diǎn)的截面，取的中點(diǎn)，靠近的三等分點(diǎn)，連接、、，
則，又且，所以四邊形為平行四邊形，
所以，則，
又且，所以為平行四邊形，所以，則，
所以四點(diǎn)共面；
取、靠近、的三等分點(diǎn)、，連接、、，
同理可證，，，所以，
所以四點(diǎn)共面；
所以五點(diǎn)共面；
又，，，
所以截面周長為.
故選：B
8. 向量與在單位向量上的投影向量均為，且，當(dāng)與的夾角最大時(shí)，（ ）
A. 8B. 5C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)表示出、，利用余弦定理確定，利用面積得到，由此推斷最大時(shí)，最大，取最小值，利用坐標(biāo)運(yùn)算得到：，由二次函數(shù)性質(zhì)求最值即可.
【詳解】
設(shè)為軸正半軸上的單位向量，
令，，，
如圖所示，設(shè)與的夾角為，若，
在中，由余弦定理有：則，
而，
所以，所以，
因?yàn)?，所以?br>有根據(jù)正弦定理有：，即，
整理有：，所以，
當(dāng)與的夾角最大時(shí)，最大，取最小值，
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以當(dāng)與的夾角最大時(shí)，.
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
本題關(guān)鍵在于建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，把向量的數(shù)量積用坐標(biāo)表示，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求值.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，將100名參賽者的成績按區(qū)間分成5組，得到如下頻率分布直方圖，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表，根據(jù)圖中信息，下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B. 該100名學(xué)生成績的眾數(shù)約為75
C. 該100名學(xué)生中成績?cè)诘娜藬?shù)為48
D. 該100名學(xué)生成績的第85百分位數(shù)約為82.5
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之后為得到方程求出的值，再根據(jù)頻率分布直方圖一一判斷即可.
詳解】依題意可得，解得，故A正確；
該100名學(xué)生成績的眾數(shù)約為，故B正確；
該100名學(xué)生中成績?cè)诘娜藬?shù)為人，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)?，?br>所以第85百分位數(shù)位于，設(shè)其為，則，解得，故D錯(cuò)誤.
故選：AB
10. 下列命題正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】舉出反例即可判斷A，由不等式的性質(zhì)代入計(jì)算即可判斷BD，由作差法即可判斷C.
【詳解】對(duì)于A，取，滿足，但是，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)椋坏仁絻蛇呁瑫r(shí)乘以負(fù)數(shù)，不等式方向改變，所以，
不等式兩邊同時(shí)乘以負(fù)數(shù)，不等式方向改變，所以，
所以，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)椋?br>又因?yàn)椋詍b?aaa+m>0，而，即，，
所以，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)，即，
則，解得，所以，
又，則，且，
所以，所以，故D正確；
故選：BCD
11. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)
B. 當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?br>C. 當(dāng)時(shí)，曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
D. 當(dāng)時(shí)，，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷A，利用特殊值判斷B，計(jì)算即可判斷C，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性與單調(diào)性轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合二次不等式的性質(zhì)計(jì)算可得D.
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)槎x域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)在定義域上單調(diào)遞增，且，又在上單調(diào)遞增，
所以在定義域上單調(diào)遞增，故A正確；
對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，但是，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，
則，所以曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C正確；
對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，的圖象是由圖象向右平移個(gè)單位得到，
所以的對(duì)稱中心為，且在定義域上單調(diào)遞增，
所以，可得，
即，從而得到，
即恒成立，所以，解得，故D正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)的關(guān)鍵是推導(dǎo)出的對(duì)稱中心為，且在定義域上單調(diào)遞增，從而將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，則______.
【答案】
【解析】
【分析】將條件兩邊平方，再利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和二倍角公式化簡，得，解得.
【詳解】由，兩邊平方得，
，
所以.
故答案為：
13. 已知，若直線上有且只有一點(diǎn)滿足，則______.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)求出點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)直線與圓相切，求出參數(shù)的值.
【詳解】設(shè)，由，則，
整理得，所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，
因?yàn)橹本€上有且只有一點(diǎn)滿足，
即直線與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
所以，解得.
故答案為：
14. 已知數(shù)列各項(xiàng)都為正整數(shù)，，若，則的最小值為______.
【答案】21
【解析】
【分析】利用已知等式得到每一項(xiàng)減前一項(xiàng)與每一項(xiàng)減后一項(xiàng)同時(shí)為1或可求；
【詳解】因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)都為正整數(shù)，且，
故或，
故或，
所以或，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)楦黜?xiàng)都為正整數(shù)，
所以的最小值為，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋驶颍?br>故最小值為；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，故或?br>故最小值為；
所以的最小值為.
故答案為：21.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且.
（1）求；
（2）若，且的面積為，求.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；
（2）利用余弦定理及面積公式得到方程組，解得即可.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
又B∈0,π，所以，所以，因?yàn)?，所以?br>【小問2詳解】
因?yàn)椋业拿娣e為，
所以且，
即，解得或.
16. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；
（2）若函數(shù)的最大值為0，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分、兩種情況討論，說明函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值，從而求出參數(shù)的值.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，則，，
所以，所以切線方程為，即；
【小問2詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)椋遥?br>當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則無最大值，故舍去；
當(dāng)時(shí)，令，解得，，
所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值，即最大值，即，
所以，
即，即，所以.
17. 如圖，中，分別為的中點(diǎn)，將沿著翻折到某個(gè)位置得到.
（1）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，并說明理由；
（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成角的余弦值.
【答案】（1）存在，且為中點(diǎn)，證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，取中點(diǎn)，連接，由面面平行的判定定理可得平面平面，即可證明線面平行；
（2）根據(jù)題意，由線面垂直的判定定理可得平面，然后以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及二面角的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
存在，且為中點(diǎn)，證明如下：
取中點(diǎn)，連接，
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，，
又平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面，
又，平面，
所以平面平面，
因?yàn)槠矫妫云矫?
【小問2詳解】
連接，則，又，
所以，即，
又因?yàn)?，，平面?br>所以平面，又平面，所以，
所以兩兩垂直，
以為原點(diǎn)，分別為軸正半軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為n1=x1,y1,z1，
則，不妨令，則，所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，不妨令，則，所以，
設(shè)平面與平面所成角大小為，則
，
所以，平面與平面所成角的余弦值為.
18. 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的長軸長為4，離心率為，直線交于兩點(diǎn).
（1）求的方程；
（2）若直線過的右焦點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求；
（3）若直線不過原點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，已知四點(diǎn)共圓，證明：.
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）列出的方程，代入計(jì)算，即可得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理列出式子，再由弦長公式以及三角形的面積公式代入計(jì)算，結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果；
（3）根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理代入計(jì)算，即可得到的坐標(biāo)，再由四點(diǎn)共圓可得，代入計(jì)算，即可證明.
【小問1詳解】
依題意可得，解得，
所以，故橢圓的方程為.
【小問2詳解】
由（1）可知，由題可設(shè)直線的方程為，Ax1,y1,Bx2,y2，
聯(lián)立，消去可得，
則恒成立，
則，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以直線垂直于軸時(shí)，的面積取最大值，
此時(shí)，.
小問3詳解】

若直線的斜率為，為上下頂點(diǎn)，且，
若四點(diǎn)共圓，則不成立，
所以由題可設(shè)直線的方程為，，
則，聯(lián)立，可得，
當(dāng)，
即時(shí)，，
所以中點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，
故直線，
由四點(diǎn)共圓，則，
由，
聯(lián)立，可得，即，
所以，
所以，可得，
所以，
又直線不過原點(diǎn)，所以，所以，
，
即.
19. 已知數(shù)列，滿足：為等比數(shù)列，，且.
（1）求；
（2）求集合中所有元素的和；
（3）若集合中存在個(gè)不同元素，使得，則稱為類集合.試判斷是否為類集合.若是，求出所有的值；若不是，說明理由.
【答案】（1）；
（2）
（3）答案見解析
【解析】
【分析】（1）利用已知條件求出、，結(jié)合數(shù)列為等比數(shù)列即可求，結(jié)合已知條件利用賦值作差求出，得到數(shù)列為等差數(shù)列，即可求出；
（2）根據(jù)已知條件，確定集合中元素情況，分成集合、集合兩種情況，分析判斷除去兩集合中的重復(fù)元素，分組求和減去重復(fù)元素的和即可求解；
（3）按照類集合的定義，分、、三種情況分別判斷即可.
【小問1詳解】
根據(jù)題意可得：，因?yàn)?，代入上式解得?br>又因?yàn)?，因?yàn)?，，，解得?br>因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以的公比為，
所以，
所以，
即：，
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得：，
化簡得：，整理得：，
所以是公差為的等差數(shù)列，所以.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>整理得：
記集合的全體元素的和為，
集合，為首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，
所有元素的和為，
集合，為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
，所有元素的和為，
集合的所有元素的和為，則有，
對(duì)于數(shù)列，
當(dāng)時(shí)，
是數(shù)列中的項(xiàng)，
當(dāng)時(shí)，，不是數(shù)列中的項(xiàng)，
所以，其中
所以，
即（其中表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)），
因?yàn)闉槭醉?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，
所以.
【小問3詳解】
，
當(dāng)，時(shí)，
是的整數(shù)倍，
故一定不是數(shù)列中的項(xiàng)，即，
當(dāng)時(shí)，
不是數(shù)列中的項(xiàng)，
即，
當(dāng)時(shí)，
是數(shù)列中的項(xiàng)，
即，
綜上，是類集合，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
本題關(guān)鍵在于理解類集合的定義，按照定義的條件去判斷求證即可.

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