一．選擇題（共13小題）
1．（2018?襄陽）如圖，在△ABC中，分別以點A和點C為圓心，大于AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN分別交BC，AC于點D，E．若AE=3cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長為（ ）
A．16cmB．19cmC．22cmD．25cm
【分析】利用線段的垂直平分線的性質(zhì)即可解決問題．
【解答】解：∵DE垂直平分線段AC，
∴DA=DC，AE=EC=6cm，
∵AB+AD+BD=13cm，
∴AB+BD+DC=13cm，
∴△ABC的周長=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，
故選：B．

2．（2018?河北）尺規(guī)作圖要求：Ⅰ、過直線外一點作這條直線的垂線；Ⅱ、作線段的垂直平分線；
Ⅲ、過直線上一點作這條直線的垂線；Ⅳ、作角的平分線．
如圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖：
則正確的配對是（ ）
A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣ⅢB．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣ⅠD．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
【分析】分別利用過直線外一點作這條直線的垂線作法以及線段垂直平分線的作法和過直線上一點作這條直線的垂線、角平分線的作法分別得出符合題意的答案．
【解答】解：Ⅰ、過直線外一點作這條直線的垂線；Ⅱ、作線段的垂直平分線；
Ⅲ、過直線上一點作這條直線的垂線；Ⅳ、作角的平分線．
如圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖：
則正確的配對是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ．
故選：D．

3．（2018?河南）如圖，已知?AOBC的頂點O（0，0），A（﹣1，2），點B在x軸正半軸上按以下步驟作圖：①以點O為圓心，適當長度為半徑作弧，分別交邊OA，OB于點D，E；②分別以點D，E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點F；③作射線OF，交邊AC于點G，則點G的坐標為（ ）
A．（﹣1，2）B．（，2）C．（3﹣，2）D．（﹣2，2）
【分析】依據(jù)勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO=，依據(jù)∠AGO=∠AOG，即可得到AG=AO=，進而得出HG=﹣1，可得G（﹣1，2）．
【解答】解：∵?AOBC的頂點O（0，0），A（﹣1，2），
∴AH=1，HO=2，
∴Rt△AOH中，AO=，
由題可得，OF平分∠AOB，
∴∠AOG=∠EOG，
又∵AG∥OE，
∴∠AGO=∠EOG，
∴∠AGO=∠AOG，
∴AG=AO=，
∴HG=﹣1，
∴G（﹣1，2），
故選：A．

4．（2018?宜昌）尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線，下列作圖中正確的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)過直線外一點向直線作垂線即可．
【解答】已知：直線AB和AB外一點C．
求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C．
作法：（1）任意取一點K，使K和C在AB的兩旁．
（2）以C為圓心，CK的長為半徑作弧，交AB于點D和E．
（3）分別以D和E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧交于點F，
（4）作直線CF．
直線CF就是所求的垂線．
故選：B．

5．（2018?濰坊）如圖，木工師傅在板材邊角處作直角時，往往使用“三弧法”，其作法是：
（1）作線段AB，分別以A，B為圓心，以AB長為半徑作弧，兩弧的交點為C；
（2）以C為圓心，仍以AB長為半徑作弧交AC的延長線于點D；
（3）連接BD，BC．
下列說法不正確的是（ ）
A．∠CBD=30°B．S△BDC=AB2
C．點C是△ABD的外心D．sin2A+cs2D=1
【分析】根據(jù)等邊三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)一一判斷即可；
【解答】解：由作圖可知：AC=AB=BC，
∴△ABC是等邊三角形，
由作圖可知：CB=CA=CD，
∴點C是△ABD的外心，∠ABD=90°，
BD=AB，
∴S△ABD=AB2，
∵AC=CD，
∴S△BDC=AB2，
故A、B、C正確，
故選：D．

6．（2018?郴州）如圖，∠AOB=60°，以點O為圓心，以任意長為半徑作弧交OA，OB于C，D兩點；分別以C，D為圓心，以大于CD的長為半徑作弧，兩弧相交于點P；以O為端點作射線OP，在射線OP上截取線段OM=6，則M點到OB的距離為（ ）
A．6B．2C．3D．
【分析】直接利用角平分線的作法得出OP是∠AOB的角平分線，再利用直角三角形的性質(zhì)得出答案．
【解答】解：過點M作ME⊥OB于點E，
由題意可得：OP是∠AOB的角平分線，
則∠POB=×60°=30°，
∴ME=OM=3．
故選：C．

7．（2018?臺州）如圖，在?ABCD中，AB=2，BC=3．以點C為圓心，適當長為半徑畫弧，交BC于點P，交CD于點Q，再分別以點P，Q為圓心，大于PQ的長為半徑畫弧，兩弧相交于點N，射線CN交BA的延長線于點E，則AE的長是（ ）
A．B．1C．D．
【分析】只要證明BE=BC即可解決問題；
【解答】解：∵由題意可知CF是∠BCD的平分線，
∴∠BCE=∠DCE．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，
∴BE=BC=3，
∵AB=2，
∴AE=BE﹣AB=1，
故選：B．

8．（2018?嘉興）用尺規(guī)在一個平行四邊形內(nèi)作菱形ABCD，下列作法中錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)菱形的判定和作圖根據(jù)解答即可．
【解答】解：A、由作圖可知，AC⊥BD，且平分BD，即對角線平分且垂直的四邊形是菱形，正確；
B、由作圖可知AB=BC，AD=AB，即四邊相等的四邊形是菱形，正確；
C、由作圖可知AB=DC，AD=BC，只能得出ABCD是平行四邊形，錯誤；
D、由作圖可知對角線AC平分對角，可以得出是菱形，正確；
故選：C．

9．（2018?昆明）如圖，點A在雙曲線y═（x＞0）上，過點A作AB⊥x軸，垂足為點B，分別以點O和點A為圓心，大于OA的長為半徑作弧，兩弧相交于D，E兩點，作直線DE交x軸于點C，交y軸于點F（0，2），連接AC．若AC=1，則k的值為（ ）
A．2B．C．D．
【分析】如圖，設OA交CF于K．利用面積法求出OA的長，再利用相似三角形的性質(zhì)求出AB、OB即可解決問題；
【解答】解：如圖，設OA交CF于K．
由作圖可知，CF垂直平分線段OA，
∴OC=CA=1，OK=AK，
在Rt△OFC中，CF==，
∴AK=OK==，
∴OA=，
由△FOC∽△OBA，可得==，
∴==，
∴OB=，AB=，
∴A（，），
∴k=．
故選：B．

10．（2018?湖州）尺規(guī)作圖特有的魅力曾使無數(shù)人沉湎其中．傳說拿破侖通過下列尺規(guī)作圖考他的大臣：
①將半徑為r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F(xiàn)六個分點；
②分別以點A，D為圓心，AC長為半徑畫弧，G是兩弧的一個交點；
③連結OG．
問：OG的長是多少？
大臣給出的正確答案應是（ ）
A． rB．（1+）rC．（1+）rD． r
【分析】如圖連接CD，AC，DG，AG．在直角三角形即可解決問題；
【解答】解：如圖連接CD，AC，DG，AG．
∵AD是⊙O直徑，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，AD=2r，∠DAC=30°，
∴AC=r，
∵DG=AG=CA，OD=OA，
∴OG⊥AD，
∴∠GOA=90°，
∴OG===r，
故選：D．

11．（2018?臺灣）如圖，銳角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，甲、乙兩人想找一點P，使得∠BPC與∠A互補，其作法分別如下：
（甲）以A為圓心，AC長為半徑畫弧交AB于P點，則P即為所求；
（乙）作過B點且與AB垂直的直線l，作過C點且與AC垂直的直線，交l于P點，則P即為所求
對于甲、乙兩人的作法，下列敘述何者正確？（ ）
A．兩人皆正確B．兩人皆錯誤
C．甲正確，乙錯誤D．甲錯誤，乙正確
【分析】甲：根據(jù)作圖可得AC=AP，利用等邊對等角得：∠APC=∠ACP，由平角的定義可知：∠BPC+∠APC=180°，根據(jù)等量代換可作判斷；
乙：根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得：∠BPC+∠A=180°．
【解答】解：甲：如圖1，∵AC=AP，
∴∠APC=∠ACP，
∵∠BPC+∠APC=180°
∴∠BPC+∠ACP=180°，
∴甲錯誤；
乙：如圖2，∵AB⊥PB，AC⊥PC，
∴∠ABP=∠ACP=90°，
∴∠BPC+∠A=180°，
∴乙正確，
故選：D．

12．（2018?安順）已知△ABC（AC＜BC），用尺規(guī)作圖的方法在BC上確定一點P，使PA+PC=BC，則符合要求的作圖痕跡是
（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)以及圓的性質(zhì)分別分得出即可．
【解答】解：A、如圖所示：此時BA=BP，則無法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此選項錯誤；
B、如圖所示：此時PA=PC，則無法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此選項錯誤；
C、如圖所示：此時CA=CP，則無法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此選項錯誤；
D、如圖所示：此時BP=AP，故能得出PA+PC=BC，故此選項正確；
故選：D．

13．（2017?南寧）如圖，△ABC中，AB＞AC，∠CAD為△ABC的外角，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則下列結論錯誤的是（ ）
A．∠DAE=∠BB．∠EAC=∠CC．AE∥BCD．∠DAE=∠EAC
【分析】根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得∠DAE=∠B，進而判定AE∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結論．
【解答】解：根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得∠DAE=∠B，故A選項正確，
∴AE∥BC，故C選項正確，
∴∠EAC=∠C，故B選項正確，
∵AB＞AC，
∴∠C＞∠B，
∴∠CAE＞∠DAE，故D選項錯誤，
故選：D．

二．填空題（共7小題）
14．（2018?南京）如圖，在△ABC中，用直尺和圓規(guī)作AB、AC的垂直平分線，分別交AB、AC于點D、E，連接DE．若BC=10cm，則DE= 5 cm．
【分析】直接利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出DE是△ABC的中位線，進而得出答案．
【解答】解：∵用直尺和圓規(guī)作AB、AC的垂直平分線，
∴D為AB的中點，E為AC的中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE=BC=5cm．
故答案為：5．

15．（2018?淮安）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分別以點A、B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧交點分別為點P、Q，過P、Q兩點作直線交BC于點D，則CD的長是 ．
【分析】連接AD由PQ垂直平分線段AB，推出DA=DB，設DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根據(jù)AD2=AC2+CD2構建方程即可解決問題；
【解答】解：連接AD．
∵PQ垂直平分線段AB，
∴DA=DB，設DA=DB=x，
在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，
∴x2=32+（5﹣x）2，
解得x=，
∴CD=BC﹣DB=5﹣=，
故答案為．

16．（2018?山西）如圖，直線MN∥PQ，直線AB分別與MN，PQ相交于點A，B．小宇同學利用尺規(guī)按以下步驟作圖：①以點A為圓心，以任意長為半徑作弧交AN于點C，交AB于點D；②分別以C，D為圓心，以大于CD長為半徑作弧，兩弧在∠NAB內(nèi)交于點E；③作射線AE交PQ于點F．若AB=2，∠ABP=60°，則線段AF的長為 2 ．
【分析】作高線BG，根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)得：BG=1，AG=，可得AF的長．
【解答】解：∵MN∥PQ，
∴∠NAB=∠ABP=60°，
由題意得：AF平分∠NAB，
∴∠1=∠2=30°，
∵∠ABP=∠1+∠3，
∴∠3=30°，
∴∠1=∠3=30°，
∴AB=BF，AG=GF，
∵AB=2，
∴BG=AB=1，
∴AG=，
∴AF=2AG=2，
故答案為：2．

17．（2018?東營）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，以頂點C為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AC，BC于點E，F(xiàn)，再分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線CP交AB于點D．若BD=3，AC=10，則△ACD的面積是 15 ．
【分析】作DQ⊥AC，由角平分線的性質(zhì)知DB=DQ=3，再根據(jù)三角形的面積公式計算可得．
【解答】解：如圖，過點D作DQ⊥AC于點Q，
由作圖知CP是∠ACB的平分線，
∵∠B=90°，BD=3，
∴DB=DQ=3，
∵AC=10，
∴S△ACD=?AC?DQ=×10×3=15，
故答案為：15．

18．（2018?通遼）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點A和點C為圓心，以大于AC的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點；②作直線MN交BC于點D，連接AD．若AB=BD，AB=6，∠C=30°，則△ACD的面積為 9 ．
【分析】只要證明△ABD是等邊三角形，推出BD=AD=DC，可得S△ADC=S△ABD即可解決問題；
【解答】解：由作圖可知，MN垂直平分線段AC，
∴DA=DC，
∴∠C=∠DAC=30°，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等邊三角形，
∴BD=AD=DC，
∴S△ADC=S△ABD=×62=9，
故答案為9．

19．（2018?成都）如圖，在矩形ABCD中，按以下步驟作圖：①分別以點A和C為圓心，以大于AC的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N；②作直線MN交CD于點E．若DE=2，CE=3，則矩形的對角線AC的長為 ．
【分析】連接AE，如圖，利用基本作圖得到MN垂直平分AC，則EA=EC=3，然后利用勾股定理先計算出AD，再計算出AC．
【解答】解：連接AE，如圖，
由作法得MN垂直平分AC，
∴EA=EC=3，
在Rt△ADE中，AD==，
在Rt△ADC中，AC==．
故答案為．

20．（2018?湖州）在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點．以頂點都是格點的正方形ABCD的邊為斜邊，向內(nèi)作四個全等的直角三角形，使四個直角頂點E，F(xiàn)，G，H都是格點，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點弦圖．例如，在如圖1所示的格點弦圖中，正方形ABCD的邊長為，此時正方形EFGH的而積為5．問：當格點弦圖中的正方形ABCD的邊長為時，正方形EFGH的面積的所有可能值是 13或49或9 （不包括5）．
【分析】當DG=，CG=2時，滿足DG2+CG2=CD2，此時HG=，可得正方形EFGH的面積為13．當DG=8，CG=1時，滿足DG2+CG2=CD2，此時HG=7，可得正方形EFGH的面積為49．當DG=7，CG=4時，滿足DG2+CG2=CD2，此時HG=3，可得正方形EFGH的面積為9．
【解答】解：當DG=，CG=2時，滿足DG2+CG2=CD2，此時HG=，可得正方形EFGH的面積為13．
當DG=8，CG=1時，滿足DG2+CG2=CD2，此時HG=7，可得正方形EFGH的面積為49．
當DG=7，CG=4時，滿足DG2+CG2=CD2，此時HG=3，可得正方形EFGH的面積為9．
故答案為13或49或9．

三．解答題（共21小題）
21．（2018?廣州）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．
（1）利用尺規(guī)作∠ADC的平分線DE，交BC于點E，連接AE（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）的條件下，
①證明：AE⊥DE；
②若CD=2，AB=4，點M，N分別是AE，AB上的動點，求BM+MN的最小值．
【分析】（1）利用尺規(guī)作出∠ADC的角平分線即可；
（2）①延長DE交AB的延長線于F．只要證明AD=AF，DE=EF，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可解決問題；
②作點B關于AE的對稱點K，連接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．連接MK．由MB=MK，推出MB+MN=KM+MN，根據(jù)垂線段最短可知：當K、M、N共線，且與KH重合時，KM+MN的值最小，最小值為KH的長；
【解答】解：（1）如圖，∠ADC的平分線DE如圖所示．
（2）①延長DE交AB的延長線于F．
∵CD∥AF，
∴∠CDE=∠F，∵∠CDE=∠ADE，
∴∠ADF=∠F，
∴AD=AF，
∵AD=AB+CD=AB+BF，
∴CD=BF，
∵∠DEC=∠BEF，
∴△DEC≌△FEB，
∴DE=EF，
∵AD=AF，
∴AE⊥DE．
②作點B關于AE的對稱點K，連接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．連接MK．
∵AD=AF，DE=EF，
∴AE平分∠DAF，則△AEK≌△AEB，
∴AK=AB=4，
在Rt△ADG中，DG==4，
∵KH∥DG，
∴=，
∴=，
∴KH=，
∵MB=MK，
∴MB+MN=KM+MN，
∴當K、M、N共線，且與KH重合時，KM+MN的值最小，最小值為KH的長，
∴BM+MN的最小值為．

22．（2018?廣東）如圖，BD是菱形ABCD的對角線，∠CBD=75°，
（1）請用尺規(guī)作圖法，作AB的垂直平分線EF，垂足為E，交AD于F；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）條件下，連接BF，求∠DBF的度數(shù)．
【分析】（1）分別以A、B為圓心，大于AB長為半徑畫弧，過兩弧的交點作直線即可；
（2）根據(jù)∠DBF=∠ABD﹣∠ABF計算即可；
【解答】解：（1）如圖所示，直線EF即為所求；
（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．
∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=∠A=30°，
∵EF垂直平分線線段AB，
∴AF=FB，
∴∠A=∠FBA=30°，
∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°．

23．（2018?安徽）如圖，⊙O為銳角△ABC的外接圓，半徑為5．
（1）用尺規(guī)作圖作出∠BAC的平分線，并標出它與劣弧的交點E（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）若（1）中的點E到弦BC的距離為3，求弦CE的長．
【分析】（1）利用基本作圖作AE平分∠BAC；
（2）連接OE交BC于F，連接OC，如圖，根據(jù)圓周角定理得到=，再根據(jù)垂徑定理得到OE⊥BC，則EF=3，OF=2，然后在Rt△OCF中利用勾股定理計算出CF=，在Rt△CEF中利用勾股定理可計算出CE．
【解答】解：（1）如圖，AE為所作；
（2）連接OE交BC于F，連接OC，如圖，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴=，
∴OE⊥BC，
∴EF=3，
∴OF=5﹣3=2，
在Rt△OCF中，CF==，
在Rt△CEF中，CE==．

24．（2018?自貢）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°．
（1）作出經(jīng)過點B，圓心O在斜邊AB上且與邊AC相切于點E的⊙O（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）
（2）設（1）中所作的⊙O與邊AB交于異于點B的另外一點D，若⊙O的直徑為5，BC=4；求DE的長．（如果用尺規(guī)作圖畫不出圖形，可畫出草圖完成（2）問）
【分析】（1）作∠ABC的角平分線交AC于E，作EO⊥AC交AB于點O，以O為圓心，OB為半徑畫圓即可解決問題；
（2）作OH⊥BC于H．首先求出OH、EC、BE，利用△BCE∽△BED，可得=，解決問題；
【解答】解：（1）⊙O如圖所示；
（2）作OH⊥BC于H．
∵AC是⊙O的切線，
∴OE⊥AC，
∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°，
∴四邊形ECHO是矩形，
∴OE=CH=，BH=BC﹣CH=，
在Rt△OBH中，OH==2，
∴EC=OH=2，BE==2，
∵∠EBC=∠EBD，∠BED=∠C=90°，
∴△BCE∽△BED，
∴=，
∴=，
∴DE=．

25．（2018?北京）下面是小東設計的“過直線外一點作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程．
已知：直線l及直線l外一點P．
求作：直線PQ，使得PQ∥l．
作法：如圖，
①在直線l上取一點A，作射線PA，以點A為圓心，AP長為半徑畫弧，交PA的延長線于點B；
②在直線l上取一點C（不與點A重合），作射線BC，以點C為圓心，CB長為半徑畫弧，交BC的延長線于點Q；
③作直線PQ．所以直線PQ就是所求作的直線．
根據(jù)小東設計的尺規(guī)作圖過程，
（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下面的證明．
證明：∵AB= AP ，CB= CQ ，
∴PQ∥l（ 三角形中位線定理 ）（填推理的依據(jù)）．
【分析】（1）根據(jù)題目要求作出圖形即可；
（2）利用三角形中位線定理證明即可；
【解答】（1）解：直線PQ如圖所示；
（2）證明：∵AB=AP，CB=CQ，
∴PQ∥l（三角形中位線定理）．
故答案為：AP，CQ，三角形中位線定理；

26．（2018?白銀）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°．
（1）作∠ACB的平分線交AB邊于點O，再以點O為圓心，OB的長為半徑作⊙O；（要求：不寫做法，保留作圖痕跡）
（2）判斷（1）中AC與⊙O的位置關系，直接寫出結果．
【分析】（1）首先利用角平分線的作法得出CO，進而以點O為圓心，OB為半徑作⊙O即可；
（2）利用角平分線的性質(zhì)以及直線與圓的位置關系進而求出即可．
【解答】解：（1）如圖所示：
；
（2）相切；過O點作OD⊥AC于D點，
∵CO平分∠ACB，
∴OB=OD，即d=r，
∴⊙O與直線AC相切，

27．（2018?無錫）如圖，平面直角坐標系中，已知點B的坐標為（6，4）．
（1）請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作一條直線AC，它與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和點C，且使∠ABC=90°，△ABC與△AOC的面積相等．（作圖不必寫作法，但要保留作圖痕跡．）
（2）問：（1）中這樣的直線AC是否唯一？若唯一，請說明理由；若不唯一，請在圖中畫出所有這樣的直線AC，并寫出與之對應的函數(shù)表達式．
【分析】（1）①作線段OB的垂直平分線AC，滿足條件，②作矩形OA′BC′，直線A′C′，滿足條件；
（2）分兩種情形分別求解即可解決問題；
【解答】（1）解：如圖△ABC即為所求；
（2）解：這樣的直線不唯一．
①作線段OB的垂直平分線AC，滿足條件，此時直線的解析式為y=﹣x+．
②作矩形OA′BC′，直線A′C′，滿足條件，此時直線A′C′的解析式為y=﹣x+4．

28．（2018?孝感）如圖，△ABC中，AB=AC，小聰同學利用直尺和圓規(guī)完成了如下操作：
①作∠BAC的平分線AM交BC于點D；
②作邊AB的垂直平分線EF，EF與AM相交于點P；
③連接PB，PC．
請你觀察圖形解答下列問題：
（1）線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關系是 PA=PB=PC ；
（2）若∠ABC=70°，求∠BPC的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得：PA=PB=PC；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得：∠ABC=∠ACB=70°，由三角形的內(nèi)角和得：∠BAC=180°﹣2×70°=40°，由角平分線定義得：∠BAD=∠CAD=20°，最后利用三角形外角的性質(zhì)可得結論．
【解答】解：（1）如圖，PA=PB=PC，理由是：
∵AB=AC，AM平分∠BAC，
∴AD是BC的垂直平分線，
∴PB=PC，
∵EP是AB的垂直平分線，
∴PA=PB，
∴PA=PB=PC；
故答案為：PA=PB=PC；
（2）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°﹣2×70°=40°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=20°，
∵PA=PB=PC，
∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°，
∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°．

29．（2018?深圳）已知菱形的一個角與三角形的一個角重合，然后它的對角頂點在這個重合角的對邊上，這個菱形稱為這個三角形的親密菱形，如圖，在△CFE中，CF=6，CE=12，∠FCE=45°，以點C為圓心，以任意長為半徑作AD，再分別以點A和點D為圓心，大于AD長為半徑作弧，交EF于點B，AB∥CD．
（1）求證：四邊形ACDB為△FEC的親密菱形；
（2）求四邊形ACDB的面積．
【分析】（1）根據(jù)折疊和已知得出AC=CD，AB=DB，∠ACB=∠DCB，求出AC=AB，根據(jù)菱形的判定得出即可；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，求出菱形的邊長和高，根據(jù)菱形的面積公式求出即可．
【解答】（1）證明：∵由已知得：AC=CD，AB=DB，
由已知尺規(guī)作圖痕跡得：BC是∠FCE的角平分線，
∴∠ACB=∠DCB，
又∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCB，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AC=AB，
又∵AC=CD，AB=DB，
∴AC=CD=DB=BA∴四邊形ACDB是菱形，
∵∠ACD與△FCE中的∠FCE重合，它的對角∠ABD頂點在EF上，
∴四邊形ACDB為△FEC的親密菱形；
（2）解：設菱形ACDB的邊長為x，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CE，
∴∠FAB=∠FCE，∠FBA=∠E，
△EAB∽△FCE
則：，
即，
解得：x=4，
過A點作AH⊥CD于H點，
∵在Rt△ACH中，∠ACH=45°，
∴，
∴四邊形ACDB的面積為：．

30．（2018?貴港）尺規(guī)作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）．如圖，已知∠α和線段a，求作△ABC，使∠A=∠α，∠C=90°，AB=a．
【分析】根據(jù)作一個角等于已知角，線段截取以及垂線的尺規(guī)作法即可求出答案．
【解答】解：如圖所示，
△ABC為所求作

31．（2018?江西）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E為AB的中點，請僅用無刻度直尺分別按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）．
（1）在圖1中，畫出△ABD的BD邊上的中線；
（2）在圖2中，若BA=BD，畫出△ABD的AD邊上的高．
【分析】（1）連接EC，利用平行四邊形的判定和性質(zhì)解答即可；
（2）連接EC，ED，F(xiàn)A，利用三角形重心的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：（1）如圖1所示，AF即為所求：
（2）如圖2所示，BH即為所求．

32．（2018?青島）已知：如圖，∠ABC，射線BC上一點D．
求作：等腰△PBD，使線段BD為等腰△PBD的底邊，點P在∠ABC內(nèi)部，且點P到∠ABC兩邊的距離相等．
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)即可解決問題．
【解答】解：∵點P在∠ABC的平分線上，
∴點P到∠ABC兩邊的距離相等（角平分線上的點到角的兩邊距離相等），
∵點P在線段BD的垂直平分線上，
∴PB=PD（線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等），
如圖所示：

33．（2018?寧波）在5×3的方格紙中，△ABC的三個頂點都在格點上．
（1）在圖1中畫出線段BD，使BD∥AC，其中D是格點；
（2）在圖2中畫出線段BE，使BE⊥AC，其中E是格點．
【分析】（1）將線段AC沿著AB方向平移2個單位，即可得到線段BD；
（2）利用2×3的長方形的對角線，即可得到線段BE⊥AC．
【解答】解：（1）如圖所示，線段BD即為所求；
（2）如圖所示，線段BE即為所求．

34．（2018?河南）如圖，反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象過格點（網(wǎng)格線的交點）P．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）在圖中用直尺和2B鉛筆畫出兩個矩形（不寫畫法），要求每個矩形均需滿足下列兩個條件：
①四個頂點均在格點上，且其中兩個頂點分別是點O，點P；
②矩形的面積等于k的值．
【分析】（1）將P點坐標代入y=，利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)矩形滿足的兩個條件畫出符合要求的兩個矩形即可．
【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象過格點P（2，2），
∴k=2×2=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=；
（2）如圖所示：
矩形OAPB、矩形OCDP即為所求作的圖形．

35．（2018?金華）如圖，在6×6的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，點A在格點（小正方形的頂點）上．試在各網(wǎng)格中畫出頂點在格點上，面積為6，且符合相應條件的圖形．
【分析】利用數(shù)形結合的思想解決問題即可；
【解答】解：符合條件的圖形如圖所示：

36．（2018?濟寧）在一次數(shù)學活動課中，某數(shù)學小組探究求環(huán)形花壇（如圖所示）面積的方法，現(xiàn)有以下工具；①卷尺；②直棒EF；③T型尺（CD所在的直線垂直平分線段AB）．
（1）在圖1中，請你畫出用T形尺找大圓圓心的示意圖（保留畫圖痕跡，不寫畫法）；
（2）如圖2，小華說：“我只用一根直棒和一個卷尺就可以求出環(huán)形花壇的面積，具體做法如下：
將直棒放置到與小圓相切，用卷尺量出此時直棒與大圓兩交點M，N之間的距離，就可求出環(huán)形花壇的面積”如果測得MN=10m，請你求出這個環(huán)形花壇的面積．
【分析】（1）直線CD與C′D′的交點即為所求的點O．
（2）設切點為C，連接OM，OC．旅游勾股定理即可解決問題；
【解答】解：（1）如圖點O即為所求；
（2）設切點為C，連接OM，OC．
∵MN是切線，
∴OC⊥MN，
∴CM=CN=5，
∴OM2﹣OC2=CM2=25，
∴S圓環(huán)=π?OM2﹣π?OC2=25π．

37．（2018?廣安）下面有4張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長都是1，請在方格紙中分別畫出符合要求的圖形，所畫圖形各頂點必須與方格紙中小正方形的頂點重合，具體要求如下：
（1）畫一個直角邊長為4，面積為6的直角三角形．
（2）畫一個底邊長為4，面積為8的等腰三角形．
（3）畫一個面積為5的等腰直角三角形．
（4）畫一個邊長為2，面積為6的等腰三角形．
【分析】（1）利用三角形面積求法以及直角三角形的性質(zhì)畫即可；
（2）利用三角形面積求法以及等腰三角形的性質(zhì)畫出即可．
（3）利用三角形面積求法以及等腰直角三角形的性質(zhì)畫出即可；
（4）利用三角形面積求法以及等腰三角形的性質(zhì)畫出即可．
【解答】解：（1）如圖（1）所示：
（2）如圖（2）所示：
（3）如圖（3）所示；
（4）如圖（4）所示．

38．（2018?青島）問題提出：用若干相同的一個單位長度的細直木棒，按照如圖1方式搭建一個長方體框架，探究所用木棒條數(shù)的規(guī)律．
問題探究：
我們先從簡單的問題開始探究，從中找出解決問題的方法．
探究一
用若干木棒來搭建橫長是m，縱長是n的矩形框架（m、n是正整數(shù)），需要木棒的條數(shù)．
如圖①，當m=1，n=1時，橫放木棒為1×（1+1）條，縱放木棒為（1+1）×1條，共需4條；
如圖②，當m=2，n=1時，橫放木棒為2×（1+1）條，縱放木棒為（2+1）×1條，共需7條；
如圖③，當m=2，n=2時，橫放木棒為2×（2+1））條，縱放木棒為（2+1）×2條，共需12條；如圖④，當m=3，n=1時，橫放木棒為3×（1+1）條，縱放木棒為（3+1）×1條，共需10條；
如圖⑤，當m=3，n=2時，橫放木棒為3×（2+1）條，縱放木棒為（3+1）×2條，共需17條．
問題（一）：當m=4，n=2時，共需木棒 22 條．
問題（二）：當矩形框架橫長是m，縱長是n時，橫放的木棒為 m（n+1） 條，
縱放的木棒為 n（m+1） 條．
探究二
用若干木棒來搭建橫長是m，縱長是n，高是s的長方體框架（m、n、s是正整數(shù)），需要木棒的條數(shù)．
如圖⑥，當m=3，n=2，s=1時，橫放與縱放木棒之和為[3×（2+1）+（3+1）×2]×（1+1）=34條，豎放木棒為（3+1）×（2+1）×1=12條，共需46條；
如圖⑦，當m=3，n=2，s=2時，橫放與縱放木棒之和為[3×（2+1）+（3+1）×2]×（2+1）=51條，豎放木棒為（3+1）×（2+1）×2=24條，共需75條；
如圖⑧，當m=3，n=2，s=3時，橫放與縱放木棒之和為[3×（2+1）+（3+1）×2]×（3+1）=68條，豎放木棒為（3+1）×（2+1）×3=36條，共需104條．
問題（三）：當長方體框架的橫長是m，縱長是n，高是s時，橫放與縱放木棒條數(shù)之和為 [m（n+1）+n（m+1）]（s+1） 條，豎放木棒條數(shù)為 （m+1）（n+1）s 條．
實際應用：現(xiàn)在按探究二的搭建方式搭建一個縱長是2、高是4的長方體框架，總共使用了170條木棒，則這個長方體框架的橫長是 4 ．
拓展應用：若按照如圖2方式搭建一個底面邊長是10，高是5的正三棱柱框架，需要木棒 1320 條．
【分析】從特殊到一般探究規(guī)律后利用規(guī)律即可解決問題；
【解答】解：問題（一）：當m=4，n=2時，橫放木棒為4×（2+1）條，縱放木棒為（4+1）×2條，共需22條；
問題（二）：當矩形框架橫長是m，縱長是n時，橫放的木棒為 m（n+1）條，縱放的木棒為n（m+1）條；
問題（三）：當長方體框架的橫長是m，縱長是n，高是s時，橫放與縱放木棒條數(shù)之和為[m（n+1）+n（m+1）]（s+1）條，豎放木棒條數(shù)為（m+1）（n+1）s條．
實際應用：這個長方體框架的橫長是 s，則：[3m+2（m+1）]×5+（m+1）×3×4=170，解得m=4，
拓展應用：若按照如圖2方式搭建一個底面邊長是10，高是5的正三棱柱框架，橫放與縱放木棒條數(shù)之和為165×6=990條，豎放木棒條數(shù)為66×5=330條需要木棒1320條．
故答案為22，m（n+1），n（m+1），[m（n+1）+n（m+1）]（s+1），（m+1）（n+1）s，4，1320；

39．（2018?香坊區(qū)）如圖，在每個小正方形的邊長均為1的方格紙中，有線段AB和線段CD，點A、B、C、D均在小正方形的頂點上．
（1）在方格紙中畫出以AB為斜邊的等腰直角三角形ABE，點E在小正方形的頂點上；
（2）在方格紙中畫出以CD為對角線的矩形CMDN（頂點字母按逆時針順序），且面積為10，點M、N均在小正方形的頂點上；
（3）連接ME，并直接寫出EM的長．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)畫出即可；
（2）利用矩形的性質(zhì)畫出即可；
（3）根據(jù)勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）如圖所示；
（2）如圖所示；
（3）如圖所示，EM=

40．（2018?天門）圖①、圖②都是由邊長為1的小菱形構成的網(wǎng)格，每個小菱形的頂點稱為格點．點O，M，N，A，B均在格點上，請僅用無刻度直尺在網(wǎng)格中完成下列畫圖．
（1）在圖①中，畫出∠MON的平分線OP；
（2）在圖②中，畫一個Rt△ABC，使點C在格點上．
【分析】（1）構造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題；
（2）利用菱形以及平行線的性質(zhì)即可解決問題；
【解答】解：（1）如圖所示，射線OP即為所求．
（2）如圖所示，點C即為所求；

41．（2018?哈爾濱）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，線段AB的兩個端點均在小正方形的頂點上．
（1）在圖中畫出以線段AB為一邊的矩形ABCD（不是正方形），且點C和點D均在小正方形的頂點上；
（2）在圖中畫出以線段AB為一腰，底邊長為2的等腰三角形ABE，點E在小正方形的頂點上，連接CE，請直接寫出線段CE的長．
【分析】（1）利用數(shù)形結合的思想解決問題即可；
（2）利用數(shù)形結合的思想解決問題即可；
【解答】解：（1）如圖所示，矩形ABCD即為所求；
（2）如圖△ABE即為所求，CE=4．

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