一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知為直線的傾斜角，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
解析：∵為直線的傾斜角，
∴直線斜率，
∴.
故選：A.
2. 在正三棱錐中，為外接圓圓心，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
解析：如圖，在正三棱錐中，取中點(diǎn)，連接，
則點(diǎn)為底面中心，且在上，
則
.

故選：D.
3. 已知等比數(shù)列的公比q為整數(shù)，且，，則（ ）
A. 2B. 3C. -2D. -3
【正確答案】A
解析：因?yàn)?，，且q為整數(shù)，
所以，，即q=2.
所以.
故選：A
4. 若曲線有兩條過(guò)點(diǎn)的切線，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
解析：設(shè)切點(diǎn)為，由已知得，則切線斜率，
切線方程為．
∵直線過(guò)點(diǎn)，∴，
化簡(jiǎn)得．∵切線有2條，
∴，則的取值范圍是，
故選：D
5. 已知直線的斜率小于0，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并與坐標(biāo)軸交于，兩點(diǎn)，，當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時(shí)，直線的斜率為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
解析：由題意可設(shè)直線：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，
得，則，則.
不妨假設(shè)在軸上，則，
記為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)榫€段與的長(zhǎng)度分別為，，
所以的面積，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故選：C.
6. 已知為的導(dǎo)函數(shù)，則的大致圖象是（ ）
A B.
C. D.
【正確答案】A
解析：由題意知，，定義域?yàn)椋?br>又，所以為奇函數(shù)，排除BD；
又，排除C；
結(jié)合選項(xiàng)，A符合題意.
故選：A
7. 意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：…，即，，此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)”、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列被除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
解析：根據(jù)斐波那契數(shù)列性質(zhì)可得中的數(shù)字呈現(xiàn)出奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)循環(huán)的規(guī)律，
因此新數(shù)列即為按照成周期出現(xiàn)的數(shù)列，周期為，
易知，一個(gè)周期內(nèi)的三個(gè)數(shù)字之和為；
所以數(shù)列的前項(xiàng)的和為.
故選：C
8. 曲線的形狀是一個(gè)斜橢圓，其方程為，點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)為
坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A. 曲線關(guān)于對(duì)稱(chēng)B. 的最大值為
C. 該橢圓的離心率為D. 的最大值為
【正確答案】C
解析：由方程可以看出其關(guān)于，對(duì)稱(chēng)，A正確；
由題意知，，，，，B正確：
聯(lián)立方程，解得頂點(diǎn)坐標(biāo)為和，所以橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為；同理可得另外兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為和，所以橢圓的短軸長(zhǎng)為，所以，所以該橢圓的離心率為：，C錯(cuò)誤；
看作關(guān)于的一元二次方程，，解得，D正確，
故選：C．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與C相交于，兩點(diǎn)，直線PQ的傾斜角為，若的最小值為4，則（ ）
A. 的坐標(biāo)為B. 若，則
C. 若，則的最小值為3D. 面積的最小值為2
【正確答案】ACD
解析：由題設(shè)有，直線的斜率不為零，故設(shè)直線，
則由可得，，
所以，所以
而，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，故，
故，故A正確；
若，則，故，故的斜率為，
其傾斜角為或，故B錯(cuò)誤；
若，則過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，連接，
則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，
故的最小值為3，故C正確；
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故面積的最小值為2，故D成立.
故選：ACD.
10. 已知數(shù)列滿(mǎn)足，關(guān)于數(shù)列有下述四個(gè)結(jié)論：其中正確的是（ ）
A. 數(shù)列為等比數(shù)列
B.
C.
D. 若為數(shù)列的前項(xiàng)和，則
【正確答案】ACD
解析：因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，
所以數(shù)列為公比為3的等比數(shù)列,所以A正確;
又因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以,故C正確；
由累加法得,所以B錯(cuò)誤；
由分組求和得,
所以D正確.
故選：ACD
11. 如圖，直三棱柱中，，，．點(diǎn)P在線段上（不含端點(diǎn)），則（ ）
A. 存點(diǎn)P，使得
B. 的最小值為有
C. 面積的最小值為
D. 三棱錐與三棱錐的體積之和為定值
【正確答案】ACD
解析：由題意得，，即，
又在直三棱柱中，底面，平面，平面，
，，則以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)?，，所以，，，，，，，則，，
設(shè)（），則，解得，，，
所以，
對(duì)于A選項(xiàng)，，，
要使，即，解得，
當(dāng)，即在中點(diǎn)時(shí)，，故A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，如圖所示，將和沿展開(kāi)，如圖所示，
連接交于點(diǎn)，可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)取得最小值，
由題意得，，，，，，
所以，，，，
則，
在中，由余弦定理得，
，則，
所以的最小值為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，，，設(shè)（），
則，即，
所以，
則，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，故C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，
，故D選項(xiàng)正確，
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，則_______．
【正確答案】
解析：根據(jù)題意，數(shù)列滿(mǎn)足，
當(dāng)時(shí)，有；
當(dāng)時(shí)，有，不符合，
故
故
13. 已知雙曲線 的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線與漸近線 垂直，垂足為點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn).若，則的離心率為_(kāi)____.
【正確答案】##
解析：設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，
從而.

設(shè)的左焦點(diǎn)為，連接，
由雙曲線的定義，得.
在中，由余弦定理，得，
解得.
由，得，解得，
所以.
故答案為.
14. 已知正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)_____．
【正確答案】##
解析：由得，即，
設(shè)，則，，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．
因?yàn)閤，y均為正實(shí)數(shù)，所以，
由，可得，即．
由知，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以．
則．令，
則，所以上單調(diào)遞減，
所以，所以，即的最小值為．
故
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚.
15. 如圖，已知正方形是圓柱的軸截面（經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸的截面），點(diǎn)在底面圓周上，，點(diǎn)是的中點(diǎn).
（1）求點(diǎn)到直線的距離；
（2）求平面與平面的夾角的余弦值.
【正確答案】（1）
（2）
【小問(wèn)1解析】
因?yàn)榫€段是底面圓的直徑，所以，所以，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則
所以，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，
則，故點(diǎn)到直線的距離為；
【小問(wèn)2解析】
由（1）可知，，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則由，可取，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則由，可取，
設(shè)平面與平面所成角為，則，
即平面與平面的夾角的余弦值為.
16. 已知圓上一點(diǎn)
（1）求圓在點(diǎn)處的切線方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作直線交圓于另一點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，求直線的方程.
【正確答案】（1）
（2）或
【小問(wèn)1解析】
由題意，點(diǎn)在圓上，可得，
因直線的斜率為，則圓在點(diǎn)處的切線斜率為，
故切線方程為，即；
【小問(wèn)2解析】
如圖， 由（1）知圓，又點(diǎn)，，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，易知此時(shí)，，
點(diǎn)到的距離為3，則，不符合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，即，
代入中，整理得：，
設(shè)，由韋達(dá)定理，，即，
代入，可得，即，
于是，
則得，
點(diǎn)到直線的距離為：，
則，解得或，
故直線的方程為或.
17. 若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，等差數(shù)列滿(mǎn)足.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【正確答案】（1），
（2）
【小問(wèn)1解析】
因?yàn)棰伲?br>所以②，，
①②得，又
所以，故數(shù)列是以為公比，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，
，
，
等差數(shù)列的公差為.
【小問(wèn)2解析】
由（1）可得，
，
兩式相減得，
18. 已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．直線交于，兩點(diǎn)．點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，直線的斜率為，
（1）求的方程；
（2）證明：為定值；
（3）若上存在點(diǎn)使得，在上的投影向量相等，且的重心在軸上，求直線AB的方程．
【正確答案】（1）；
（2）證明見(jiàn)解析； （3）
【小問(wèn)1解析】
由已知，得，解得，則橢圓的方程為；
【小問(wèn)2解析】
依題意，可設(shè)點(diǎn)，且，

點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，
點(diǎn)在上，，作差得，
直線的斜率為，直線的斜率為，
，即為定值；
【小問(wèn)3解析】
設(shè)弦的中點(diǎn)，點(diǎn)重心,，

由，得，
，且，
的重心在軸上，，
，
則，
在上的投影向量相等，則，且，
則直線的方程為，
，得，又點(diǎn)在上，
，即
又，則直線的方程為
19. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小值；
（2）若方程有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【正確答案】（1）
（2）
【小問(wèn)1解析】
由題意可得，令，得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以的最小值為；
【小問(wèn)2解析】
有兩個(gè)不同的解可化為有兩個(gè)不同的解，
令，
則，
（?。┤簦瑒t，由得．
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的最小值為．
①當(dāng)時(shí)，，即，故沒(méi)有零點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意．
②當(dāng)時(shí)，，只有一個(gè)零點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意．
③當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，，
又，故，所以，又，
故在上有一個(gè)零點(diǎn)．
又，因此在上有一個(gè)零點(diǎn)，
所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，滿(mǎn)足題意．
（ⅱ）若，由得，．
①當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
又，所以至多有一個(gè)零點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意．
②當(dāng)時(shí)，，則，
所以單調(diào)遞減，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意．
③當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以至多有一個(gè)零點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．

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