1．如圖，是全集，，，是的子集，則陰影部分表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)的為（ ）
A．B．
C．D．
3．盡管目前人類還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過(guò)研究，已經(jīng)對(duì)地震有所了解.例如，地震時(shí)釋放出的能量（單位：焦耳）與地震級(jí)數(shù)之間的關(guān)系式為.2022年9月18日14時(shí)44分在中華臺(tái)北花蓮發(fā)生的6.9級(jí)地震所釋放出來(lái)的能量是2020年12月30日8時(shí)35分在日本本州東海岸發(fā)生的5.1級(jí)地震的倍，則下列各數(shù)中最接近的值為（ ）
A．100B．310C．500D．1000
4．已知扇形的圓心角為2弧度，且圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為4，則該扇形的面積為（ ）
A．B．C．D．
5．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．B．或
C．D．或
6．已知函數(shù)，設(shè)，則的最小值為（ ）
A．1B．C．9D．
7．已知函數(shù)在內(nèi)解的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．已知函數(shù)， 若方程有九個(gè)不同實(shí)根，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題（本大題共4小題）
9．下列條件中，其中是的充分不必要條件的是（ ）
A．；
B．；
C．；
D．；：函數(shù)在上有零點(diǎn)
10．設(shè)函數(shù)，給出下列命題，正確的是（ ）
A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B．若，則
C．把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象
D．在內(nèi)使的所有的和為
11．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)．例如：，，下列命題正確的是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知是函數(shù)的零點(diǎn)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題（本大題共4小題）
13．已知，若，則 .
14．寫出一個(gè)符合下列要求的函數(shù)： ?
①的值域?yàn)? ②為偶函數(shù)
15．函數(shù)與函數(shù)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為 ．
16．函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和為，則的最小值為 ．
四、解答題（本大題共6小題）
17．（1）計(jì)算：
（2）已知，求的值.
18．如圖，已知單位圓與軸正半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在單位圓上，其中點(diǎn)在第一象限，且，記.
(1)若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值.
19．湖南株洲市某高科技企業(yè)決定開發(fā)生產(chǎn)一款大型電子設(shè)備.生產(chǎn)這種設(shè)備的年固定成本為500萬(wàn)元，每生產(chǎn)臺(tái)，需要另投入成本（萬(wàn)元），當(dāng)年產(chǎn)量小于60臺(tái)時(shí)，（萬(wàn)元）；當(dāng)年產(chǎn)量不少于60臺(tái)時(shí)（萬(wàn)元）.若每臺(tái)設(shè)備的售價(jià)為100萬(wàn)元，通過(guò)市場(chǎng)分析，假設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)的電子設(shè)備能全部售.
（1）求年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式？
（2）年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該企業(yè)在這一款電子設(shè)備的生產(chǎn)中獲利最大？
20．設(shè)函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的值域.
21．已知函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求的值，判斷的單調(diào)性（不必證明）?
(2)解不等式.
22．歐拉對(duì)函數(shù)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)，除特殊符號(hào)、概念名稱的界定外，歐拉還基于初等函數(shù)研究了抽象函數(shù)的性質(zhì).例如，歐拉引入了“倒函數(shù)”的定義：對(duì)于函數(shù)，如果對(duì)于其定義域中任意給定的實(shí)數(shù)，都有，并且，就稱函數(shù)為“倒函數(shù)”.
(1)已知，，判斷和是不是倒函數(shù)，并說(shuō)明理由；
(2)若是定義在上的倒函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，方程是否有整數(shù)解？并說(shuō)明理由；
(3)若是定義在上的倒函數(shù)，其函數(shù)值恒大于0，且在上單調(diào)遞增.記，證明：是的充要條件.
答案
1．【正確答案】C
【分析】根據(jù)文氏圖的意義，陰影部分為集合的外部與集合集合交集內(nèi)部的公共部分，求解即可.
【詳解】根據(jù)題意，陰影部分為集合的外部與集合集合交集內(nèi)部的公共部分，
即.
故選：C.
2．【正確答案】D
【分析】同一函數(shù)要滿足中兩個(gè)條件：第一：定義域相同，第二：對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，根據(jù)兩個(gè)條件即可判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，函?shù)定義域不相同，不是同一函數(shù)，故A不符合題意；
對(duì)于B，定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，函?shù)定義域不相同，不是同一函數(shù)，故B不符合題意；
對(duì)于C，定義域?yàn)?，函?shù)定義域?yàn)?，函?shù)定義域不相同，不是同一函數(shù)，故C不符合題意；
對(duì)于D，定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，且，函?shù)定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，是同一函數(shù)，故D符合題意.
故選：D.
3．【正確答案】C
【分析】根據(jù)地震釋放出的能量與地震級(jí)數(shù)之間的關(guān)系式，將兩次地震等級(jí)分別代入，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可得兩次能量的比值，近似計(jì)算可確定選項(xiàng).
【詳解】設(shè)6.9級(jí)地震所釋放出來(lái)的能量是，日本5.1級(jí)地震所釋放出來(lái)的能量是，
則，；
可得，所以
而，即.
故選：C
4．【正確答案】A
【分析】由扇形的弧長(zhǎng)和面積公式求解即可.
【詳解】因?yàn)樯刃蔚膱A心角弧度為2，所對(duì)弦長(zhǎng)為4，為圓心，如下圖，
取的中點(diǎn)，連接，則，則，
則扇形的半徑，所以扇形的弧長(zhǎng)，
則扇形的面積為.
故選：A.

5．【正確答案】C
【分析】先由結(jié)合基本不等式求出的最小值，進(jìn)而得，再解一元二次不等式即可.
【詳解】由題意知，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，又不等式恒成立，則不等式，
即 ，解得.
故選：C.
6．【正確答案】D
【分析】根據(jù)題意，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫出三個(gè)函數(shù)的圖象，結(jié)合最大值的含義可直接得出最小值.
【詳解】在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù),,，
根據(jù)題意可得函數(shù)為圖中黑線表示部分，
根據(jù)圖像可得，點(diǎn)A為函數(shù)與的交點(diǎn)，
所以解得，故點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，
點(diǎn)B為函數(shù)與的交點(diǎn)，
所以，解得，故點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，
點(diǎn)C為函數(shù)與的交點(diǎn)，
所以，得，故點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，
所以函數(shù),
由圖像可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為.
故選：D.
7．【正確答案】D
【分析】依題意，得，再結(jié)合圖象進(jìn)行判斷.
【詳解】解：依題意，得，
因?yàn)?，所以?br>得，
因?yàn)椋?br>結(jié)合圖象：
有四個(gè)不同的交點(diǎn).
故選：D
8．【正確答案】A
畫出的函數(shù)圖象，根據(jù)圖形可得本題等價(jià)于在有兩個(gè)零點(diǎn)，其中1個(gè)零點(diǎn)為1，則可列出不等式組求出的范圍，進(jìn)而求出結(jié)果.
【詳解】畫出的函數(shù)圖象如下，
由圖可知，若方程有九個(gè)不同實(shí)根，
則或，其中或，
令，
則在有兩個(gè)零點(diǎn)，其中1個(gè)零點(diǎn)為1，
則，解得且，
，
且，
故的取值范圍是.
故選：A.
關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系，根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，解決本題的關(guān)鍵是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象可知要使方程有9個(gè)根，等價(jià)于在有兩個(gè)零點(diǎn)，其中1個(gè)零點(diǎn)為1，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決.解決函數(shù)與方程的問(wèn)題常用數(shù)形結(jié)合的方法，因此畫函數(shù)圖象、分析圖形能力是必備能力.
9．【正確答案】AC
【分析】由不等式的性質(zhì)判斷選項(xiàng)A，由正切函數(shù)的特點(diǎn)判斷選項(xiàng)B，由對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)判斷選項(xiàng)C，由二次函數(shù)的特點(diǎn)判斷選項(xiàng)D．
【詳解】對(duì)于A，由，顯然可得，反之不成立，故正確；
對(duì)于B，是充要條件，不正確；
對(duì)于C，∵，∴，，，反之不成立，正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，在上沒(méi)有零點(diǎn)，D不正確．
故選：AC
10．【正確答案】ACD
【分析】對(duì)原函數(shù)使用輔助角公式.對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)對(duì)稱中心的定義即可；對(duì)于B選項(xiàng)，和一個(gè)為函數(shù)的最大值，一個(gè)為最小值即可求解；對(duì)于C選項(xiàng)，求出，根據(jù)偶函數(shù)的定義即可；對(duì)于D選項(xiàng)，令，求出在的根即可.
【詳解】．
A：當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)是它的一個(gè)對(duì)稱中心，故A正確；
B：若，則和一個(gè)為函數(shù)的最大值，一個(gè)為最小值，∴，故B錯(cuò)誤；
C：的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，為偶函數(shù)，故C正確；
令，∵，∴，
在的根分別為：，，，，
則有，，，，在內(nèi)使的所有的和為：，故D正確．
故選：ACD．
11．【正確答案】CD
令，可判定A、B不正確；設(shè)，其中為的整數(shù)部分，為小數(shù)部分，結(jié)合“高斯函數(shù)”，可判定C、D正確.
【詳解】對(duì)于A中，例如，，所以不正確；
對(duì)于B中，例如，所以不正確；
設(shè)，其中為的整數(shù)部分，為小數(shù)部分，即，
對(duì)于C中，，所以是正確的；
對(duì)于D中，，
若，可得，；
若，可得，，
所以D是正確的.
故選：CD.
對(duì)于函數(shù)的新定義試題的求解：
1、根據(jù)函數(shù)的定義，可通過(guò)舉出反例，說(shuō)明不正確；
2、正確理解函數(shù)的定義的內(nèi)涵，緊緊結(jié)合定義進(jìn)行推理、論證求解.
12．【正確答案】ABC
【分析】根據(jù)給定條件確定所在區(qū)間，再逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可判斷作答.
【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，
而是方程的零點(diǎn)，因此，A正確；
由得：，兩邊取對(duì)數(shù)得：，B正確；
因，且在上單調(diào)遞增,則，C正確；
當(dāng)，，則， D錯(cuò)誤.
故選：ABC
13．【正確答案】
【分析】根據(jù)同角的基本關(guān)系可得，再根據(jù)正弦的二倍角公式，可得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，由此即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以
所以
所以.
故答案為.
14．【正確答案】（答案不唯一）
【分析】由函數(shù)的值域以及奇偶性直接能得到答案.
【詳解】時(shí)，，滿足值域?yàn)镽，且為偶函數(shù)，
故（答案不唯一）.
15．【正確答案】10
【分析】判斷函數(shù)的性質(zhì)與最小值，判斷函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)與的大致圖象，判斷兩個(gè)圖象在上的交點(diǎn)情況，根據(jù)對(duì)稱性得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的最小值為．
所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且的最大值為2．
由于的圖象和的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱，
所以先考慮兩個(gè)圖象在上的情形，
易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
易知，，
所以可作出函數(shù)與的大致圖象如圖所示，
所以的圖象和的圖象在上有5個(gè)交點(diǎn)．
根據(jù)對(duì)稱性可知兩函數(shù)圖象共有10個(gè)交點(diǎn)，且兩兩關(guān)于直線對(duì)稱，
因此所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為．
故答案為:.
16．【正確答案】/
【分析】將解析式變形為，令，利用奇偶性即可得，然后妙用“1”求解即可.
【詳解】
，
令，，
因?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，
所以為奇函數(shù)，所以在區(qū)間上的最大值與最小值之和為0，
則函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和為2，即．
又，，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，，即，，等號(hào)成立．
故
難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題難點(diǎn)在于對(duì)函數(shù)解析式的變形，然后根據(jù)奇偶性得到，從而利用“1”的妙用得解.
17．【正確答案】（1）；（2）.
【分析】(1)利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求解；
(2)先求出，再利用求解.
【詳解】（1）解：原式
；
（2）因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以
18．【正確答案】(1)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為
(2)
【分析】（1）直接利用三角函數(shù)的定義求解點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)A的坐標(biāo)求出，利用角的關(guān)系及特殊角的函數(shù)值求解，從而得解.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)?，所以，，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為.
（2）由點(diǎn)在單位圓上，得，又點(diǎn)位于第一象限，則，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，，所以，
所以.
19．【正確答案】（1）；（2）年產(chǎn)量為70臺(tái)時(shí)，最大獲得1300萬(wàn)元.
（1）根據(jù)條件，利潤(rùn)等于設(shè)備的售價(jià)減去投入成本再減去年固定成本即可求解；
（2）對(duì)（1）中的函數(shù)關(guān)系式分別利用二次函數(shù)和基本不等式求兩段的最大值，再取最大的即可求解.
【詳解】（1）由題意可得：時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
所以年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式為：
，
（2）由（1）得時(shí)，，開口向下的拋物線，對(duì)稱軸為，
此時(shí)時(shí)，萬(wàn)元，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，，
綜上所述：年產(chǎn)量為臺(tái)時(shí)，該企業(yè)在這一款電子設(shè)備的生產(chǎn)中獲利最大.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是讀懂題意得出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式，對(duì)于分段函數(shù)求最值要分段來(lái)求.
20．【正確答案】（1）；（2）.
（1）由二倍角公式，兩角差的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解．
（2）由圖象變換得出，由整體法可求值域．
【詳解】解：（1）
因?yàn)?
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是
（2）由題可知，.
因?yàn)椋?br>所以.
故在上的值域?yàn)?
方法點(diǎn)睛：本題考查兩角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)．此類問(wèn)題的解題方法是：利用二倍角公式降冪，利用誘導(dǎo)公式、兩角和與差的正弦（余弦）公式展開與合并，最終把函數(shù)化為形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求解．
如果求函數(shù)值域，則可由的范圍求出的范圍，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)得值域．
21．【正確答案】(1),是上的遞增函數(shù)
(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù)，利用求得的值，再進(jìn)行檢驗(yàn)，利用單調(diào)性定義可得函數(shù)的單調(diào)性；
（2）利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性將題設(shè)不等式化成，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，最后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得.
【詳解】（1）由已知得函數(shù)的定義域是，由函數(shù)是奇函數(shù)可得：解得，
即，此時(shí) ，故為奇函數(shù).
，由此可判斷出是上的增函數(shù).
理由如下：，，
因，所以，，
故，即是上的增函數(shù).
（2）由得，
所以
即：或
所以或
所以或
所以或
故不等式的解集為.
22．【正確答案】(1)函數(shù)為倒函數(shù)，函數(shù)不是倒函數(shù)，理由見(jiàn)解析；
(2)方程沒(méi)有整數(shù)解，理由見(jiàn)解析；
(3)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）利用“倒函數(shù)”的定義判斷函數(shù)、，可得出結(jié)論；
（2）分析可知當(dāng)時(shí)，，則方程若存在整數(shù)解，則，構(gòu)造函數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)論；
（3）推導(dǎo)出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性結(jié)合充分條件、必要條件的定義證明可得結(jié)論.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意的，，
所以，函數(shù)為倒函數(shù)，
函數(shù)的定義域?yàn)?，該函?shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
故函數(shù)不是倒函數(shù)；
（2）當(dāng)時(shí)，則，由倒函數(shù)的定義可得，
由滿足倒函數(shù)的定義，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)、均為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，
若函數(shù)有整數(shù)解，則，
設(shè)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，?br>故方程無(wú)整數(shù)解，
（3）因?yàn)楹瘮?shù)是上的倒函數(shù)，其函數(shù)值恒大于，且在上是嚴(yán)格增函數(shù)，
所以，，
任取、且，則，所以，，，
所以，
，
所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，
因?yàn)椋屎瘮?shù)為上的奇函數(shù).
當(dāng)時(shí)，即，則，所以，，
即“”“”；
若，則，所以，，即.
所以，“”“”.
因此，是的充要條件.
“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.

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