在平面直角坐標系中，的半徑為1，對于的弦AB和不在直線AB上的點C，給出如下定義:若且點C關于弦AB的中點M的對稱點在上或其內部，則稱點C為弦AB的”關聯(lián)點”
(1)已知點
①在點中，點________是弦AB的關聯(lián)點，其中=________°；
若直線上存在AB的“ 關聯(lián)點"，則b的取值范圍是________；
（2）若點C是AB的“ 關聯(lián)②點"，且，直接寫出弦AB的最大值和最小值．
解：(1)① C3，60°………………………2分
②0＜b≤………………………5分
(2) AB的最大值是3，AB的最小值是1，………………………7分
（2024-2025西城九上期末）
給定圓C和直線l，過圓C上一點P作PH⊥直線l于點H，直線PH與圓C的另一個交點記為Q，將PH·QH稱為點P關于直線l的特征值.特別地，當點H與點P或Q重合時，點P關于直線l的特征值為0；當點P和Q重合時，點P關于直線l的特征值為.
在平面直角坐標系xOy中，
（1）圓M是以點M為圓心，2為半徑的圓，
①若點P的坐標是，則它關于y軸的特征值是 ；
②點T是圓M上一動點，將點T關于x軸的特征值記為t，則t的取值范圍是 ；
（2）已知圓O的半徑為2，直線l:y＝kx+3（k＞0），若圓O上存在關于直線l的特征值是3的點，直接寫出k的取值范圍.

3.（2024-2025海淀九上期末）
在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為2，對于點P，Q和⊙O的弦AB，給出如下定義：若弦AB上存在點C，使得點P繞點C逆時針旋轉60°后與點Q重合，則稱點Q是點P關于弦AB的“等邊旋轉點”.
（1）如圖，點P（，0），直線與⊙O交于點A，B.
① 點B的坐標為___________，點B___________（填“是”或“不是”） 點P關于弦AB的“等邊旋轉點”；
② 若點P關于弦AB的“等邊旋轉點”為點Q，則PQ的最小值為___________，當PQ與⊙O相切時，點Q的坐標為___________；
（2）已知點D（t，0），E（，0），若對于線段OE上的每一點M，都存在⊙O的長為的弦GH，使得點M是點D關于弦GH的“等邊旋轉點”，直接寫出t的取值范圍.
解：（1） ①（1，），是； …………………………………2分
② 3，（）； …………………………………4分
（2）或. ……………………………7分
4.（2024-2025朝陽九上期末）
對于平面直角坐標系xOy中的兩點M（x1，y1）和N（x2，y2）給出如下定義：如果，或者，則稱點M到點N的距離很遠．
已知點A（3，0），B（3，3）．
（1）在點C（，），D（1，2），E（4，）中到點A的距離很遠的是點 ；
（2）若拋物線y=ax2上的任意一點到A，B兩點的距離都很遠，則a的取值范圍是 ；
（3）點P在△OAB的內部或邊上，點Q在直線上，若點P到O，A，B，Q四點的距離都很遠，直接寫出點P運動區(qū)域的面積的最小值及此時的點Q的坐標．
25．解：（1）D，E；………………………………………………………………………2分
（2）a≥1或a≤； …………………………………………………………6分
（3），（2，）． …………………………………………………8分
5.（2024-2025豐臺九上期末）
在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1.對于⊙O的弦AB和點C，給出如下定義：
若在⊙O上或其內部存在一點C ' 使得四邊形CAC ' B是菱形且AB是該菱形的對角線，則稱點C是弦AB的“伴隨點”.
（1）如圖，點A(0，1)，B(1，0).

①在點中，弦AB的“伴隨點”是點___________；
②若點D是弦AB的“伴隨點”且∠ADB=120°，則OD長為_________；
（2）已知P是直線y = x上一點，且存在⊙O的弦，使得點P是弦MN的“伴隨點”. 記點P的橫坐標為t，當t＞0時，直接寫出t的取值范圍.
28.（1）① C2；
…………………………………………………………………………………………1分
② ；
…………………………………………………………………………………………3分
（2）.
…………………………………………………………………………………………7分6.（2024-2025昌平九上期末）
28. （1）①C和D. ……………………………2分

② 7≤b≤11，－5≤b≤－1. ……………………………………4分
（2）∴或 ……………………7分
注：所有題選取其他思路酌情給分.
7.（2024-2025平谷九上期末）
我們給出如下定義：在平面內，已知點M和圖形G，點M到圖形G上所有點的距離的最小值稱作點M到圖形G的距離．
（1）平面直角坐標系下，已知點P(0,3),以O為圓心，1為半徑畫圓，則點P到⊙O的距離為__________；
（2）平面直角坐標系下，已知點P(0,3),在平面內有一個矩形ABCD，A（-2,1），B（2,1），D（-2，-1）.
= 1 \* GB3 ①當矩形繞著點O旋轉時，點P到矩形的距離d的取值范圍為__________．
= 2 \* GB3 ②若M為矩形ABCD上一點，連接OM，以OM為直徑畫圓，記作圓G，則點P到圓G的距離d的取值范圍為__________．
解：(1)2 分
分
分
8.（2024-2025石景山九上期末）
在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1．對于點C和⊙O的弦AB給出如下定義：若弦AB上存在點P，使得CP⊥AB，且=m，則稱點C是弦AB的“m倍及點”．
（1）如圖，點，．
= 1 \* GB3 ①在點中，弦AB的“倍及點”是 ；
②若點D是弦AB的“1倍及點”，則OD的最大值為 ；
（2）弦AB=1，直線y=x+b（b＞0）與x軸，y軸分別交于點M，N．若線段MN上
存在點C，使得點C是弦AB的“倍及點”．請直接寫出b的取值范圍．
…………………………2分
28．解：（1） = 1 \* GB3 ①，.
…………………………4分
= 2 \* GB3 ②.
…………………………7分
（2）或.

9.（2024-2025門頭溝九上期末）
圖1
如圖1，平面中的線段AB和直線AB外一點P，對于P，A，B三點確定的圓，如果∠APB所對的弧為優(yōu)弧，我們就稱點P為線段AB的“優(yōu)關聯(lián)點”．
如圖2，已知點，．
① 在點，，中，是線段OC
的“優(yōu)關聯(lián)點”的是 ；
② 如果直線上存在線段OC的“優(yōu)關聯(lián)點”，直接寫出b的取值范圍．
（2）如圖 3，已知點，，，，，如果在△DEF邊上存在線段MN的“優(yōu)關聯(lián)點”，直接寫出a的取值范圍．
28．（本小題滿分7分）
解：（1）① P3；………………………………………………………………………… 1分
② ………………………………………………………… 3分
（2）， ………………………………………… 7分
10.（2024-2025大興九上期末）
在平面直角坐標系xOy中，對于點P和半徑為1的⊙C給出如下定義：若過點P的直線交⊙C于A，B兩點，在P，A，B三點中，其中一點恰為以另外兩點為端點的線段中點時，則稱點P為⊙C關聯(lián)點.
（1）當點C與點O重合時，
①在點D12,12,E(4,0)中，⊙C的關聯(lián)點是 ；
②已知點P(m,n)在直線y=-x+3上，若點P為⊙C的關聯(lián)點，求m的取值范圍；
（2）⊙C的圓心為Cc,0，直線y=?33x+23與x軸，y軸分別交于點M，N，若線段MN存在⊙C的關聯(lián)點P， 則c的取值范圍是 .
28.（1）
① D…………………………………………………………….1分
②根據(jù)題意得，當0≤OP≤3，且OP≠1時，點P為⊙C的關聯(lián)點，
如圖，直線與坐標軸的交點為(0,3)和(3,0)，
當點P在以點(0,3)，(3,0)為端點的線段上時，
≤OP≤3，點P是⊙O的關聯(lián)點.
當點P在直線上，且在以點(0,3)，(3,0)為端點的線段外時，
，點P不是⊙O的關聯(lián)點.
所以點P橫坐標的取值范圍為0≤m ≤3………………………3分
（2）0≤c≤9. … ………………………………………………7分
11.（2024-2025房山九上期末）
記二次函數(shù)和的圖象分別為拋物線和．給出如下定義：若拋物線的頂點在拋物線上，則稱是的伴隨拋物線．
（1）若拋物線：和拋物線：都是拋物線的伴隨拋物線，則= ，= ；
（2）設函數(shù)的圖象為拋物線．若函數(shù)的圖象為拋物線，且始終是的伴隨拋物線，
①求，的值；
②若拋物線與軸有兩個不同的交點，請直接寫出的取值范圍．
-------------------------------------------------------------3分
28.（1） ，18
（2）
①拋物線G2的頂點坐標為
∵G2始終是G3的伴隨拋物線
∴

-------------------------------------------------------------5分
-------------------------------------------------------------7分
②或
12.（2024-2025密云九上期末）
在平面直角坐標系xOy中，⊙O半徑長為1，AB為⊙O的一條弦，若∠APB=α（0°

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