求作：∠BEC，使得點(diǎn)E在線段AD上，且∠BEC = 2∠BAC.
作法：
①連接OB，分別作線段OB，BC的垂直平分線l1，l2，兩直線交于點(diǎn)P；
②以點(diǎn)P為圓心，PB長為半徑作圓，交線段AD于點(diǎn)E；
③連接BE，CE.
∠BEC就是所求作的角.
（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明.
證明：連接OC.
∵點(diǎn)A，B，C在⊙O上，
∴∠BAC =∠BOC（____________________________________________）（填推理的依據(jù)）.
∵點(diǎn)B，O，E，C在⊙P上，
∴∠BEC =∠________ .
∴∠BEC = 2∠BAC.
答案：
（1）補(bǔ)全圖形如圖所示；
（2）一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；BOC.
2.（25西城）已知：如圖1，點(diǎn)A，B在⊙O上，點(diǎn)P在⊙O外.
圖1 圖2
求作：⊙O的切線PC，且切點(diǎn)C在劣弧AB上.
作法：如圖2，
①連接OP；
②作線段OP的垂直平分線l，交OP于點(diǎn)M；
③以點(diǎn)M為圓心，OM的長為半徑畫圓，交劣弧AB于點(diǎn)C；
④畫直線PC. 直線PC即為所求.
（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明.
證明：連接OC.
∵OP是⊙M的直徑，
∴∠PCO = ________°（____________________________________）（填推理的依據(jù)）.
∴OC⊥PC.
∵OC是⊙O的半徑，
∴直線PC是⊙O的切線（____________________________________）（填推理的依據(jù)）.
答案：
（1）補(bǔ)全圖形如圖所示；
（2）90°；直徑所對的圓周角是直角；經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
3.（25海淀）已知：如圖，AB是⊙O的弦.
求作：⊙O上的點(diǎn)C，使得∠ABC = 45°.
作法：①連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)P；
②分別以點(diǎn)A，P為圓心，大于AP的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)Q；
③作直線OQ交⊙O于點(diǎn)C1，C2，連接BC1，BC2.
所以，點(diǎn)C1，C2就是所求作的點(diǎn).
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明：
證明：連接AQ，PQ.
∵AQ = PQ，AO = PO，
∴OQ⊥AP（________________________________________________）（填推理的依據(jù)）.
∴∠AOC1 = ∠AOC2 = 90°.
∵A，B，C1，C2都在⊙O上，
∴∠ABC1 =∠AOC1，∠ABC2 =∠AOC2（___________________）（填推理的依據(jù)）.
∴∠ABC1 = ∠ABC2 = 45°.
答案：
（1）補(bǔ)全圖形如圖所示；
（2）三線合一；一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.
4.（25豐臺(tái)）下面是小明設(shè)計(jì)的“過圓外一點(diǎn)作已知圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.
已知：如圖，點(diǎn)P在⊙O外.
求作：⊙O的切線，使它經(jīng)過點(diǎn)P.
作法：①作射線PO交⊙O于A，B兩點(diǎn)；
②以點(diǎn)P為圓心，以PO的長為半徑作?。灰渣c(diǎn)O為圓心，以AB的長為半徑作弧，兩弧相
交于點(diǎn)M，N；
③連接OM，ON分別交⊙O于點(diǎn)C，D；
④作直線PC，PD.
直線PC，PD為所求作的切線.
根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明.
證明：連接PM.
在⊙O中，點(diǎn)A，B，C在⊙O上.
∵AB = OM，
∴OC =AB =OM.
∴OC = MC.
∵PO = PM，
∴PC⊥OM（ ① ）（填推理依據(jù)）.
∴直線PC是⊙O的切線（ ② ）（填推理依據(jù)）.
同理可證，直線PD是⊙O的切線.
答案：
（1）作圖如下：
（2）三線合一；經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
5.（25燕山）下面是小云設(shè)計(jì)的“過圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖的過程.
已知：如圖1，⊙O及⊙O上一點(diǎn)P．
求作：直線PN，使得PN與⊙O相切．
圖1
作法：如圖2，
①作射線OP；
②在⊙O外取一點(diǎn)Q（點(diǎn)Q不在射線OP上），以Q為圓心，QP為半徑作圓，⊙Q與射線
OP交于另一點(diǎn)M；
③連接MQ并延長交⊙Q于點(diǎn)N；
④作直線PN．
所以直線PN即為所求作直線.
根據(jù)小云設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖的過程，
圖2
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明.
證明：∵M(jìn)N是⊙Q的直徑，
∴∠MPN = ________°（___________________________________）（填推理的依據(jù)）．
∴OP⊥PN．
又∵OP是⊙O的半徑，
∴PN是⊙O的切線（___________________________________）（填推理的依據(jù)）．
答案：
（1）補(bǔ)全圖形如圖所示；
（2）90；直徑所對的圓周角是直角；經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
6.（25石景山）下面是小石設(shè)計(jì)的“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.
已知：⊙O及⊙O外一點(diǎn)P．
求作：直線PA和直線PB，使得PA切⊙O于點(diǎn)A，PB切⊙O于點(diǎn)B.
作法：如圖，
①連接OP，作線段OP的垂直平分線，交OP于點(diǎn)Q；
②以點(diǎn)Q為圓心，OQ的長為半徑作圓，交⊙O于點(diǎn)A和點(diǎn)B；
③作直線PA和直線PB.
所以直線PA和PB就是所求作的直線.
根據(jù)小石設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明.
證明：連接OA，OB．
∵OP是⊙Q的直徑，
∴∠OAP =∠OBP = ① （ ② ）（填推理的依據(jù)）.
∴PA⊥OA，PB⊥OB．
∵OA，OB為⊙O的半徑，
∴PA，PB是⊙O的切線（ ③ ）（填推理的依據(jù)）.
答案：
（1）補(bǔ)全圖形如圖所示；
（2）90°；直徑所對的圓周角是直角；經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
7.（25順義）數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題：
已知：如圖，AB是⊙O的直徑，射線AC交⊙O于點(diǎn)C.
求作： 的中點(diǎn)D.
小華的作法：
①在射線AC上截取AE，使AE = AB；
②連接BE，交⊙O于點(diǎn)D.
所以點(diǎn)D就是所求作的點(diǎn).
（1）按照小華的作法，補(bǔ)全圖形；
（2）補(bǔ)全下面的證明.
證明：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB = ________（________________________________________）（填推理依據(jù)）.
∵AB = AE，
∴∠BAD = ∠EAD.
∴________ .
∴點(diǎn)D為 的中點(diǎn).
答案：
（1）補(bǔ)全圖形如圖所示；
（2）90°；直徑所對的圓周角是直角； = .
8.（25通州）已知：如圖，在△ABC中，AB = AC.
求作：射線AE，使得AE∥BC.
小靖同學(xué)的作法如下：
①以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫圓，延長BA交⊙A于點(diǎn)D；
②作∠ABC的角平分線交⊙A于點(diǎn)E；
③作射線AE.
所以射線AE即為所求.
請你依據(jù)小靖同學(xué)設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，完成下列問題：
（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明.
證明：連接DC.
∵AB = AC，
∴點(diǎn)C在⊙A上.
∵BD是⊙A的直徑，
∴∠BCD = ________（________________________________________）（填推理依據(jù)）.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE = ∠CBE.
∴ = .
∴∠DAE = ∠CAE（________________________________________）（填推理依據(jù)）.
∵AD = AC，
∴AE⊥DC.（________________________________________）（填推理依據(jù)）.
∴AE∥BC.
答案：
（1）補(bǔ)全圖形如圖所示；
（2）90°；直徑所對的圓周角是直角；等弧所對的圓心角相等；等腰三角形的三線合一.
9.（25昌平）如圖，在△ABC中.
求作：正方形DEFG，兩個(gè)頂點(diǎn)在AB上，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在BC和AC上.
作法：
①在AB上任取一點(diǎn)P，作PQ⊥AB，交AC于點(diǎn)Q；
②在AB上截取PN = PQ，過點(diǎn)N和Q分別作PN和PQ的垂線，交于點(diǎn)M；
③作射線AM交BC于點(diǎn)D；
④過點(diǎn)D作DE∥MQ交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DG∥MN交AB于點(diǎn)G，
⑤過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F.
則正方形DEFG為所求作正方形.
（1）補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明.
證明：∵∠QPN =∠MQP =∠PNM = 90°，
∴四邊形MNPQ是矩形.
∵PN = PQ，
∴矩形MNPQ是正方形.
∵DE∥MQ，
∴△AMQ ∽ △ADE.
∴.（____________________________________________）（填寫依據(jù)）.
同理可得：
∴________ =.
∵M(jìn)N = MQ，
∴DE = DG.
同理可得：四邊形DEFG為正方形.
答案：
（1）補(bǔ)全圖形如圖所示；
（2）相似三角形的對應(yīng)邊成比例，.
10.（25平谷）已知：如圖，△ABC中，AB = AC，AB > BC.
求作：線段BD，使得點(diǎn)D在線段AC上，且∠CBD =∠BAC.
作法如下：
①以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫圓；
②以點(diǎn)C為圓心，BC長為半徑畫弧，交⊙A于點(diǎn)P（不與點(diǎn)B重合）；
③連接BP交AC于點(diǎn)D.
線段BD就是所求作的線段.
（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明.
證明：連接PC.
∵AB = AC，
∴點(diǎn)C在⊙A上.
∵點(diǎn)P在⊙A上，
∴∠CPB =∠BAC（___________________________________）（填推理的依據(jù)）．
∵BC = PC，
∴∠CBD = ________ .
∴∠CBD =∠BAC.
答案：
（1）補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；∠CPB.
與尺規(guī)作圖有關(guān)的選擇題、填空題：
12.（25通州）如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OM交于點(diǎn)A，再以A為圓心，AO
長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)B，畫射線OB，那么cs∠AOB的值是（ ）.
A.B.
C.D.
答案：A.
13.（25通州）如圖，已知⊙O及⊙O外一定點(diǎn)P，嘉嘉同學(xué)進(jìn)行了如下兩步操作后，得出了四個(gè)
結(jié)論：
①點(diǎn)A是PO的中點(diǎn)；
②直線PQ，PR都是⊙O的切線；
③點(diǎn)P到點(diǎn)Q、點(diǎn)R的距離相等；
④連接PQ，QA，PR，RO，OQ，則
S△PQA =S四邊形PROQ.
上述結(jié)論正確的是（ ）.
A.①②③④B.①②③C.①D.②
答案：B.
14.（25門頭溝）根據(jù)下圖中圓規(guī)的作圖痕跡，只用直尺就可確定△ABC內(nèi)心的是（ ）.
A.B.C.D.
答案：D.
15.（25房山）下面是“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”的作圖過程.
已知：⊙O和⊙O外一點(diǎn)P.
求作：過點(diǎn)P的⊙O的切線.
作法：如圖，
（1）連接OP；
（2）作線段OP的中點(diǎn)A，以點(diǎn)A為圓心，AO為半徑作⊙A，與⊙O交于兩點(diǎn)Q和R；
（3）作直線PQ，PR.
直線PQ和直線PR是⊙O的兩條切線.
證明：連接OQ，OR.
∵OP是⊙A直徑，點(diǎn)Q在⊙A上，
∴∠OQP = ________°.
∴OQ⊥PQ.
又∵點(diǎn)Q在⊙O上，
∴直線PQ是⊙O的切線.
同理可證直線PR是⊙O的切線.（___________________________）（填推理的依據(jù)）．
答案：90，經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
注：
1. 25朝陽、25大興、25門頭溝、25房山、25密云無尺規(guī)作圖解答題.
2.暫未收集到25懷柔、25延慶試題.

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