2025屆廣東省東莞市七校聯(lián)考高三上12月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

這是一份2025屆廣東省東莞市七校聯(lián)考高三上12月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版），共16頁。試卷主要包含了單項選擇題，多項選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單項選擇題
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由得：，即，.
故選：B.
2. 已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A 0B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】因為，
所以，所以．
故選：A．
3. 已知，滿足，，，則，的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因為，所以，
則，
由于，所以.
故選：B
4. 已知，，則sin（α＋β）=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因為，
所以，
所以，，
兩式相加可得：，
所以
，
所以，解得，
故選：C.
5. 已知一個圓錐和圓柱的底面半徑和高分別相等，若圓錐的軸截面是等邊三角形，則這個圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)圓錐和圓柱的底面半徑為，
因為圓錐的軸截面是等邊三角形，所以圓錐的母線長為，
則圓錐和圓柱的高為，
所以圓錐的側(cè)面積為，
圓柱的側(cè)面積為，
所以圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為,
故選:C.
6. 古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的“三角形數(shù)”是一列點（或圓球）在等距的排列下可以形成正三角形的數(shù)，如1，3，6，10，15，…，我國宋元時期數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術(shù)”，其中的“落一形”錐垛就是每層為“三角形數(shù)”的三角錐的錐垛（如圖所示，從上到下，頂上一層1個球，第二層3個球，第三層6個球…），若一“落一形”三角錐垛有20層，則該錐垛第18層球的個數(shù)為（ ）

A. 190B. 171C. 153D. 136
【答案】B
【解析】設(shè)“落一形”三角錐垛從頂上一層開始，依次往下各層球的個數(shù)形成數(shù)列，
，…，
由此得，
即，則，
所以若一“落一形”三角錐垛有20層，則該錐垛第18層球的個數(shù)為171.
故選：B.
7. 對任意兩個實數(shù)，，定義，若，，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)是奇函數(shù)
B. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
C. 函數(shù)圖象與軸有三個交點
D. 函數(shù)最大值為2
【答案】C
【解析】由題意可得：，
令；解得或；
令；解得；
所以，
即，
作出函數(shù)的圖像如下:

對于選項A：由圖像可知為偶函數(shù)，故選項A錯誤.
對于選項B：由圖像可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，
但.
可得在區(qū)間上不單調(diào)遞增，故選項B錯誤.
對于選項C：由圖像可知：函數(shù)圖象與軸有三個交點，故選項C正確.
對于選項D：由圖像可知：當(dāng)時，函數(shù)最大值為1，故選項D錯誤.
故選：C.
8. 定義在R上的函數(shù)滿足，若且，則（ ）
A. B.
C. D. 與的大小不確定
【答案】B
【解析】因為，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
又因為，
所以在上遞增，在上遞減，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，因為，所以，
所以，
所以，
綜上：.
故選：B.
二、多項選擇題
9. 甲、乙兩名高中同學(xué)歷次數(shù)學(xué)測試成績(百分制)分別服從正態(tài)分布其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，
則下列說法中正確的是（ ）
附：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則.
A. 乙同學(xué)的平均成績優(yōu)于甲同學(xué)的平均成績
B. 甲同學(xué)的平均成績優(yōu)于乙同學(xué)的平均成績
C. 甲同學(xué)成績比乙同學(xué)成績更集中于平均值附近
D. 若，則甲同學(xué)成績高于80分的概率約為0.1587
【答案】ACD
【解析】由圖象可知，甲的圖象關(guān)于對稱，乙的圖象關(guān)于對稱，
所以甲同學(xué)的平均成績?yōu)?5分，乙同學(xué)的平均成績?yōu)?5分，
故選項A正確，B錯誤；
因為甲的圖象比乙的圖象更“高瘦”，
所以甲的成績比乙的成績更集中于平均值左右，
則甲同學(xué)成績的方差比乙同學(xué)成績的方差小，
故選項C正確；
若，則甲同學(xué)成績高于80分的概率約為，
故選項D正確．
故選：ACD．
10. 對于函數(shù)，給出下列結(jié)論，其中正確的有（ ）
A. 函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱
B. 函數(shù)在區(qū)間上的值域為
C. 將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象
D. 曲線在處的切線的斜率為1
【答案】BD
【解析】由題意知，
對于A，，
故函數(shù)的圖象不關(guān)于點對稱，A錯誤；
對于B，因為，所以，
則，B正確；
對于C，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，C錯誤；
對于D，，則，
故曲線在處的切線的斜率為1，D正確，
故選：BD
11. 已知雙曲線C：的左右焦點分別為，且，A、P、B為雙曲線上不同的三點，且A、B兩點關(guān)于原點對稱，直線與斜率的乘積為1，則下列正確的是（ ）
A. 雙曲線C的實軸長為
B. 雙曲線C的離心率為
C. 若，則三角形的周長為
D. 的取值范圍為
【答案】BCD
【解析】根據(jù)題意可知，所以，設(shè)，則，
將分別代入到雙曲線后相減可得，代入可求解出，
對A，根據(jù)，解之可得，所以雙曲線C的實軸長為，故A錯誤；
對B，根據(jù)離心率，將代入可得，故B正確；
對C，根據(jù)，可知，則
，可求得，
所以三角形的周長為，故C正確；
對D，設(shè)與雙曲線聯(lián)立可得，若有解，
需要解之可求出或，故D正確.
故選：BCD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 過點引圓的切線，則切線方程為__________．
【答案】或
【解析】圓心坐標(biāo)，半徑，∵直線與圓相切，∴圓心到直線距離，
若直線無斜率，其方程為符合題意，
若直線存在斜率，設(shè)其方程為，
即，，
解得，∴切線方程為或，
故答案為x=2或.
13. 在中，若，且AB邊上的中線長為2，則面積的最大值為_______．
【答案】
【解析】因，由正弦定理可得，
即，所以，又，
所以，，設(shè)邊上的中線為，
則，則，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)在上的最小值為______.
【答案】
【解析】令，即，解得，，，
因為函數(shù)為奇函數(shù)，
則函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，又，
即、中必有一個為，則另一個為，
所以，
則，符合題意；
則，
所以當(dāng)時，當(dāng)時，
所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，所以函數(shù)在上的最小值為.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 某校高二年級為研究學(xué)生數(shù)學(xué)成績與語文成績的關(guān)系，采取有放回的簡單隨機抽樣，從高二學(xué)生中抽取樣本容量為200的樣本，將所得數(shù)學(xué)成績與語文成績的樣本觀測數(shù)據(jù)整理如下：
（1）根據(jù)的獨立性檢驗，能否認為數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)聯(lián)？
（2）在人工智能中常用表示在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的優(yōu)勢，在統(tǒng)計中稱為似然比.現(xiàn)從該校學(xué)生中任選一人，表示“選到的學(xué)生語文成績不優(yōu)秀”，表示“選到的學(xué)生數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀”.請利用樣本數(shù)據(jù)，估計的值.
附：.
解：（1）零假設(shè)為：數(shù)學(xué)成績與語文成績無關(guān)，據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得
，
根據(jù)的獨立性檢驗，我們推斷不成立，認為數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān).
（2）表示“選到的學(xué)生語文成績不優(yōu)秀”，表示“選到的學(xué)生數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀”，
利用樣本數(shù)據(jù)，則有，，
所以，
則估計的值為.
16. 如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面為的中點．
（1）證明：平面．
（2）若平面與平面的夾角為，求的長．
（1）證明：連接BD交AC于點O，連接OE，如圖，
因為O為BD的中點，E為PD的中點，所以．
又平面AEC，平面AEC，
所以平面AEC．
（2）解：因為平面ABCD，AD，平面ABCD，
所以，．
又，所以PA，AD，AB兩兩互相垂直，
故以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間坐標(biāo)系如圖所示，
設(shè)，則，，，，,
所以，．
顯然為平面DAE的一個法向量．
設(shè)平面ACE的一個法向量為n=x,y,z，
則，即
令，得，
因為平面DAE與平面AEC的夾角為，
所以，
解得或（舍去），即·
17. 已知數(shù)列的前項和為，，數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若對于任意正整數(shù)，都有，求實數(shù)的最小值.
解：（1）數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，且，
，，
當(dāng)時，；
經(jīng)檢驗，當(dāng)時，滿足上式.
（2）由，
則
，
而，
所以，即的最小值為.
18. 已知函數(shù)
（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，.
①求實數(shù)a的取值范圍；
②證明：.
（1）解：當(dāng)時，，，
，
所以，，
所以曲線在點處的切線方程是.
（2）函數(shù)有兩個不同的零點，，
等價于方程有兩個不同實根，.
①解：令，則，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，取得最大值，
由于，當(dāng)時，；
當(dāng)，，
的大致圖象如圖所示：
所以，當(dāng)，即時，
函數(shù)有兩個不同的零點，.
②證明：不妨設(shè)，，，
兩式相加得，
兩式相減得，
所以.
要證，只需證.
即證.
設(shè)，令，
則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
所以，即.
19. 通過研究，已知對任意平面向量，把繞其起點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點B繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點P，
（1）已知平面內(nèi)點，點，把點B繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到點P，求點P的坐標(biāo)：
（2）已知二次方程的圖像是由平面直角坐標(biāo)系下某標(biāo)準橢圓繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)所得的斜橢圓C，
（i）求斜橢圓C的離心率；
（ⅱ）過點作與兩坐標(biāo)軸都不平行的直線交斜橢圓C于點M、N，過原點O作直線與直線垂直，直線交斜橢圓C于點G、H，判斷是否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說明理由.
解：（1）由已知可得，則，
設(shè)，則，
所以，，即點P的坐標(biāo)為；
（2）（i）由與交點為和，則，
由與交點為和，
則，所以，；
（ⅱ）法一：設(shè)直線：，、Nx2,y2，
與斜橢圓聯(lián)立：，
有，
∵，，
∴
，
設(shè)直線：，代入斜橢圓，
有，
∴，∴，
故.
法二：將橢圓順時針旋轉(zhuǎn)，由①可得橢圓方程為，
點Q旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為，
當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)后斜率不存在時，，，，
當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)后斜率存在時，設(shè)直線旋轉(zhuǎn)后為，
旋轉(zhuǎn)后、Nx2,y2，
與橢圓方程聯(lián)立，即，
可得，
，，
，
設(shè)直線旋轉(zhuǎn)后為，代入橢圓方程中，
有，，
.
綜上所述，.
語文成績
合計
優(yōu)秀
不優(yōu)秀
數(shù)學(xué)成績
優(yōu)秀
50
30
80
不優(yōu)秀
40
80
120
合計
90
110
200
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828