1．等比數(shù)列中，若，且，則公比q=（ ）
A．2B． C．-2D．-
2．若直線與直線間的距離為，則（ ）
A．17B．C．14D．7
3．向量，若，則（ ）
A．B．C．4D．5
4．塹堵指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱.如圖，在塹堵中，，若，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
5．過點引圓的切線，其方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
6．雙曲線上一點P到它的一個焦點的距離等于6，那么點P到另一個焦點的距離為（ ）
A．2B．10C．14D．2或10
7．動直線：與圓：交于點A，B，則弦最短為（ ）
A．B．C．2D．
8．過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，且，則直線的斜率為（ ）
A．B．C．或D．或
二、多選題（本大題共4小題）
9．若為等差數(shù)列，前項和為，其中，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．數(shù)列單調(diào)遞減D．數(shù)列前8項和最大
10．已知直線，其中，下列說法正確的是（ ）
A．當時，直線與直線垂直
B．若直線與直線平行，則
C．直線的傾斜角一定大于
D．當時，直線在兩坐標軸上的截距相等
11．如圖，正方體的棱長為，，，分別為，，的中點，則（ ）
A．直線與直線垂直
B．直線與平面平行
C．平面截正方體所得的截面面積為
D．點與點B到平面的距離相等
12．如圖所示．已知橢圓方程為，F(xiàn)1、F2為左右焦點，下列命題正確的是（ ）
A．P為橢圓上一點，線段PF1中點為Q，則為定值
B．直線與橢圓交于R ，S兩點，A是橢圓上異與R ，S的點，且、均存在，則
C．若橢圓上存在一點M使，則橢圓離心率的取值范圍是
D．四邊形 為橢圓內(nèi)接矩形，則其面積最大值為2ab
三、填空題（本大題共4小題）
13．已知雙曲線，則它的漸近線方程為 .
14．已知圓的圓心為點，一條直徑的端點分別在軸和軸上，則該圓的標準方程為 .
15．設數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項公式為 .
16．棱長為的正方體中，分別是平面和平面內(nèi)動點， ，則的最小值為
四、解答題（本大題共6小題）
17．已知等差數(shù)列的前項和滿足.
(1)求的通項公式；
(2)，求數(shù)列的前項和.
18．如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，.

(1)設點為棱的中點，證明：平面.
(2)求平面與平面的夾角的大小.
19．在平面直角坐標系中，已知點，動點滿足直線與的斜率之積為，記的軌跡為曲線.
(1)求的方程，并說明是什么曲線：
(2)若直線和曲線相交于兩點，求.
20．已知是拋物線的焦點，是拋物線上一點，目.
(1)求拋物線的方程；
(2)直線與拋物線交于兩點，若（為坐標原點），則直線否會過某個定點？若是，求出該定點坐標.
21．記為數(shù)列的前項和，且.
(1)證明：是等比數(shù)列，并求其通項公式；
(2)設數(shù)列的前項和，證明.
22．已知橢圓的方程為，稱圓心在坐標原點，半徑為的圓為橢圓的“蒙日圓”，橢圓的焦距為，離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線與橢圓交于、兩點，與其“蒙日圓”交于、兩點，當時，求面積的最大值．
答案
1．【正確答案】B
【詳解】等比數(shù)列中，若,又因為，故
故答案為B.
2．【正確答案】D
【詳解】由題意，，解得（舍去）.
故選：D.
3．【正確答案】D
【詳解】因為，，
所以，即，解得.
故選：D.
4．【正確答案】A
【詳解】
由題意得，平面以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系如圖所示，則，，所以.設異面直線與所成的角為，則.
故選：A.
5．【正確答案】C
【詳解】根據(jù)題意，圓，即，
其圓心為，半徑；過點引圓的切線，
若切線的斜率不存在，切線的方程為，符合題意；
若切線的斜率存在，設其斜率為，則有，即，
則有，解得，此時切線的方程為，即．
綜上：切線的方程為和．
故選：C．
6．【正確答案】D
【詳解】因為雙曲線，
所以，則，
因為點P到它的一個焦點的距離等于6，
設點P到另一個焦點的距離為，
所以，解得或
故選：D.
7．【正確答案】B
【詳解】直線：，
由，得，則直線過定點，
圓：的圓心，半徑，
顯然點在圓內(nèi)，當時，弦最短，
此時，
所以弦最短為.
故選：B
8．【正確答案】C
【詳解】由拋物線方程知：；
由題意知：直線斜率不為，可設，，，
由得：，，，
，，則，解得：或，
或，即或，解得：或，
直線的斜率或.
故選：C.
9．【正確答案】AC
【詳解】設公差為，由，得，解得
所以，故A正確；
因為，所以數(shù)列單調(diào)遞減，故C正確；
，
所以，故B錯誤；
所以數(shù)列前7項和最大，故D錯誤.
故選：AC.
10．【正確答案】AC
【詳解】A：當時，直線的方程為，可化為：，所以該直線的斜率為1，
直線的斜率為，因為，所以這兩條直線互相垂直，因此本選項說法正確；
B：由直線與直線平行，可得或，因此本選項說法不正確；
C：直線方程可化為：，設直線的傾斜角為，
所以，所以本選項說法正確；
D：當時，直線的方程為，當時，；當時，，
因為，所以直線在兩坐標軸上的截距不相等，因此本選項說法不正確，
故選：AC
11．【正確答案】BCD
【詳解】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、、、、、
、、、，
對于A選項，，，則，
所以直線與直線不垂直，故A錯誤；
對于B選項，設平面的法向量為，，，
則，取，可得，
，所以，即，
因為平面，平面，故B正確；
對于C選項，連接、、，
因為、分別為、的中點，則，
且，所以四邊形為平行四邊形，則，
所以，所以、、、四點共面，
故平面截正方體所得截面為，
且，同理可得，，
所以四邊形為等腰梯形，
分別過點、在平面內(nèi)作，，垂足分別為、，如下圖所示：
因為，，，
所以，故，，
因為，，，則四邊形為矩形，
所以，
，故，
故梯形的面積為，故C正確；
對于D選項，，則點到平面的距離為，
，則點到平面的距離為，
所以點與點到平面的距離相等，故D正確.
故選：BCD.
12．【正確答案】ACD
【詳解】A：連接，由橢圓的定義可知，
線段中點為Q，所以，
于是有，所以本選項命題正確；
B：直線與橢圓交于R ，S兩點，
因為直線經(jīng)過原點，而橢圓是關于原點的中心對稱圖形，
所以R ，S兩點關于原點對稱，不妨設，，
，
因為A是橢圓上異與R 的點，
所以有，兩個式相減，得
，
因此，
所以本選項命題是假命題；
C：橢圓上存在一點M使，
由余弦定理可知：，
即，
即，
而
，當且僅當時取等號，即M為上（下）頂點時取等號，
而，所以，因此本選項命題是真命題；
D：因為矩形和該橢圓的對稱軸和對稱中心相同，
所以設矩形在第一象限的頂點為，即，
所以矩形的面積為，
因為，
當且僅當時取等號，即當時取等號，
因此本選項命題是真命題，
故選：ACD
13．【正確答案】
【詳解】雙曲線，焦點在軸上，，，則，，
所以漸近線方程為.
故答案為.
14．【正確答案】
【詳解】設直徑的端點分別為，
因為圓的圓心為點，
所以，解得，
所以圓的半徑，
所以該圓的標準方程為.
故答案為.
15．【正確答案】
【詳解】∵（），
∴（），易知，，
∴為等比數(shù)列，首項為，公比，
∴，∴.
故答案為.
16．【正確答案】/
【詳解】如圖，取點關于平面的對稱點，
設點到平面的距離為,
則，，
以為坐標原點，以為軸，為軸，為軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
因為，則點是線段靠近的三等分點，
又正方體棱長為，
則，
則，且，
設平面的法向量為，
則，取，則，
則，
則點到平面的距離
.
17．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設公差為，
由，
得，解得，
所以；
（2）由（1）得，
所以，
所以.
18．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）設為的中點，連接，

在中，點為棱的中點，，.
因為，，所以，，
所以四邊形為平行四邊形，所以.
因為平面，平面，所以平面.
（2）以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立
如圖所示的空間直角坐標系.

設，則，，，，
，.
設平面的一個法向量為， 則有
令，則，得.
，，
設平面的一個法向量為， 則有，
令，則，得.
設平面與平面的夾角為，有，
所以平面與平面夾角的大小為.
19．【正確答案】(1)，曲線是雙曲線，除去左右頂點
(2)
【詳解】（1）設，
則，
化簡得，
所以的方程為，曲線是雙曲線，除去左右頂點；
（2）設，
聯(lián)立，消得，
，
則，
所以.

20．【正確答案】(1)
(2)恒過定點
【詳解】（1）由知，
拋物線的準線方程為，而是該拋物線的焦點，
又，因此，解得，
所以拋物線C的方程為；
（2）顯然直線不垂直于軸，設直線，，
由，消去并整理得，
，即，
則，，，
由，得，
即，解得，滿足，
所以直線過定點，
所以直線恒過定點.
21．【正確答案】(1)證明見解析，
(2)證明見解析
【詳解】（1）由，
當時，，所以，
當時，，所以，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以；
（2）由（1）得，
則，
，
兩式相減得
，
所以，
因為，所以.
22．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：因為橢圓的焦距為，離心率為，
則，可得，故橢圓的方程為.
（2）解：由題意，蒙日圓方程為，圓心為，半徑，
①當軸時，設直線的方程為，
將代入“蒙日圓”的方程得，解得，
則，解得：，
將直線的方程代入橢圓C的方程可得，解得，則，
所以，；
②當直線不垂直軸時，設直線的方程為，即，
圓心到直線的距離為，得，
聯(lián)立，消去得，
，可得，
設、，則，，
，
所以，
，
當且僅當時，即當時，等號成立，
又因為，故的面積的最大值為.

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