考生注意：
1.本試卷共4頁，21道試題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.本試卷分設(shè)試卷和答題紙.試卷包括試題與答題要求，作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分.
一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，第1—6題每題4分，第7—12題每題5分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接寫結(jié)果.
1. 函數(shù)y=lnx的零點(diǎn)是___________.
【正確答案】x=1
【分析】轉(zhuǎn)化為求解方程lnx=0的根即可.
【詳解】由lnx=0可得，
所以函數(shù)y=lnx的零點(diǎn)是，
故答案為.
2. 函數(shù)的對(duì)稱中心為__________.
【正確答案】
【分析】把原函數(shù)解析式變形得到，可得，換元，令，，原函數(shù)化為，可得它的對(duì)稱中心，即得原函數(shù)對(duì)稱中心。
【詳解】由題得，，可得，設(shè)，，則原函數(shù)化為，與成反比例函數(shù)關(guān)系且是奇函數(shù)，對(duì)稱中心為，即，解得，因此函數(shù)y的對(duì)稱中心為.
故
本題考查求函數(shù)的對(duì)稱中心，利用了換元法。
3. 已知，用表示______.
【正確答案】
【分析】利用換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?
故
4. 方程的解是______.
【正確答案】或
【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，所以或?br>即方程的解是或.
故或.
5. 已知冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則______.
【正確答案】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)得到方程（不等式）組，解得即可.
【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，
所以，解得.
故
6. 已知角的終邊過點(diǎn)，且，則角的弧度數(shù)是______.
【正確答案】
【分析】首先判斷角為第二象限角，再根據(jù)三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式得到，即可得解.
【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，
又，所以，，所以角為第二象限角，
因?yàn)?，所以?br>所以，
又，所以.
故
7. 不等式的解集是______.
【正確答案】
【分析】依題意可得，令，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，即可求出不等式的解集.
【詳解】不等式，即，
令，，
因?yàn)榕c均在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
又，所以當(dāng)時(shí)，
則不等式的解集是.
故
8. 已知函數(shù)，若對(duì)不相等的正數(shù)，有成立，則的最小值為______.
【正確答案】
【分析】對(duì)于函數(shù)整理變形，再利用，可得，利用基本不等式求解最小值.
【詳解】，
由不相等的正實(shí)數(shù)，且，
則，
則，
因?yàn)椋?br>所以，
故，則，
又，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，
故的最小值為.
故
9. 已知函數(shù)值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________．
【正確答案】
【分析】先求解出時(shí)的值域，然后根據(jù)分類討論時(shí)的值域，由此確定出的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
當(dāng)且時(shí)，，
此時(shí)，且，所以不滿足；
當(dāng)且時(shí)，，
由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，此時(shí)，
若要滿足的值域?yàn)椋恍枰?，解得?br>當(dāng)且時(shí)，因?yàn)榫谏蠁握{(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，且時(shí)，，時(shí)，，
所以此時(shí)，此時(shí)顯然能滿足的值域?yàn)椋?br>綜上可知，的取值范圍是，
故答案為.
10. 已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且.若對(duì)任意的、且，都有成立，則不等式的解集是______.
【正確答案】
【分析】依題意不妨令，即可得fx2x2>fx1x1，令，x∈?∞,0∪0,+∞，即可得到在0,+∞上單調(diào)遞增，再由及奇偶性得到在0,+∞上的取值情況，從而得到的解集.
【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的、且，都有x1fx2?x2fx1x2?x1>0成立，
不妨令，則x1fx2?x2fx1>0，即x1fx2>x2fx1，
所以fx2x2>fx1x1，
令，x∈?∞,0∪0,+∞，
則當(dāng)且時(shí)，，
所以在0,+∞上單調(diào)遞增，
又函數(shù)y=fx是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)且，則，
所以，所以當(dāng)時(shí)，gx0，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
又為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以不等式的解集是.
故
11. 設(shè)，若定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖象關(guān)于直線、直線、直線都成軸對(duì)稱，且在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的最小值是______.
【正確答案】13
【分析】根據(jù)函數(shù)的多對(duì)稱性得出周期，盡可能減少零點(diǎn)個(gè)數(shù)并作出圖象說明其存在性即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于直線對(duì)稱，又直線為對(duì)稱軸，
所以也是函數(shù)的對(duì)稱軸，又是的對(duì)稱軸，
則直線也是函數(shù)的對(duì)稱軸，進(jìn)而也是函數(shù)的對(duì)稱軸.
又由關(guān)于直線對(duì)稱，則；
由關(guān)于直線對(duì)稱，則，
則，故是以為周期的函數(shù).
所以由y=fx在有5個(gè)零點(diǎn)，則y=fx在有5個(gè)零點(diǎn)，
且在至少有5個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)在有5個(gè)零點(diǎn)時(shí)，則在無零點(diǎn)，
由函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱可知，
必有，即為其中一個(gè)零點(diǎn)，且在無零點(diǎn)，
故在各有2個(gè)零點(diǎn).
由函數(shù)以為周期可知，也是函數(shù)的零點(diǎn)，
且函數(shù)在，，無零點(diǎn)，故在， 各有2個(gè)零點(diǎn)，
由上分析，y=fx在有5個(gè)零點(diǎn)，在無零點(diǎn)，
此時(shí)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè).
如圖，可作出滿足題意的函數(shù)的圖象，其在上有13個(gè)零點(diǎn)，
所以在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的最小值是13.
故13.
12. 田同學(xué)向肖老師請(qǐng)教一個(gè)問題：已知三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)，，滿足和，求的取值范圍.肖老師告訴他：函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù).根據(jù)肖老師的提示，可求得該問題中值范圍是______.
【正確答案】
【分析】根據(jù)題意可得：，，結(jié)合韋達(dá)定理和根的判別式可得，由，得，令，結(jié)合條件得到的單調(diào)性，從而得到值范圍
【詳解】由題和，，得，
所以，則，即，
又，所以由韋達(dá)定理得和為關(guān)于的方程的兩個(gè)不等根，
所以，即，得，
再由，得，令，
根據(jù)題意可知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，，，
當(dāng)時(shí)，，或，，不滿足實(shí)數(shù)，，互不相同；
當(dāng)時(shí)，，或，，不滿足實(shí)數(shù)，，互不相同；
所以值范圍是，
故
二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，第13—14題每題4分，第15—16題每題5分，每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙的相應(yīng)編號(hào)上將代表答案的小方格涂黑.
13. 已知集合或，集合，則集合與的關(guān)系是（ ）
A. B. C. D. 以上選項(xiàng)均不正確
【正確答案】A
【分析】化簡(jiǎn)集合，用列舉法表示集合、，即可判斷.
【詳解】因?yàn)榛?br>，
又或
或
，
所以.
故選：A
14. 已知且，則下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】利用特殊值判斷A、B、D，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)判斷C.
【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：因且，所以，
又在上單調(diào)遞增，所以，
顯然滿足，故C正確；
對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.
故選：C
15. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，給定下列四個(gè)語句：
①在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴(yán)格增函數(shù)；
②在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴(yán)格增函數(shù)；
③在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴(yán)格增函數(shù)；
④在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，且是奇函數(shù).
其中是“函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)”的充分條件的有（ ）個(gè).
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正確答案】B
【分析】利用反例說明①④，根據(jù)單調(diào)性的定義判斷②③.
【詳解】對(duì)于①，令，
滿足在區(qū)間上嚴(yán)格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴(yán)格增函數(shù)，
但是函數(shù)在上不單調(diào)，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②：在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴(yán)格增函數(shù)，
即任意的都有，都有，
所以，
設(shè)任意的且，若，則，
若，則，
若，，則，
所以函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，故②正確；
對(duì)于③：在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴(yán)格增函數(shù)，
則在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴(yán)格增函數(shù)，
結(jié)合②可知，函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，故③正確；
對(duì)于④：令，滿足在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，且是奇函數(shù)，
但是函數(shù)在上不單調(diào)，故④錯(cuò)誤.
故選：B
16. 已知A、B為非空數(shù)集，為平面上的一些點(diǎn)構(gòu)成的集合，集合，集合，給定下列四個(gè)命題，其中真命題是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【正確答案】B
【分析】運(yùn)用元素和集合的關(guān)系判斷即可.
【詳解】根據(jù)題意，若，則；若，則關(guān)系不確定.
故選：B．
三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)的編號(hào)規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.
17. 已知，.
（1）求的值；
（2）求值.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）將兩邊平方得到，進(jìn)而求得，與聯(lián)立求出、，即可得解；
（2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，最后代入計(jì)算可得.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，即，
即，所以，
又x∈0,π，則，所以，所以，
所以，
則
，
所以，，
則．
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>所以
.
18. 為確保2023年第六屆中國國際進(jìn)口博覽會(huì)安全順利進(jìn)行，上海市公安局決定在進(jìn)博會(huì)期間實(shí)施交通管制.經(jīng)過長(zhǎng)期觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，某最高時(shí)速不超過100千米/小時(shí)的公路段的車流量（輛/小時(shí)）與車輛的平均速度（千米/小時(shí)）之間存在函數(shù)關(guān)系.
（1）當(dāng)車輛的平均速度為多少時(shí)，公路段的車流量最大？最大車流量為多少？
（2）若進(jìn)博會(huì)期間對(duì)該公路段車輛實(shí)行限流管控，車流量不超過4125輛/小時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
【正確答案】（1）車輛的平均速度為35千米/小時(shí)，最大車流量為12000輛/小時(shí)；
（2）.
【分析】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性及基本不等式求出分段函數(shù)的最大值即得.
（2）利用給定條件，列出不等式并求解即得.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，而，
所以車輛的平均速度為35千米/小時(shí)時(shí)，公路段的車流量最大，最大車流量為12000輛/小時(shí).
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，整理得，解得，則，
當(dāng)時(shí)，，不等式化為：
，整理得，解得或，則，
所以汽車的平均速度應(yīng)在范圍內(nèi).
19. 設(shè)，已知，.
（1）求證：函數(shù)不是偶函數(shù)；
（2）若對(duì)任意的、，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若對(duì)任意的，，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【分析】（1）利用偶函數(shù)的定義即可證明；
（2）分別得到和在的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為即可求解；
（3）將問題轉(zhuǎn)化為或，結(jié)合單調(diào)性即可求解.
【小問1詳解】
由題可得，
因?yàn)椋?br>所以函數(shù)為奇函數(shù)，不是偶函數(shù)；
【小問2詳解】
對(duì)任意的、，不妨設(shè)，
所以，
因?yàn)椋?，，?br>所以，，
所以在上單調(diào)遞增，
則，，
所以，
由于在上單調(diào)遞增，
所以，
要使對(duì)任意的、，總存在，使得成立，
則，即，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是；
【小問3詳解】
對(duì)任意的，，總有成立，
所以或，
則或，
由（2）可得當(dāng)，，，
，，
所以或，解得或，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
20. 已知函數(shù)，其中、是非空數(shù)集，且，設(shè)，；
（1）若，，求；
（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得，且？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若，且，，是單調(diào)遞增函數(shù)，求集合、；
【正確答案】(1) ；(2) ；(3) ,其中或者,其中或者
或者
【分析】(1)根據(jù),分別代入對(duì)應(yīng)的分段區(qū)間求解集合的范圍再求并集即可.
(2)先假設(shè)推出矛盾,故可得.代入可得,再分析當(dāng)時(shí)與題設(shè)矛盾可得.
(3)先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定,,再證明在上存在分界點(diǎn)的話,這個(gè)分界點(diǎn)應(yīng)該滿足的性質(zhì),最后根據(jù)此性質(zhì)寫出滿足題意的集合即可.
【詳解】(1)因?yàn)?所以,
因?yàn)?所以.
故.
(2)若,則,不符合要求.
所以,所以,因?yàn)?所以,解得.
若則 .
因?yàn)?所以的原象且
所以,得,與前提矛盾.
故
(3)因?yàn)槭菃握{(diào)遞增函數(shù),所以對(duì)任意有,所以
所以,同理可證.若存在,使得,
則,于是,
記,
所以,同理可知…
由,得,
所以.
所以,故,
即,此時(shí) .
對(duì)于任意,取中的自然數(shù),
則.所以.
綜上所述,滿足要求的必有如下表示：
,其中或者
,其中或者
或者
本題主要考查了函數(shù)與集合的綜合運(yùn)用,需要根據(jù)題意確定元素與區(qū)間的包含關(guān)系.同時(shí)也考查了根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分析集合的問題,需要根據(jù)題意找到臨界點(diǎn)滿足的性質(zhì),屬于難題.
21. 設(shè)函數(shù)，.記，，.對(duì)于D的非空子集A，若對(duì)任意，都有，則稱函數(shù)在集合A上封閉.
（1）若，，，分別判斷函數(shù)和是否在集合A上封閉；
（2）設(shè)，，區(qū)間（其中），若函數(shù)在集合B上封閉，求的最大值；
（3）設(shè)，，若函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)和的圖象都是連續(xù)的曲線，且函數(shù)在區(qū)間（其中）上封閉，證明：存在，使得.
【正確答案】（1）函數(shù)不在集合A上封閉，函數(shù)在集合A上封閉
（2）
（3）證明見解析
【分析】（1）結(jié)合所給新定義，利用函數(shù)單調(diào)性得出定義域?yàn)闀r(shí)的函數(shù)值域即可得解；
（2）結(jié)合所給新定義，分、及進(jìn)行討論即可得；
（3）利用反證法，由函數(shù)y=fx和的圖象都是連續(xù)的曲線，運(yùn)用零點(diǎn)的存在性定理中蘊(yùn)含的思想，假設(shè)不存在，使得，則必有對(duì)任意x∈R，恒成立或恒成立，從而分情況進(jìn)行討論后得出與已知條件矛盾的點(diǎn)即可得證.
【小問1詳解】
由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，
故函數(shù)y=gx不在集合A上封閉；
由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，
此時(shí)有，故函數(shù)在集合A上封閉；
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，由函數(shù)y=fx在集合B上封閉，
則有，解得，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，由 ，
此時(shí)函數(shù)y=fx不可能在集合B上封閉；
當(dāng)時(shí)， 由函數(shù)y=fx在集合B上封閉，
則有，解得，此時(shí)，
綜上所述，的最大值為；
【小問3詳解】
假設(shè)不存在，使得，
即對(duì)任意x∈R，，
由函數(shù)y=fx的圖象是連續(xù)的曲線，
故對(duì)任意x∈R，恒成立或恒成立，
若對(duì)任意x∈R，恒成立，
則當(dāng)時(shí)，有fb>b，則ffb>fb>b，，
即有fkx>b，此時(shí)函數(shù)不可能在區(qū)間上封閉，
與已知條件矛盾，故對(duì)任意x∈R，不成立；
若對(duì)任意x∈R，恒成立，
則當(dāng)時(shí)，有，則，，
即有，此時(shí)函數(shù)不可能在區(qū)間上封閉，
與已知條件矛盾，故對(duì)任意x∈R，不成立；
故存，使得.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問利用反證法，結(jié)合函數(shù)y=fx和的圖象都是連續(xù)的曲線，假設(shè)不存在，使得，則必有對(duì)任意x∈R，恒成立或恒成立，從而分情況進(jìn)行討論后得出與已知條件矛盾的點(diǎn)即可得

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