2024-2025九上數(shù)學(xué)期末分類匯編試題：圓綜（含答案）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

(1)求證：PD是的切線；
(2)若的半徑為3，，求PE的長．
（2025朝陽22.5分）如圖，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠ABO=30°，C為OB邊的中點，⊙O經(jīng)過點C，BD與⊙O相切于點D．
（1）求證：AB與⊙O相切；
（2）若AB=2，求AD的長．
（2025朝陽22.5分）
（1）證明：∵∠OAB=90°，∠ABO=30°，
∴OA=OB．………………………………………………………………………………1分
∵C為OB邊的中點，
∴OC=OB．
∴OA=OC．…………………………………………………………………………………2分
∵⊙O經(jīng)過點C，
∴OC為⊙O的半徑．
∴OA為⊙O的半徑．
∴AB與⊙O相切． ……………………………………………………………………3分
（2）解：∵BD與⊙O相切于點D，
∴BA=BD，BO平分∠ABD． ………………………………………………………4分
∴∠ABD=60°．
∴△ABD是等邊三角形．
∵AB=2，
∴AD=2． ……………………………………………………………………………5分
（2025海淀24.6分）如圖，AB，AC分別與⊙O相切于B，C兩點，BO的延長線交弦CD于點E，CE=DE，連接OD.
（1）求證：∠A=∠DOE；
（2）若OD∥AC，⊙O的半徑為2，求AB的長.
（2025海淀24）（本題滿分6分）
（1）證明：如圖，連接OC.
∵ AB，AC是⊙O的切線，
∴ OB⊥AB，OC⊥AC.
∴ ∠ABO=∠ACO=90°. ……………………………………1分
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ . …………………………………… 2分
∵ OC=OD，CE=DE，
∴ ∠DOE=∠COE.
∴ ∠A=∠DOE. ……………………………………3分
（2）解：如圖，延長DO交AB于點F.
∵ OD∥AC，
∴ ∠COD=∠ACO.
∵ ∠ACO=90°.
∴ ∠COD=90°.
∵ ，
∴ ，. ………………………… 4分
∵ OC=OD，CE=DE，
∴ OE⊥CD.
∴ ∠OED=90°.
∵ ∠ABO=90°，
∴ ∠ABO=∠OED.
∴ AB∥CD.
∵ AC∥OD，
∴ 四邊形ACDF是平行四邊形.
∴ . ………………………… 5分
∵ AB∥CD，
∴ ，
∵ ∠ABO=90°，
∴ .
∴ .
∴ . ……………………………… 6分
（2025西城24．6分）
如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD//AB，過點D作⊙O的
切線交AB的延長線于點E，連接BC，BD.
（1）求證：∠E＝∠CBD；
（2）若AE＝8，DE＝4，求CD的長.
圖1
24.（1）證明：作OF⊥CD于點F，連接OC，OD，如圖1．
∴ ∠DFO＝．
∵ CD//AB，
∴ ∠DFO＋∠EOF＝．
∴ ∠EOF＝．
∴ ∠DOF＋∠DOE＝．
∵ DE是⊙O的切線，D是切點，
∴ OD⊥DE．
∴ ∠ODE＝．
∴ ∠E＋∠DOE＝．
∴ ∠E=∠DOF．
∵ OC＝OD，
∴ ∠DOF＝
∵ ∠CBD＝，
∴ ∠DOF＝∠CBD．
∴ ∠E=∠CBD．3分
（2）解：作DG⊥AE于點G，如圖2．
∵ CD//AB，OF⊥CD于點F，
∴ DG⊥CD，OF⊥AE．
∴ DG＝OF．
設(shè)⊙O的半徑為r，則OA＝OD＝r．
∵ AE＝8，
∴ OE＝8- r．圖2
∵ 在Rt△ODE中，∠ODE＝90°，DE＝4，
∴ ．
解得r＝3．
∴ OE＝5．
∴ OF＝DG＝＝．
∴ 在Rt△DFO中，DF＝＝．
∴ CD＝2DF＝．6分
（2025豐臺24．6分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，連接AC,BC, 作OD∥AC交⊙O于點D，交BC
于點E.
（1）求證：；
（2）過點D作⊙O的切線交AC的延長線于點F，若CF=1，BC = 4，求AC的長.
（2025豐臺24）
（1）證明： ∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°.
………………………………1分
∵OD∥AC，
∴∠OEB=∠ACB=90°.
∴OD⊥BC.
∴.
………………………………2分
（2）解： ∵DF是⊙O的切線，
∴DF⊥OD.
∴∠ODF=90°.
………………………………3分
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=90°.
∵OD⊥BC，
∴∠CED=90°，
∴四邊形CEDF是矩形.
∴CF=ED.
∵CF=1，
∴ED=1.
………………………………4分
∵OD⊥BC，
∴BE = CE.
∵BC = 4，
∴BE = 2.
在Rt△OEB中，
OE 2+BE 2=OB 2.
設(shè)⊙O的半徑為r.
則OB = OD = r.
∴OE= r -1.
∴.
∴.
………………………………5分
∴.
∵BO=AO，BE=CE，
∴OE是△ABC的中位線.
∴AC=2OE =3.
………………………………6分
（2025大興24.6分）如圖，等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，AD為⊙O直徑，連接BD交AC于點E,延長DB至點P，使得AP＝AE，連接AP．
(1)求證：PA是⊙O的切線；
(2)若AB＝4，PE=6，求DE的長．
（2025大興24.）（1）證明：
∵AD為⊙O直徑，
∴∠ABD=90°.
∴AB⊥PE.
∵AP=AE，
∴∠PAB=∠EAB.
∵AB=BC，
∴∠EAB=∠C.
∵=，
∴∠D=∠C.
∴∠D=∠PAB.
∵∠BAD+∠D=90°，
∴∠BAD+∠PAB=90°.
∴PA是⊙O的切線. ……………………………………………….2分
（2）解：在Rt△ABD中， ∠ABD=90°，
∴AB2+BD2=AD2.
設(shè)DE=x，
∵AP=AE，AB⊥PE， PE=6，
∴PB=EB=3，
∴AD2 =42+(x+3)2. ………………………………………………….3分
在Rt△ABP中， ∠ABP=90°，
∴AP2 =AB2+BP2.
∴AP2=42+32.∴AP=5.
在Rt△PAD中， ∠PAD=90°，
∴PD2-AP2=AD2.
∴AD2=(x+6)2-52. …………………………………………………….5分
∴42+(x+3)2=(x+6)2-52
解得，x= . ………………………………………………………..6分
∴DE的長為.
（2025平谷24.6分）如圖，已知△ABC中，AB= BC，點D是BC邊上一點，連接AD，以AD為直徑畫⊙O，與AB邊交于點E，與AC邊交于點F，EF=AF，連接DE.
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若BC=10，，求AC的長.
（2025平谷24答案）
（1）證明
∵AD為⊙O的直徑，
∴∠AED=90°1
∵BA=BC
∴∠BAC=∠BCA
∵EF=AF
∴∠BAC=∠FEA2
∴∠BCA=∠FEA
∵∠DEF=∠DAC
∴∠DAC+∠BCA=∠DEA+∠AEF=90°
∴AD⊥BC
∴BC為⊙O的切線3

（2） ∵BC為⊙O的切線
∴∠ADE+∠BDE=90°
∴∠B+∠BDE=90°
∴∠B=∠ADE
∵
∴
∴
∴
∴BD=64
由勾股，AD=8
∵BC=10
∴DC=10-6=45
由勾股
6
（2025石景山24.6分）
如圖，P為⊙O外一點，過點P作⊙O的切線，切點為A，連接OP交⊙O于點
B，C為⊙O上一點，CA∥OP．
（1）求證：；
（2）若AC=2，，求AP的長．
…………………………1分
（2025石景山24.）
（1）證明：∵點A，B，C在⊙O上，
∴．
∵CA//OP，
∴∠ACB=∠CBO．
∵OC=OB，
∴∠CBO=∠BCO．
…………………………3分
∴∠ACB=∠BCO．
∴∠AOB=2∠BCO．
（2）解：過點O作OE⊥AC于點E，AC=2，
…………………………4分
∴．
…………………………5分
∵PA與⊙O相切于點A，
∴．
∵CA//OP，
∴∠CAO=∠AOB．
∴．
∴．
∴，．
…………………………6分
∴在中，
．
（2025通州25.6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，O是AB的中點，到點O的距離等于的所有點組成圖形G，圖形G與邊BC交于點D，過點D作DE⊥AC于點E．
（1）依題意補全圖形，判斷直線DE與圖形G的公共點個數(shù)并加以證明；
（2）CA延長線交圖形G于點F，如果，，求DE的長．

25. （1）補全圖形； ………………… 1分

結(jié)論：直線DE與圖形G（⊙O）只有一個公共點，或直線DE與⊙O相切
證明：連接OD，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴， ………… 2分
∵，
∴，
∵點D 在圖形G（⊙O）上，
∴直線DE與圖形G（⊙O）只有一個公共點. ………… 3分
（2）解：過點O作于點G.
∴. ………… 4分
∵，，
∴四邊形DOGE是矩形， …………… 5分
∴，，
在Rt△OGA中，，
∴，
∴（舍負(fù)），
∴. …………… 6分
（2025房山25.6分）如圖，BE是的直徑，點A在上，點C在BE的延長線上，
，AD平分交于點D，連結(jié)DE．
（1）求證：CA是的切線；
（2）當(dāng)時，求DE的長．
（2025房山25）
解：(1)連接OA
-------------------------------------------------------------3分
(2)連接BD.
設(shè)⊙O半徑為r，則OC=r+4
在Rt△OAC中，，AC=8，
.
.
∵AD平分，
.
.
在等腰Rt△BDE中，，
-------------------------------------------------------------6分
.
（2025門頭溝24.6分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，O為AC上一點，以點O為圓心，OC為半徑的圓恰好與AB相切，切點為D，⊙O與AC的另一個交點為E．
（1）求證：BO平分∠ABC；
（2）如果∠A = 30°，AE = 1，求BO的長．
（2025門頭溝24.6分）
（本小題滿分6分）
（1）證明：如圖，連接OD． …………………………………………………………1分
∵ 以O(shè)C為半徑的⊙O恰好與AB相切，切點為D，
∴ OD⊥AB．…………………………………………………………………2分
∵ ∠ACB = 90°，OD = OC，
∴ 點O在∠ABC的平分線上．
∴ BO平分∠ABC．…………………………………………………………3分
（2）解：∵ ∠A = 30°，∠ACB = 90°，
∴ ∠ABC = 60°．
∵ BO平分∠ABC，
∴ ∠ABO = 30° =∠A．
∴ BO = AO．…………………………………………………………………4分
∵ ∠A = 30°，∠ADO = 90°，
∴ AO = 2OD．
設(shè)OD = OE = r，
則r + 1 = 2r．
解得：r = 1．
∴ AO = 2．
∴ BO = 2． ……………………………………………………………………6分
（2025燕山25.6分）如圖，AB是的直徑，過點B作的切線BM，點A，C，D分別為的三等分點，連接AC，AD，DC，延長AD交BM于點E， CD交AB于點F.
（1）求證：；
（2）連接OE，若DE=m，求△OBE的面積.
（2025昌平24.6分）
（2025昌平24）解：（1）方法一：
連接AC.
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°. ………………………….1分
∴∠BAC+∠ABC=90°.
∵OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB. . .………………………………………………….2分
∵∠BAC=∠BOC=∠BCE，
∴∠BCE ＋∠OCB =90°=∠OCE.
∴OC⊥CE. .………………………………………………………….3分
∴CE是⊙O的切線.
方法二：
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB==90°－∠BOC.
∵∠BCE＝∠BOC，
∴∠OCB=90°－∠BOC=90°－∠BCE.
∴∠OCB＋∠BCE =90°.
∴OC⊥CE.
∴CE是⊙O的切線.
（2）方法一：
連接CD，過點C作CF⊥BD于點F.
∵∠COD =90°，
∴∠CBD =45°. ……………………….4分
∴在Rt△BCF中，BC2 = BF2＋CF2=2BF2=20.
∴BF= CF=.
∵∠CDB =∠BOC =∠BCE， . .…………………………………….5分
∴tan∠CDF = tan∠BCE ==.
∴DF=2.
∴BD=BF＋DF=3 . . .…………………………………………….6分
方法二：
過點C，D作AB的垂線段CG，DH，連接AC.
tan∠BCE = tan∠CAB = tan∠BCG ===.
∴AC =，AB=10，CG =2BG =4，OG =3.
∴在△COG和△ODH中，

∴△COG≌△ODH.
∴DH＝OG＝3，OH＝CG＝4.
∴在Rt△BDH中，BD＝3 .

方法三：
連接AC，BD交于點K，連接AD.
∵tan∠CAB = tan∠BCE ==，
又∵∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴AC =.
∵∠COD＝90°，
∴∠CBD＝∠CAD＝45°.
∴CK＝BC＝AK＝，BK＝，DK＝.
∴BD＝BK＋DK＝.
（2025順義25.6分）
（2025密云26.6分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，延長BC至D，BC=CD，過C作CE⊥AD交AD于點E.
（1）求證：CE是⊙O 的切線；
（2）連接 BE，若∠ECD=30°,DE=1 ,求BE長.
（2025密云26.6分）
（1）證明:連接OC.
∵AB是⊙O直徑，C是⊙O上的點，
∴∠ACB=90°.
∴AC⊥BD.
∵BC=CD，
∴AB=AD.
∴∠BAC=∠DAC.
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA.
∴∠DAC=∠OCA.
∵CE⊥AD于E，
∴∠DAC+∠ACE=90°.
∴∠OCA+∠ACE=90°.
∴∠OCE=90°.
∴OC⊥CE.
∴CE是⊙O的切線.
（2）
解：設(shè)AD與⊙O交于點F，連接BF.
∵AB是⊙O直徑，F(xiàn)是⊙O上的點，
∴∠AFB=90°.
在Rt△CED中，∠CED=90°，DE=1，∠ECD=30°，
∴CD=2.
∴CE= .
∵BC=CD，
∴BD=2CD=4.
∴DF=2.
∴EF=1，BF=.
∴BE=.

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